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  1. TESTE DE HIPÓTESES PROFESSOR WALTER SOUSA

  2. TESTES DE HIPÓTESES É uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística, com base em elementos amostrais. O objetivo é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros populacionais.

  3. Teremos sempre duas hipóteses: - Afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como especificado (afirmação verdadeira). - Afirmação que oferece alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é diferente, maior ou menor que o valor alegado).

  4. A hipótese nula é sempre a hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H1 e se rejeitarmos H0, então não podemos rejeitar H1, devendo esta ser aceita.

  5. Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos num Teste de Hipóteses: Erro Tipo I (α): A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita. Erro Tipo II (β) A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita.

  6. Condenar um inocente ou absolver um culpado? É claro que será mais grave a condenação de um inocente. Rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira equivale a condenar um inocente, logo o Erro Tipo I é o mais grave e deverá ser minimizada a probabilidade deste tipo de erro ser cometido. Essa probabilidade chama-se Nível de Significância do Teste, dado por α.

  7. 1) Bicaudal ou Bilateral H0: μ = μ0 H1: μ ≠ μ0 Onde: μ é a média populacional e μ0 é o valor suposto para a média populacional.

  8. RA: região de aceitação (da hipótese nula H0) RC: região crítica (região de rejeição de H0) A fronteira entre essas regiões será dada por um valor tabelado, (Tabela da Distribuição Normal) ou (Tabela da Distribuição t-Student) como veremos mais adiante.

  9. 2) Teste Unicaudal ou Unilateral à direita H0: μ ≤ μ0 H1: μ > μ0

  10. 3) Teste Unicaudal ou Unilateral à esquerda H0: μ ≥ μ0 H1: μ < μ0

  11. Distribuição Normal ou t-Student? Qual usar para arbitrar o valor tabelado que será a fronteira entre as regiões de aceitação e rejeição? Para esclarecer melhor, vamos fazer o seguinte quadro:

  12. Vemos então, que só iremos utilizar a Distribuição t-Student (chamada de distribuição das pequenas amostras) quando a amostra for pequena (para até 30 elementos observados) e a variância populacional for desconhecida.

  13. Se a amostra for grande (maior do que 30 elementos), pouco importará ser conhecida a variância populacional e usaremos a Tabela da Distribuição Normal para arbitrar o valor ZTAB Para procedermos ao teste, além de conhecer o valor tabelado ZTAB, devemos encontrar o valor calculado(estatística teste – calculada)(ZCALC ou tCALC), para a média amostral , para n elementos, com desvio padrão e média da hipótese a ser testada , é dado por:

  14. EXEMPLO Um atributo X tem distribuição aproximadamente normal com média μ e variância σ2. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 36 da população definida por X, deseja-se testar a hipótese H0 : μ=22 contra a alternativa a Ha : μ ≠ 22 ao nível de significância 5%. Para esse fim calcula-se a média amostral igual a 25 e a variância amostral S2 =100.

  15. H0 : μ=22 • Ha : μ ≠ 22 • significância (α) 5%.

  16. 1) Para o teste bilateral: Se aceitaremos H0. 2) Para o teste unilateral à direita: Se , aceitamos H0. 3) Para o teste unilateral à esquerda: Se aceitamos H0.

  17. TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES Definição: Assim como no Teste de Hipóteses para a Média, é uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais.

  18. TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES DIFERENÇAS PRINCIPAIS 1) No Teste para Médias os dados amostrais se apresentam através de medidas. No Teste para Proporções os dados se apresentarão na forma de porcentagem (ou proporção) de elementos com uma determinada característica, que será testada em relação à porcentagem alegada para a população.

  19. TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES DIFERENÇAS PRINCIPAIS 2) No Teste de Hipóteses para a Média precisávamos nos preocupar com o tamanho da amostra e se era conhecida ou não a variância populacional para decidir se usávamos a Tabela Normal ou a Tabela t-Student. Já no Teste de Hipóteses para Proporções não precisamos nos preocupar com isso, pois para encontrar o valor tabulado a ser comparado com o valor calculado (estatística teste) usaremos sempre a TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO.

  20. TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES O cálculo da estatística teste para proporções será:

  21. PASSO A PASSO • a) Estabelecer a hipótese nula e a alternativa • b)Identificar uma distribuição amostral adequada – normal ou t – student. • c) Particionar a região amostral em regiões de aceitação e de rejeição. • d) Calcular a estatística teste. • e) Comparar a estatística amostral com o valor crítico e decidir pela aceitação ou não de H0.

  22. (Cespe/BACEN) Um psicólogo deseja estudar o tempo(em minutos) que os empregados de uma companhia levam para realizar certa tarefa. Postula-se que os tempos na população considerada seguem uma distribuição normal com média μ e variânciaσ2, ambasdesconhecidas. O psicólogoobteveumaamostra de n = 100 empregados e registrou o tempo quecada um deles precisoupararealizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor médio x = a 6,25 minutos e o desvio-padrão S = 1 minuto.

  23. Valores selecionados da tabela normal Se X tem distribuição normal padrão, as entradas representam a probabilidade Pr(X<z). Nessa situação e utilizando, caso seja necessário, os valores selecionados da tabela normal fornecidos acima, julgue os itens a seguir.

  24. Ao testar a hipótese nula H0: µ = 6,50 contra a alternativa Ha: µ ≠ 6,50, o nível de significância α representa a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela for falsa.

  25. (2) Para um nível de significância α = 0,01 (1%), a hipótese nula H0: µ = 6,50 é rejeitada em favor da alternativa Ha: µ ≠ 6,50.

