En Küçük Maksimal Eşlemeler Zorluk ve Yaklaşıklama

1. En Küçük Maksimal EşlemelerZorluk ve Yaklaşıklama Marc Demange1, Tınaz Ekim2, Cerasela Tanasescu1 1) ESSEC Business School, Bucarest,Romania 2) Boğaziçi Üniversitesi, Istanbul, Turkey

2. Plan • En küçük maksimal eşlemeler (MMM) • Biparti graflarda uygulamalar • Karmaşıklık • Yaklaşıklama • Açılımlar YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

3. Tanımlar • Eşleme birbirleriyle bitişik olmayan kenarlar kümesidir • Bir eşlemeye yeni bir kenar eklenemiyorsa bu bir maksimal eşlemedir. • maksimal (kümesel) ≠ maksimum (en büyük - boyutsal) • maksimum  maksimal ama maksimal  maksimum • En Büyük Eşleme (M) (Polynomiyal, Edmond 1965) • En Küçük Maksimal Eşleme (MMM) YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

4. Telefon ağları bağlantı noktası aramalar MMM= doymuş bir sistemin en kötü durumdaki davranışı 00 i araması j bağlantı noktasına yönlendirilebilir YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

5. Sağlam Evlilik M sağlam  M maksimal adaylar kurumlar En kötü durumda eşlenmemiş adayların sayısı  n-MMM 00 + tercihler YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

6. Eşdereceli biparti graflar (1) • Pratikte kullanılan yapıların çoğu son derece düzenli • Örnek: d-boyutlu küp, Hamming grafları 2-eşdereceli 3-eşdereceli 4-eşdereceli 1-eşdereceli YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

7. Eşdereceli biparti graflar (2) • Türkiye’de üniversite giriş sınavı  2 milyon aday • Üniversitelerin aday tercihleri = sınav sonuçları • Adayların üniversite tercihleri • Eksiklik:Sınav sonuçları tek kriter • Alternatif metod(Alkan 1999): • Çoklu sağlam eşleme kullanarak kısa-listeler oluştur  eşdereceli bipartigraf • Mülakatyap + yeni tercih listeleri oluştur (U ve A için) + sağlam bir eşleme bul YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

8. NP-zorluk sonuçları • Yannakakis & Gavril, 1980 • En büyük derecesi 3 olan düzlemsel graflar • En büyük derecesi 3 olan biparti graflar • Horton & Kilakos, 1993 • Düzlemsel biparti graflar • 3-eşdereceli düzlemsel graflar • MMM k≥3k-eşdereceli biparti graflarda NP-zor • 3-eşdereceli biparti  en büyük derece 3 biparti YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

9. NP-zorluk kanıtı • Teorem:MMM k≥3k-eşdereceli biparti graflarda NP-zor • k-eşdereceli biparti graflarda MMM(D)  (k+1)-eşdereceli biparti graflarda MMM(D) • 3-eşdereceli biparti graflarda MMM NP-zordur. • Yannakakis & Gavril (1980) En fazla 3 dereceli biparti graflarda MMM NP-zor • Polynomiyal indirgemeyi değiştir YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

10. Yaklaşıklama: literatür • Genel graflarda: herhangi bir algoritma 2-yaklaşık sonuç verir ve daha iyi bir yaklaşıklama bilinmemektedir. • En büyük eşleme ≤ 2MMM (biparti graflar için bile) • M: maksimum eşlemeMMM: En küçük maksimal eşleme • Cardinal, Langerman, Levy 2009: yoğun graflarda 2-e • Chlebik, Chlebikova 2006: 7/6dan iyi yaklaşıklanamaz YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

11. Yaklaşıklama: özel durumlar (1) • Teorem: d-eşdereceli graflarda M ≤ (2d-1)/d MMM; ve de bu sınır eşdereceli biparti graflarda dahi sıkıdır. • M ile MMMnin simetrik fark ve kesişimlerine bak • MMMe göre özgür noktalardan çıkan kenarlar ancak MMMe göre doymuş noktalara gidebilir  P3 sayısı sınırlı YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

12. Yaklaşıklama: özel durumlar (2) • Teorem: d-eşdereceli ve ideal eşlemesi olan graflarda MM ≤ 9/10 M. • Mden yola çıkarak, maksimalliği koru, kenar sayısını azaltmaya çalış • Sonuç: d-eşdereceli ve ideal eşlemesi olan graflarda MMM (9/10)(2d-1/d)-yaklaşıklanabilir. • d=3  1,5-yaklaşıklama • d büyük  1,8-yaklaşıklama YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

13. Açılımlar • P – NP-tam • Farklı varsayımlar altında daha iyi yaklaşıklama algoritmaları geliştirmek • Sezgisel algoritmalar geliştirmek ve performanslarını incelemek YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010

14. Teşekkürler YAEM 2010, İstanbul, 02/07/2010