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罗素 Bertrand Russell 1872-1970

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罗素 Bertrand Russell 1872-1970. 纯数学是这样一门学科,在其中我们并不知道我们在谈论什么,或者我们不知道我们所谈论者是否是真的 。. 真理与定理 Godel Theorem. 第 9 讲. 梦想与悖论. 希尔伯特纲领. 梦想的破灭. 1596 年 3 月 31 日生于法国的图伦. 笛卡尔 René Descartes 1596-1650. 1650 年 2 月 11 日在斯德哥尔摩去世. 1619 年 11 月 10 日. Ausonius: Quod vitae sectabor iter

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Presentation Transcript
slide1

罗素

Bertrand Russell 1872-1970

纯数学是这样一门学科,在其中我们并不知道我们在谈论什么,或者我们不知道我们所谈论者是否是真的。

slide3
梦想与悖论
  • 希尔伯特纲领
  • 梦想的破灭
slide4

1596年3月31日生于法国的图伦

笛卡尔

René Descartes

1596-1650

  • 1650年2月11日在斯德哥尔摩去世
  • 1619年11月10 日
  • Ausonius: Quod vitae sectabor iter
  • 在我的一生中,我该走哪条路?
slide5

科学中正确运用理性和追求真理的方法论

  • 1637年6月8日
  • 《折光学》
  • 《气象学》
  • 《几何学》
slide6

寻求知识的途径

把大的困难拆分成小的困难

从简单到复杂的推理

进行检验

  • 寻求知识的途径

仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西

slide7

笛卡尔之梦

数学问题(几何问题)

代数问题(解析几何)

多项式方程组

一元高次方程

现实问题

slide8

人类的所有问题,都可以通过逻辑计算,理性地、系统地加以解决。人类的所有问题,都可以通过逻辑计算,理性地、系统地加以解决。

  • 笛卡尔的梦想:将世界数学化

数学真理 = 数学定理

slide9

笛卡尔计划的一个具体的实现方案: 将思维演算化、计算化,以至于可以计算机化。

解析几何如同一台庞大的绞肉机,你把问题塞进去,只要摇动曲柄,就可以得到答案。

莱布尼兹(德国)

Gottfried Leibniz

(1646-1716)

slide10

为几何大厦添砖加瓦,从此就用不着天才那样的人物了。为几何大厦添砖加瓦,从此就用不着天才那样的人物了。

《几何方法的起源和发展的历史概述》

沙勒(法国)

Michel Chasles

1793~1880

slide11

罗素:日常语言和逻辑中可以出现悖论

1900年前后,逻辑悖论的出现
  • 理发师悖论
  • 村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。
  • 谁给理发师理发?
slide12

庞伽莱(法国)

Henri Poincaré (1854-1912)

为了防备狼,羊群已用篱笆圈了起来,但却不知道圈里有没有狼。

1930 i
1930年之前: 两个基本问题 I

数学的完备性 completeness

  • 一个数学系统是完备的,那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的,每一个数学真理都对应着一个数学定理。
  • 每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断,或者是给出答案,或者是证明它不可解。
1930 ii
1930年之前:两个基本问题 II

数学的一致性consistency

  • 如果说一个数学系统是一致的,不可能得出0≠0的结果。
  • 一致性(相容性、无矛盾、协调性)
  • 不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的,即不能出现悖论。
slide15

如果一个系统是不一致的,则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的,或者假的,那样的话,我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。如果一个系统是不一致的,则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的,或者假的,那样的话,我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。

slide16

罗素: 我是教皇

所以,罗素就是教皇。

如果我们承认 2+2=5,

则有 2=3

于是 1=2

或者 2=1

因为教皇和罗素是两个人,且 2=1

slide17
希尔伯特纲领
  • 梦想与悖论
  • 梦想的破灭
slide18
1900年巴黎国际数学家大会
  • 希尔伯特23问题
  • 第二个问题“算术公理的一致性”
  • 数学推理的可靠性:只要按照数学推理的规则,就不应该得出相互矛盾的陈述。
  • 希尔伯特:一致性是任何类型的公理化系统的必要条件
slide19
为什么希尔伯特要操心这样的事情呢?
  • 2+2=5 真的可以发生吗?
  • 三角形的内角和≠180º吗?
slide20

几何原本

  • 1482年
  • 威尼斯
slide21

存在着完全一致的、关于点和线的数学系统,他们不同于欧几里得的系统。存在着完全一致的、关于点和线的数学系统,他们不同于欧几里得的系统。

波约(匈牙利)

Janos Bolyai (1802-1860)

罗巴切夫斯基(俄国)

Nikolai Lobachevski (1792-1856)

  • 三角形的内角和可以小于180º
  • 双曲几何
  • 三角形的内角和可以大于180º
  • 椭圆几何
slide22

欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼

三种几何

平面 双曲 (马鞍) 椭圆 (球)

