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形式言語とオートマトン 2012 ー第 6 日目ー. 東京工科大学 コンピュータサイエンス学部 亀田弘之. 前回までの確認. 有限オートマトン (FA) FA の定義と記述法 テープ上を一方向に動くヘッド (テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく) M = <K, Σ, δ, q 0 , F> 状態遷移図 FA の種類 決定性 FA ( DFA ) 非決定性 FA ( ε 遷移のあるものとないもの) 言語認識能力はどの FA でも同じ。 正規言語(正規表現)を認識可能。. 前回までの確認(2). 正規表現を認識する FA の存在とその構成法

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Presentation Transcript
2012 6

形式言語とオートマトン2012ー第6日目ー

東京工科大学

コンピュータサイエンス学部

亀田弘之

slide2
前回までの確認
  • 有限オートマトン(FA)
    • FAの定義と記述法
      • テープ上を一方向に動くヘッド(テープ上の記号を読みながら、内部状態を変えていく)
      • M = <K, Σ, δ, q0, F>
      • 状態遷移図
    • FAの種類
      • 決定性FA(DFA)
      • 非決定性FA(ε遷移のあるものとないもの)
    • 言語認識能力はどのFAでも同じ。
      • 正規言語(正規表現)を認識可能。
slide3
前回までの確認(2)
  • 正規表現を認識するFAの存在とその構成法
    • 正規表現αが与えられる。
    • 正規表現αに対して、ε-NFA を構成する。
    • ε-NFA をDFAに書き換える。
    • DFAを状態数最少のDFAに書き換える。
    • Min-DFAをシミュレートするプログラムを作成する。
slide4
確認問題集
  • (少しずつこなしていってください。)
slide5

a

p

a

q

b

r

a

b

b

確認問題1
  • (オートマトンの定義)次の状態遷移図で与えられるオートマトンを、 M=<K,Σ,δ,q0, F> の5つ組で記述しなさい。
slide6
確認問題
  • 前問のオートマトンの動作のトレース
    • 次の文字列のうち、前問のオートマトンMが受理するのはどれとどれですか?
      • aabba
      • bababbb
      • aaaa
      • bbba
slide7

確認問題
  • 下図のε-NFAをDFAに書き換えなさい。

a

b

b

ε

ε

ε

a

b

c

c

ε

slide8
確認問題
  • DFAからmin-DFAを求める手順について述べなさい。(理論的根拠は、後日お話します。Myhill-Nerodeの定理がポイントになりす。)
slide9
確認問題
  • (正規表現を受理するmin-DFAを求める)

  次の正規表現を受理するmin-DFAを求めよ。

      • (ab|bc)*a(b|c)
      • (a|b|ε)(ab|b)*bc
      • (a|b)*a(a|b)
slide11
今日の話題
  • FAの様相(configuration)(第2章の補足)
  • プッシュダウンオートマトン(pushdown automaton)(第3章の話)
slide12
FAの様相
  • FAの動作の様子・状況を様相(configuration)という。
  • 動作開始時の様相を特に、初期様相という。
slide13
様相の表現

入力文字列

入力文字列の末尾

slide14
様相表現の例
  • (具体例で理解しよう)教科書p.36 問2.1
fa m k q 0 f1

1

0

q

0

1

p

0

r

1

FA M = <K, Σ, δ, q0, F>

様相(p, 11010) |- (q,1010) |- (q,010) |- (q,10) |- (q, 0) |- (q, ε)

(p,11010) |*- (q,ε) <= Mは入力文字列 11010 を受理

slide17

様相(configuration)という用語は、本を読んでいると時々出てきます。様相(configuration)という用語は、本を読んでいると時々出てきます。

  • オートマトンの動作状況を表現する単なる1つの方法にすぎません。でも、便利ですよね。
slide18
自主練習

教科書p.58の【演習問題】にチャレンジしてください。

slide19
ここから新しい話し

Let’s get down to today’s topics.

  • (第3章に入ります)
slide20
プッシュダウンオートマトン
  • 有限オートマトンにプッシュダウンスタックメモリを追加装備したもの。
  • Pushdown automaton (PDA)
slide21
プッシュダウンスタック
  • 歴史的view:
    • 初期の頃:プッシュダウン型スタックメモリ(特殊なハードウェアと考えていた)
    • 現在:「スタック」は基本的なデータ構造の1つと考えられている。プッシュダウンスタックとは言わず、スタックと呼ぶことが多い。

データ構造:

・配列(またはアレイ)

・リスト

・スタック

・キュー など

続きは「データ構造とアルゴリズム」で。

slide22
プッシュダウンスタックのイメージ

Pop up

Push down

LIFO (Last In First Out)

最後に入れたものが最初に取り出される。

slide23
PDAの種類
  • 決定性プッシュダウンオートマトン

Deterministic pushdown automaton (DPDA)

  • 非決定性プッシュダウンオートマトン

Nondeterministic pushdown automaton (NPDA)

dpda m
DPDA Mの定義
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>
    • K:内部状態の集合 (#K < ∞)
    • Σ:入力アルファベット (#Σ < ∞)
    • Γ:プッシュダウンアルファベット(#Γ < ∞)
    • δ:状態遷移関数

