Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008
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Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008. Gliederung:. 1. Motivation 2. Einführung Voraussetzungen Oszillation der Gesamtenergie Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH) De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA) Ausblick QHE Zusammenfassung.

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Presentation Transcript
Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Magnetooszillationen

Shubnikov-de-Haas Oszillation

Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008


Gliederung

Gliederung:

1. Motivation

2. Einführung

Voraussetzungen

Oszillation der Gesamtenergie

Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)

De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)

Ausblick QHE

Zusammenfassung


1 motivation
1. Motivation

SdH-Oszillation


2 einf hrung
2. Einführung

  • Magnetooszillationen:

    z.B. SdH: Widerstand rxx oszilliert mit

    dHvA: magnetisches Moment m oszilliert mit

    QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand rxx

Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008


3 voraussetzungen

3. Voraussetzungen

e-

B

Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)

 wct >> 1

dazu benötigt man: - hohes B-Feld

- lange Stoßzeit t

- tiefe Temperaturen T

QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus 


4 oszillation der gesamtenergie 4 1 bahnquantisierung im ortsraum

QM :

e- durch Wellenfunktion beschrieben

 „Enden“ der Wellenfunktion

müssen „aufeinander“ passen

 Semiklassísche Behandlung:

Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!

Klassisch:

e- im B-Feld auf Kreisbahn

4. Oszillation der Gesamtenergie4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum


Hamiltonoperator l sen der station ren schr dingergleichung energieeigenwerte e n weg motiviert

.

e-

Hamiltonoperator:

 Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En

Weg motiviert:

.

Beobachter

Beobachter

Landau-Niveaus


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

B = 0: x-y Ebene

B ≠ 0:

Umordnung der Zustände

Zustände bleiben aber erhalten !!


4 2 semiklassischer ansatz von onsager lifschitz
4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz x-y Ebene

Wie sehen die Elektronenbahnen aus?

  • kanon. Impuls:

  • Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:

  • Kinetischer Term integriert:

Phasenkorrektur


Feldimpuls term integriert insgesamt erhalten wir quantisierung des magnetischen flusses

Feldimpuls-Term integriert: x-y Ebene

Insgesamt erhalten wir:

Quantisierung des magnetischen Flusses:

Flußquantum

Resultat:

Fluß in Einheiten von f0~ 4,14*10-15Tm2quantisiert !!


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Im Ortsraum quantisierte Bahnen x-y Ebene

Zwischenergebnis:

Bahn hat diskrete Fläche

Quantisierung des Flusses

Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?


4 3 bahnquantisierung im k raum

4.3 Bahnquantisierung im k-Raum x-y Ebene

Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B

- Bahn in k-Raum ~

Transformationsvorschrift:

Integration

Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Fläche im k-Raum

Fläche im Ortsraum

  • Gleiche Zunahmen von D

  • Identische Bahnen im k-Raum


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Merke: x-y Ebene

Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B

Im k-Raum quantisierte Bahnen ~

Physikalische Eigenschaften oszillieren mit

Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?


4 4 umverteilung der zust nde im k raum
4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum x-y Ebene

  • B = 0:

  • diskrete Punkte

  • Energieeigenwerte:

  • 1 Zustand hat Fläche :

    Dichte der Punkte:

durch 2 Quantenzahlen bestimmt!


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

  • B x-y Ebene≠ 0: (hohes B-Feld)

  • diskrete Landau-Zylinder (3-dim)

    diskrete Landau-Kreise (2-dim)

  • Energieeigenwerte:

nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

x-y EbeneZustände bleiben erhalten

  • Umverteilung:

zu festem n:

kx2 + ky2 = const

 Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung:

mit


4 5 oszillation der gesamtenergie qualitativ
4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ) x-y Ebene

B = 0

B = B1≠ 0

Zustände bis EF besetzt

Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen

Energie erhöht um ins Niveau zu kommen

=

Gesamtenergie bleibt gleich !!

EF(B = 0)

EF(B = B1)


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

B = 0 x-y Ebene

B ≠ 0 = B2 > B1

B-Feld steigt an  Abstand der Landau-Niveaus wird größer

Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!

<

EF( B = 0)

Gesamtenergie erhöht !!!

EF( B = B2)


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

B = 0 x-y Ebene

B ≠ 0 = B3 > B2

Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt

=

EF( B = 0)

Gesamtenergie bleibt gleich !!!

EF( B = B3)


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Teilweise besetzte Niveaus x-y Ebene

 Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!

vollständig besetzte Niveaus


4 6 oszillation der gesamtenergie quantitativ
4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ) x-y Ebene

Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt;

Niveau s+1 teilweise besetzt

 EF liegt in Niveau s+1

B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu  aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s  wenn Niveau s+1 leer  EF springt ins Niveau s !

 bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Gesamtzahl der e x-y Ebene-

- „kritische“ Felder, an denen EF springt:

- Gesamtenergie für Feld B:

Entartung

Zahl der besetzten Niveaus


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Nur voll besetzte Niveaus x-y Ebene

 Minimum der Gesamtenergie

teilweise besetzte LN

Voll besetzte LN

  • Gesamtenergie oszilliert mit

  • damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn.

    Größe auch mit


5 shubnikov de haas effekt
5. Shubnikov-de-Haas Effekt x-y Ebene

Gesamtenergie oszilliert mit

  • Zustandsdichte oszilliert ebenfalls

  • elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand r hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie

  • Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt

  • Widerstand r oszilliert mit :

mit


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Starke Näherung: x-y Ebene nur (s = 1)-Term

Oszillation des Widerstandes rxx

~1/B

Dämpfungsterm

Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!


Magnetooszillationen shubnikov de haas oszillation vera gramich und caroline clement 20 11 2008

Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen: x-y Ebene

  • aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen:

  • Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !


6 de haas van alphen effekt
6. De-Haas-van-Alphen Effekt x-y Ebene

Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

  • magnetisches Moment m oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:


7 ausblick qhe
7. Ausblick QHE x-y Ebene


8 zusammenfassung
8. Zusammenfassung x-y Ebene

  • semiklassische Betrachtung:

    Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator)

    - Landau-Niveaus

  • Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)

  • entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum,

    d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder

  • mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer

  • Gesamtenergie oszilliert mit 1/B

    - dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/B

    z.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B

    dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B