1条平行线 许多平行线 没有平行线

= 180º < 180º > 180º

平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙

冷寂 冷寂 大挤压

slide23

希尔伯特

David Hilbert

希尔伯特纲领建立的动机

1862年1月23日

生于哥尼斯堡

  • 罗素悖论产生的原因:自然陈述中语义的含糊性

1943年2月14日

死于哥廷根

  • 铲除悖论:为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架,在其中可以谈论数学的真或假。
slide24

形式系统:形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串(公式)完全不含意义。形式系统:形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串(公式)完全不含意义。

  • 将每一个数学真理都形式化,从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。也不会产生不可判定的命题。
slide25
形式系统
  • 公式:按照一定的形式规则排列的符号串
  • 公理:一个公式
  • 推理规则:由有限个确定的公式(规则的假设)得到某一个确定的公式(规则的结论)
  • 定理:公理;
  • 若规则的假设是定理,其结论也是
  • 形式系统的公式是否定理,可以机械地验证
slide26
希尔伯特纲领
  • 第一步,建立形式系统
  • 第二步,考虑数学结构
  • 将数学对象与形式系统中的符号、公式相匹配,用不含意义的形式语言来解释含有意义的数学对象。 
slide27

1920年~1930年

  •  希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼
  •  元数学(或称证明论)
  •  不使用那些有争议的推论
  •  用矛盾去证明存在
  •  超限归纳
  •  实无穷集
  •  非断言性的定义
  •  选择公理
  •  存在性的证明也必须是构造性的
  •  元数学证明的概念与方法是有限性的
slide28

希尔伯特(1928年):

  • 利用这种新的数学基础—人们完全可以称之为证明理论,我将可以解决世界上所有的基础问题。
  • 所有有意义的论述都将被证明或证伪,那样就不存在悬而未决的命题了。
slide29
希尔伯特的梦想
  • 构造一个形式系统,它既是完备的,又是一致的。
  • 在数学结构的真理与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。
  • 把整个数学真理全部形式化,以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。
slide30

定理陈述

证明机器

结果:真\假

  • 希尔伯特的形式系统
  • 证明机器
slide31

1928年9月波伦亚国际数学家大会

  • “数学基础问题”(四个问题)

希尔伯特

1900年

  • 基本问题:可否证明每一个真的数学陈述。
slide32
梦想的破灭
  • 梦想与悖论
  • 希尔伯特纲领
kurt godel 1906 1978

1906年4月28日出生于捷克的布尔诺Brno

哥德尔Kurt Godel (1906-1978)
  • 1924年 入维也纳大学,理论物理
  • 1929年获奥地利国籍,完成博士论文
  • 1931年不完备性定理发表
  • 1940年定居普林斯顿
  • 1948年加入美国国籍
  • 1978年1月14日在普林斯顿去世
slide38

罗素与怀特海:《数学原理》

  • John Kemeny:这是一本“被每个哲学家所讨论,而实际上又无人读过的名著。”
slide39

符号

哥德尔数

意义

1

2

3

如果……那么……

4

存在

=

5

等于

0

6

s

7

……的直接后继

8

标点符号

9

标点符号

基本逻辑符号的哥德尔配数(简化本)
slide40

逻辑公式:

  • 存在着一个数x,它是数y的直接后继。

x、y:数值变元; 用大于10的素数来表示。

令 x = 11、y = 13。

slide41

符号

哥德尔数

意义

1

2

3

如果……那么……

4

存在

=

5

等于

0

6

s

7

……的直接后继

8

标点符号

9

标点符号

[8,4,11,9,8,11,5,7,13,9]

x = 11、y = 13

slide43
莱布尼兹、希尔伯特 用数来表示概念或词句
  • 应用“哥德尔配数法”使语法算术化
  • 《数学原理》中的每一条陈述,都可以安排一个唯一的数与之对应。
slide44

说谎者悖论(Liar’s paradox)

这个句子是错的

  • 避开难以捉摸的真与假的概念
  • 用“可证性”的概念代替“真”

这个陈述是不可证的

  • 利用哥德尔的编码方案,可以编码上述论断
  • 通过46条推理,得到这条陈述,称为哥德尔句G
slide45

这个陈述G是不可证的

  • 如果哥德尔陈述G是可证的
  • 由于G是真的,根据论断,它不可证
  • 在这个系统中,陈述G和它的否定都成立
  • 所以,这个系统是不一致的
slide46

这个陈述G是不可证的

  • 如果哥德尔陈述G是不可证的
  • 由于陈述G是真的,但是却不可证
  • 这个系统是不完备的
slide47

1931: “论《数学原理》及其有关系统中的形式不可判定命题 I ”

  • 哥德尔不完备定理: 对于算术的任何一致的形式化系统,都存在着一个命题G,在这个系统中不可证明。
slide48

哥德尔定理证明的两个关键步骤

  • 哥德尔配数:对算术中的所有可能的陈述进行编码;
  • 编码一个论断(哥德尔句G):“这个陈述G是不可证的”。
slide52
第10讲 数学猜想
  • 时间: 5月21日
  • 主讲: 王辉