Lineáris egyenletrendszerek

1. Lineáris egyenletrendszerek Megoldási módszerek És Példa feladatok

2. Megoldási módszerek Grafikus módszer Behelyettesítéses módszer Gauss féle eliminációs módszeravagy az egyenlő együtthatók módszere Vegyesen megoldható, többismeretlenes egyenletrendszerek

3. Grafikus módszer • Szükséges lépések, hogy az egyenletek y-ra legyenek rendezve, az egyenleteket mint függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, és a kapott metszéspont tengelyekre vetített képét leolvassuk. Ezek adják a megoldást. • Hátránya, hogy 3 ismeretlenes egyenletrendszernél magasabb rendűt megoldani igen bonyolult

4. Példa x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása

5. Példa X=0; y=2És ez az egyenletrendszer megoldása

6. y 5 -10 1 5 10 x -5 -5 Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. Megoldás:x=3; y=-1 II.

7. y 5 x 0 -5 5 -5 Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. Megoldás:x=2; y=2 y=2 X=2 II.

8. y 5 x 0 -5 5 -5 I. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! Megoldás:Mivel nincs metszéspont, ezért nincs megoldása az egyenletrend-szernek I. II.

9. Megoldás behelyettesítő módszerrel • Valamelyik egyenletet az egyik változójára rendezzük • Ezután behelyettesítjük a rendezett egyenletet a másik eredeti egyenletbe.

10. Mely számpárok elégítik ki az egyenletek megoldáshalmazát? Vegyük észre, hogy a II. egyenlet x-re rendezett! I. Helyettesítsük be a II. egyenletet az I. egyenletbe! II. II. I. Zárójelbontás Összevonás / -2 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=2, és y=1

11. Példa a behelyettesítő módszerre • Vegyük észre, hogy az I. egyenlet könnyen y változóra rendezhető! • Elegendő visszahelyettesíteni az előbb kapott eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! • És ez a megoldása az egyenletrendszernek

12. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? I. II. Fejezzük ki y-t az I. egyenletből! Helyettesítsük be az I. egyenlet y-ra rendezett alakját a II.-ba! I. II. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra,hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / +32 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=6

13. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? Fejezzük ki y-t a II. egyenletből! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenlet y-ra rendezett alakját az I.-be! II. I. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra,hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / Összevonás / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása:x=3, és y=2

14. Egyenlő együtthatók módszere • Akkor hatásos, amikor a behelyettesítés előkészítése bonyolulttá tenné az egyenlet átrendezését. • Célunk ezzel a módszerrel az, hogy valamelyik ismeretlen változótól megszabaduljunk. • Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét egyenletnek az egyik kiválasztott változóit egyenlő együtthatóra alakítjuk.

15. Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II. egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor mindkét egyenletben az x változó 6 szorosa jelenik meg. Azaz: Mindkét egyenletben a 6x-es tagok pozitívak. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-at.

16. Oldjuk meg ugyanezt az egyenletrendszert x-re is!

17. Vegyesen megoldható,éshárom ismeretlenes egyenletrendszerek

18. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *7 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 175 lesz a közös együtthatójuk II. / *5 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :20 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -40,3 / :35 Az egyenletrendszer megoldása:x=-0,18, és y=1,3

19. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 10 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :10 Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=6

20. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. / :2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :4 Az egyenletrendszer megoldása:x=5, és y=3

21. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunkpontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

22. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / :5 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunkpontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

23. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a másodikegyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz nincs megoldása az egyenletrendszernek

24. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Adjuk össze az első és a másodikat egyenleteket! II. I. + II. / :11 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -14 / : (-2) Az egyenletrendszer megoldása:x=2, és y=6

25. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy z-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 III. / *2 I. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! II. Vonjuk ki az I. egyenletből a III.-t! III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy a 8 a közös együttható! I. - II. I;II. I;III. I. - III. Vonjuk ki az I;II. egyenletből a I;III.-t! / : (-4) Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az III. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása:x=1, y=2 és z=3

26. Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? I. Ahhoz, hogy z-t és x-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy az együtthatójuk azonos! II. III. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! I;II. I. - II. Adjuk össze az I. egyenletet a III.-kal! I;III. I. + III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük azegyenletrendszerből, vegyük észre,hogy az együtthatójuk közös! / :2 Vonjuk ki az I;III. egyenletből az I;II.-t! Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -4 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása:x=2, y=3 és z=5