  26. (Cespe/MPU/2010-Perito estatística) Determinada empresa de transporte rodoviário de passageiros oferecerá uma nova linha de ônibus. Sabe-se que o tempo de duração — T — de uma viagem entre a origem e o destino final dessa linha é uma variável aleatória normal com desvio padrão populacional σ= 20 minutos. O valor médio populacional μ da variável T é desconhecido. Uma amostra aleatória simples de 16 tempos de duração de viagens, nessa mesma linha, produziu um tempo médio amostral T = 250 minutos. Deseja-se testar as hipóteses H0: μ= 240 versus H1: μ≠240, em que H0 e H1 são as hipóteses nula e alternativa, respectivamente.

  27. Com base nessas informações e considerando ф(1,96) = 0,975 e ф(2,58) = 0,995, em que фrepresenta a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, julgue os itens a seguir. O teste de hipóteses em questão é monocaudal à esquerda. (2) Se o nível de significância for de 5%, a conclusão do teste será aceitar a hipótese nula.

  28. EXERCÍCIOS • 1) Determine se os testes são bilaterais, unilaterais esquerda ou unilaterais direita. • a) H1: • b) H1: • c) H1: • d) H1:

  29. 2) Considere uma amostra de 100 valores de alugueis, com média R$ 600,00. O desvio padrão da população, considerada normal, e de tamanho infinito é de R$ 250,00. Deseja-se saber se o valor médio encontrado na amostra é superior ao valor de R$ 550,00, que se supõe ser a média verdadeira, ao nível de significância 5%. Seja H0: e H1:

  30. 3) Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: média 42 e desvio padrão 5. Testar ao nível de significância 5%, a hipótese H0 contra a alternativa H1:

  31. 4) Suponhamos que em indivíduos normais quanto à visão, a pressão intraocular seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 20 e variância 4 (em unidade de mm de mercúrio). Um cientista, querendo por à prova a sua hipótese de que o glaucoma causa um aumento tensional, mediu as pressões de 16 pacientes portadores de glaucoma, obtendo uma média igual a 24. O cientista deve ou não manter sua hipótese, ao nível de significância α = 0,005?

  32. 5) Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição aproximadamente normal N (800;1.600). Testar a hipótese de que μ = 800 contra a alternativa de μ ≠ 800 se uma amostra aleatória de 36 lâmpadas tem um tempo médio de vida de 788 horas. Adotar α = 0,05.

  33. 6) (Funiversa/Escrivão PCDF) A estimativa da variância com base em 4 amostras aleatórias de uma determinada droga é de 0,25 gramas, e sua media é de 26 gramas. Considerando que os dados seguem uma distribuição normal, teste a hipótese, ao nível de 95% de confiança de que o verdadeiro valor é de 25 gramas.

  34. a) Refuta-se a hipótese. È um teste unilateral, a estatística calculada é de -3,92 e a tabela de -1,96. • b) Refuta-se a hipótese. É um teste unilateral, a estatística calculada é de 4 e a tabelada de +1,64.

  35. c) Aceita-se a hipótese. É um teste bilateral, a estatística calculada é de -3,92 e a tabelada de +/- 1,96. • d) Refuta-se a hipótese. É um teste bilateral, a estatística calculada é de 4 e a tabelada +/- 1,96. • e) Refuta-se a hipótese. É um teste bilateral, a estatística calculada é de 3,92 e a tonelada de +/- 1,96.

  36. 7) (Funiversa/perito PCDF) As especificações apresentadas por uma fábrica de xarope para gripe afirmam que há, em média, 20mg do princípio ativo para cada mililitro do xarope. Quatro amostras aleatórias do xarope contendo 1mL cada, foram analisadas obtendo-se os seguintes valores; 20,1, 20,0, 20,0 e 20,3. Considerando que os dados seguem uma distribuição normal e um nível de 99% de confiança, assinale a alternativa correta.

  37. a) Refuta-se a alegação do fabricante. A estatística calculada é de -1,41. • b) Aceita-se a alegação do fabricante. A estatística Calculada é de 1,41. • c) Refuta-se a alegação do fabricante. A estatística calculada é de 1,41 e a tabelada de 2,30

  38. d) Aceita-se a alegação do fabricante. A estatística calculada é de -1,41, e a tabelada de 1,96. • e) Não há informações suficientes para se aceitar ou refutar a alegação do fabricante.

  39. (BNDES/2011) O rótulo das garrafas de certo refrigerante indica que o seu conteúdo corresponde ao volume de 290 mL. A variável aleatória que representa o volume de líquido no interior dessas garrafas é X. A máquina que enche essas garrafas o faz segundo uma distribuição normal, com média e variância igual a 36 mL2, qualquer que seja o valor de . A máquina foi regulada para = 290 mL. Semanalmente, uma amostra de 9 garrafas é colhida para verificar se a máquina está ou não desregulada para mais ou para menos. Para isso, constrói-se um teste de hipótese bilateral no qual

  40. X ~ N ( , 36) H0 (Hipótese Nula) : = 290 mL H1 (Hipótese Alternativa): 290 mL O nível de significância do teste foi fixado em α . A hipótese nula não será rejeitada se a média apresentada pela amostra estiver entre 285,66 mL e 294,34 mL. Logo, α é igual a (A) 0,5% (B) 1,0% (C) 1,5% (D) 3,0% (E) 4,0%

  41. 1)a) bilateral • b) unilateral esquerda • C) unilateral direita • d) bilateral • 2) Rejeita H0, logo • 3) Rejeita H0, logo • 4) Rejeito H0, logo cientista correto. • 5) Aceito H0, logo • 6) D • 7) B • 8) D