K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ*

    • q0:初期状態 (q0 ∈K )
    • Z0:ボトムマーカ ( Z0∈Γ)
    • F:最終状態 ( F ⊂ K )
dpda m1
DPDA Mの定義
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>
    • K:内部状態の集合 (#K < ∞)
    • Σ:入力アルファベット (#Σ < ∞)
    • Γ:プッシュダウンアルファベット(#Γ < ∞)
    • δ:状態遷移関数

K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ*

    • q0:初期状態 (q0 ∈K )
    • Z0:ボトムマーカ( Z0∈Γ)
    • F:最終状態 ( F ⊂ K )
dfa dpda
DFA と DPDA

類似点と相違点

類似点: 相違点:

・入力テープ ・プッシュダウンスタックメモリ

 (左から右へ読み込むだけ)

・ヘッドとその内部状態

slide28

研究

  ハードウェア構成でのイメージ

なぜ、プッシュダウンスタック?

slide29
研究テーマ

内部処理装置

記憶装置

入力記号列

slide30
難しいことはさておいて…
  • (例を見てみましょう)教科書p.68例3.1
dpda m2
DPDA Mの例
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>
    • K内部状態の集合 = { q0, q1, q2 } (#K < ∞)
    • Σ入力アルファベット = { a, b } (#Σ < ∞)
    • Γプッシュダウンアルファベット = { A, Z0 }(#Γ< ∞)
    • δ:状態遷移関数

K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ*

    • q0 初期状態 = q0 (q0 ∈K )
    • Z0:ボトムマーカ ( Z0∈Γ)
    • F:最終状態 F = { q2 } ⊂ K
dpda m3
DPDA Mの例
  • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F>
    • K = { q0, q1, q2 }
    • Σ = { a, b }
    • Γ = { A, Z0 }
    • δ:状態遷移関数
    • q0 :初期期状態
    • Z0:ボトムマーカ
    • F = { q2 }⊂ K
slide34
動作のトレース
  • (q0, aaabbb, Z0)|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0)
  • |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q0, ε, AZ0)

受理

拒否

slide36
動作のトレース

自分で確認しよう

  • (q0, aaabbb, Z0)|- (q0, aabbb, AZ0) |- (q0, abbb, AAZ0)|- (q0, bbb, AAAZ0)|- (q1, bb, AAZ0)|- (q1, b, AZ0) |- (q1, ε, Z0)|- (q2, ε, Z0)
  • |- (q0, aab, Z0)|- (q0, ab, AZ0)|- (q0, b, AAZ0)|- (q1, ε, AZ0)

受理

拒否

slide37
練習
  • 教科書のp.71 問題3.1の DPDA の動作をいろいろな入力に対して調べてみよう。
slide38
非決定性プッシュダウンオートマトン
  • DPDAでの状態遷移関数部分が1対多の写像になる。
d pda m
DPDA Mの定義(再)
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>
    • K:内部状態の集合 (#K < ∞)
    • Σ:入力アルファベット (#Σ < ∞)
    • Γ:プッシュダウンアルファベット(#Γ < ∞)
    • δ:状態遷移関数

K×(Σ∪{ε})×Γ → K×Γ*

    • q0:初期状態 (q0 ∈K )
    • Z0:ボトムマーカ ( Z0∈Γ)
    • F:最終状態 ( F ⊂ K )
n pda m
NPDA Mの定義(再)
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>
    • K:内部状態の集合 (#K < ∞)
    • Σ:入力アルファベット (#Σ < ∞)
    • Γ:プッシュダウンアルファベット(#Γ < ∞)
    • δ:状態遷移関数

K×(Σ∪{ε})×Γ → 2K×Γ*

    • q0:初期状態 (q0 ∈K )
    • Z0:ボトムマーカ ( Z0∈Γ)
    • F:最終状態 ( F ⊂ K )
dpda m4
DPDA Mの例
  • M = <K, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F>

(教科書p.73の例3.2)

npda m
NPDA Mの例
  • M = <K,Σ,Γ,δ,q0,Z0, F>
    • K = {q0,q1,q2,q3,q4,qf }
    • Σ = { a, b, c }
    • Γ = { A, Z0 }
    • δ:状態遷移関数
    • q0 :初期状態
    • Z0:ボトムマーカ
    • F = { qf }⊂ K
slide44
今日の設問(1番だけ提出)
  • (q0, aaabbbcc, Z0) |*- ?
  • aaabbbcc は受理されるか?される場合は、その動作の様子を様相表現で示しなさい。
  • aabbbccc は受理されるか?
slide45
ここまでのまとめ
  • プッシュダウンスタック
  • プッシュダウンオートマトン
    • 決定性
    • 非決定性
  • PDAはFAを含む(PDAはFAよりも文字列認識能力は高い。) <=(Why?)
  • DPDA は NPDA よりも能力は低い。(証明はしませんが、事実です。)
slide46
次回は、チューリングマシンです。
  • チューリングマシンは、アルゴリズムや計算に関する理論の基礎を与えてくれます。
  • チューリングマシンと、認識可能な言語との対応(チョムスキー階層)の話しもやがて出てきます(第5章)。
  • 線形拘束オートマトン(線形有界オートマトン)も今後導入します。
  • 計算量・計算の複雑さなどの話題にも触れましょう。  お楽しみに!
slide47
ここまで積み残してきているもの
  • Myhill-Nerodeの定理
  • (DFAにおける)ポンピング補題 など
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