3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา

1. 3 The Discrete-Time Fourier Analysisการวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

2. เป้าหมาย • นศ เรียนรู้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต่างกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5) • นศ เรียนรู้ทฤษฎีการสุ่มสัญญาณ • นศ รู้จักความหมายของผลตอบสนองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

3. ทำไมจึงต้องแปลง DTFT? • เราทราบว่า องค์ประกอบทางการประสานนั้น ซึ่งคือ “หน่วงเวลา” และการ “สเกลค่า” ซึ่งมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบสำหรับสัญญาณอินพุท หลากรูปแบบ • แต่เมื่อระบบเป็น linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นกว่าการทำConvolution • และผลจากการแปลง DTFT ทำให้ทราบ “ผลตอบสนองความถี่ ของระบบ” EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

4. The Discrete-Time Fourier Transform • การแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา DTFT ของ x(n) คือ = ความถี่ดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน ผลการแปลงในโดเมนความถี่ดิจิตอลนี้ สามารถแสดงในรูป วงกลมหนึ่งหน่วย EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

5. เรื่องของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) แกนจินตภาพ 1. วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน แกนจริง 2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง เรเดียน EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

6. 1.วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน n=2,10,.. n=1,9,.. n=0,8,.. EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

7. 2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง หาก เช่น ตัวอย่าง จะให้ผลลัพธ์ซ้ำกับค่าในช่วง คือ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

8. Unit Step Function • ยูนิทสเตปฟังก์ชัน 1 n 0 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

9. ตัวอย่างการแปลง DTFT I • จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) • วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จำกัด (Infinite geometric sum): EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

10. ตัวอย่างการแปลง DTFT II • จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมื่อ และเป็น 0 เมื่อn เป็นค่าอื่นๆ • วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด (Finite geometric sum): EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

11. MATLAB simulation • หาก x(n) มีค่าไม่จำกัด เราจะใช้ • MATLAB หา DTFT ของ x(n) • โดยตรงไม่ได้ • แต่เราจะใช้สมการที่ได้จาก • power series >>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points. >> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501)); exp_3_1.eps EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

12. ตัวอย่างการแปลง DTFT II • จงหาการแปลง DTFT ของ • วิธีทำ สังเกต เครื่องหมาย ว่า n=0 อยู่ ณ ตำแหน่งของค่า 2 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

13. หากอินพุทมีจำนวนจำกัดเราใช้ MATLAB คำนวณ DTFT ได้โดยตรง • การคำนวณ จะกระทำในช่วง โดยแบ่ง M+1 ค่า 0 M ช่วง EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

14. จาก เรากำหนดการหา ค่า n ในช่วง -1 ถึง 3 • เราหา DTFT ของ x(n) ได้จาก MATLAB code >>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n) >> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

15. ผลตอบสนองความถี่ของระบบ • เมื่อทำการประสานจะได้ การแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

16. เป็นผลตอบสนองความถี่ของระบบh(n) ใช้หาค่าของเอาท์พุท y(n) หรือเขียนในรูปโดเมนความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

17. Frequency Response from Poles and Zeros • ขนาดผลตอบสนองความถี่เป็น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย หารด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย ณ ความถี่หนึ่ง A B ขนาดที่ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

18. Example for Frequency Response สมมติว่า โพล = .8 ซีโร่ =0 ความถี่ต่ำ ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B A B A A B B > A B = A B < A = มาก = กลางๆ = น้อย EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

19. B A B A A B Plot of Magnitude สูง ต่ำ กลาง EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

20. ตัวอย่าง • Example 4.4.1 หาผลลัพท์ของระบบ โดยมีอินพุทเป็น ลำดับ exponential • ที่ ได้ • ดังนั้น EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

21. หาผลตอบสนองของ h(n) แสดงว่า zero มีตัวเดียว คือ z1=0 Pole มี p1=1/2 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

22. การหาผลตอบสนองความถี่จากสมการผลต่าง (Frequency Response from Difference Equations) • จากสมการผลต่าง ดังนั้น ให้ ตัด EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

23. ตัวอย่าง มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมื่อ อินพุทเป็น วิธีทำ ผลตอบสนองความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

24. ที่ ดังนั้น จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ขนาด เฟส EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

25. ทดสอบ ค่า y(n) ที่คำนวณ 4.092 ต่างเฟส =3.42 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

26. สัญญาณสุ่ม ... การสุ่มสัญญาณ (Sampling) • ทฤษฎีการสุ่มกล่าวว่า “ความถี่ของสัญญาณสุ่มจะต้องมากกว่า 2 เท่าของ ความถี่สูงสุดของสัญญาณ ( fmax)” • หากความถี่สุ่ม = fs • ดังนั้น EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

27. สเปคตรัม (Spectrum) และ ผลของการสุ่มสัญญาณ • สเปคตรัมเป็นการแสดงค่าการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่ • ผลของการสุ่มทำให้เกิด สเปคตรัมแบบเป็นคาบ (periodic) ความถี่ fmaxหรือ f0เรียกว่า ความถี่ไนควิสต์ (Nyquist Frequency) ความถี่สุ่มต่ำสุดที่จะไม่เกิด aliasing จะเรียกว่า อัตราไนควิสต์ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี่ =Nyquist rate EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

28. อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ? • คำว่า alias หมายถึง “ชื่อปลอม” • การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซ้อนทับของสเปคตรัม” • สาเหตุคือ การที่ความถี่สุ่มน้อยกว่าสองเท่าของความถี่ไนควิสต์ หรือ แอลิแอส ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึ่งเป็น วงจรกรองต่ำผ่าน (Low pass filter) 2 ทำ Oversampling EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

29. ทฤษฎีการสุ่มและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction) ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื่องทางเวลา xa(t) คือ = ความถี่แอนาลอก เป็น เรเดียนต่อวินาที หาได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ แปลงฟูริเยร์ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

30. ความถี่แอนาลอกกับ ความถี่ดิจิตอลสัมพันธ์กันดังนี้ ดิจิตอล แอนาลอก • ผลของการสุ่ม ทำให้การแปลงฟูริเยร์เป็น รายคาบ (periodic) แปลงฟูเรียร์ • สัญญาณสุ่ม มีความถี่=1/T EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

31. ทฤษฎีการสุ่ม แปลง อิมพัลส์ เป็น สัญญาณ DT สัญญาณสุ่ม: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกสุ่ม: สัญญาณไม่ต่อเนื่อง (DT): EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

32. ทฤษฎีการสุ่ม (ต่อ) การแปลงฟูริเยร์สำหรับสัญญาณแอนาลอกxa(t) เมื่อ คือ ความถี่แอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) ทำการสุ่ม สัญญาณ แอนาลอก ด้วย ความถี่ T วินาที และแปลงฟูริเยร์ ก็ได้เป็น สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

33. สมการแอลิแอส (Aliasing formula) การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็น เป็น ผลรวมของ ที่ต่างความถี่ สมการแอลิแอส (aliasing formula) EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

34. เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรูปสัญญาณได้ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

35. แบนด์วิทของสัญญาณที่ใช้ได้ (คือไม่เกิดแอลิแอส) Hertz ความถี่ในการสุ่มสัญญาณ แบนด์วิทมากสุดของสัญญาณ (ความถี่ไนควิสต์) Hertz สัญญาณสุ่มต้อง มีค่ามากกว่า แบนด์วิท 2 เท่า EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

36. ตัวอย่าง fs = 1 kHz x(n) y(n) • มีสัญญาณ x(t) ถูกสุ่มที่ fs = 1kHz โดย • จากความถี่แอนาลอกของ x(t) แปลงเป็นความถี่ดิจิตอล x(t) DSP chip TMS320 ตัวสุ่มสัญญาณ เรเดียน ตัดให้อยู่ในย่าน EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

37. ทำให้ได้ สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา x(n) เป็น • แต่เนื่องด้วยความเป็น “คาบ” ทุกๆ • มีสัญญาณความถี่แอนาลอกทุกๆ เท่าของ ที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 1250 Hz f3 =2250 Hz และต่อเนื่อง ไปเรื่อยๆ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

38. fs = 1 kHz 2250Hz 1250 Hz 250 Hz dsp_3_7.jpg EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

39. สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 1 KHz Fs=1 KHz fs= 1kHz 250Hz 1250Hz 2250Hz จะเกิดความถี่เงาหรือแอลิแอสขึ้น ที่ 250 และ 2250 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

40. เมื่อ fs มากขึ้นแต่ยังน้อยกว่า 2 เท่าของ 1250Hz • เมื่อ fs =2 kHz จะได้ • มีสัญญาณหลายความถี่แอนาลอกที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 2250 Hz f3 =4250 Hz ยังคงเกิด แอลิแอส EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

41. fs=2 kHz 4250Hz 2250 Hz 250 Hz dsp_3_6.jpg EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

42. สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 2 KHz fs= 2kHz ความถี่ 2250Hz 250Hz fs EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

43. หาก fs = 2500 Hz (2 เท่าของ 1250 Hz) • นั่นคือ fs = 2500Hz จะได้ • ได้ ความถี่ที่ซ้ำเป็นจำนวนเท่า ของ 1250 Hz f1= 1250 Hz f2= 2500 Hz f3 =6250 Hz EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

44. fs = 2500 Hz 6250Hz 2500 Hz 1250 Hz dsp_3_8.jpg EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

45. สเปคตรัมที่ความถี่สุ่มต่างๆสเปคตรัมที่ความถี่สุ่มต่างๆ x(t) fs= 1kHz 250Hz fs 2250Hz ความถี่ x(t) fs= 2kHz ความถี่ 2250Hz 250Hz fs fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

46. ตัดสัญญาณ fs ด้วย Low pass filter Lowpass fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs สามารถคืนรูปสัญญาณได้ fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

47. การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction) ใช้วงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ กรองต่ำผ่าน EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

48. จากเรื่องการสุ่มเราได้จากเรื่องการสุ่มเราได้ แปลงกลับเป็น อิมพัลส์ กรองต่ำผ่าน อุดมคติ ตัวแปลง D/C อุดมคติ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

49. ผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ แปลงผกผันฟูเรียร์ การคืนรูปสัญญาณ สูตรการทำ Interpolation EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

50. dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_2.jpg EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon