第十三章光的衍射 §13-1 光的衍射 §13-2 单缝夫琅和费衍射 §13-3 衍射光栅 §13-4 圆孔衍射分辩率 §13-5 X 射线的衍射

第十三章光的衍射 §13-1 光的衍射 §13-2 单缝夫琅和费衍射 §13-3 衍射光栅 §13-4 圆孔衍射分辩率 §13-5 X射线的衍射

§13-1 光的衍射惠更斯－菲涅耳原理 衍射现象是波动性的另一重要表现。只要光在传播，就有衍射现象。衍射和传播是联在一起的。一、光的衍射现象 1、什么叫衍射波在传播中遇到障碍物，使波面受到限制时，能够绕过障碍物继续前进的现象。 2、光的衍射现象 光不再是直线传播，而有光进入障碍物后的几何阴影区。 光所到达的区域，其强度分布也不均匀。

屏幕E a 单缝K 光源 S b (a) 屏幕E a 光源 S b (b) 实验发现，光通过宽缝时，是沿直线传播的，如图(a)所示。若将缝的宽度减小到约104m及更小时，缝后几何阴影区的光屏上将出现衍射条纹，如图(b)所示，这就是光的衍射现象。

二、惠更斯－菲涅耳原理 1、惠更斯－菲涅耳原理的基本内容 • 波动有两个基本特性，波是振动的传播，波具有时空周期性，且能相互叠加。 • 惠更斯提出的子波假设：波阵面上的每一点都可看成是发射子波的新波源，任意时刻子波的包迹即为新的波阵面。 “子波”的概念不涉及波动的时、空周期性，因而不能说明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。

菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，补充了描述次波基本特征的时空周期的物理量:位相和振幅，及波的叠加。认为：从同一波阵面上各点发出的次波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。这就是惠更斯—菲涅耳原理。菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，补充了描述次波基本特征的时空周期的物理量:位相和振幅，及波的叠加。认为：从同一波阵面上各点发出的次波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。这就是惠更斯—菲涅耳原理。惠更斯——菲涅尔原理= 次波与次波的相干叠加

n S θ r P ds 振幅 2、惠更斯－菲涅耳原理的数学表示基本出发点：波面S在其前面某点P相干叠加的结果，取决于波面上所有面元ds在P点产生的振动之和。在S上取一面元ds，ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：菲涅耳假设 dE0 ∝ dS,即正比于面元dS dE0 ∝ 1/r ,反比于dＳ到Ｐ点的距离r dE0 ∝ K(θ)，表示dE0随角的增大而单调减少， ＞９００时K()=0,即无倒退的子波。

位相 • P点振动的合成可由菲涅尔衍射公式给出所有面元发出的次波在P点的相干叠加结果为 • P点的振动为无限多个振动源相干叠加的结果，所以变成 • 了一个无限多光束的干涉问题。 • 原则上，菲涅尔公式可以讨论一般衍射问题。但只对某些 • 简单情况才能精确求解。 • 由于直接积分很复杂，所以常常利用“半波带法”（代数 • 加法）和“振幅矢量加法”（图解法)。

衍射屏 衍射屏接收屏接收屏 S 三、菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射按光源, 障碍物, 屏 , 三者相对位置分 1、菲涅耳衍射衍射屏、光源和接收屏之间（或二者之一）均为有限远。 2、夫琅禾费衍射衍射屏与光源和接收屏三者之间均为无限远。（实际上是：入射光为平行光，出射光亦为平行光→用透镜获取平行光→再用透镜汇聚平行光于光屏。)

E L1 L2 S a A D 中央明纹 L1、 L2 透镜 §13-2 单缝夫琅禾费衍射一、单缝夫琅禾费衍射　 1、装置和现象 A：单缝 E：屏幕缝宽a 缝屏距D（L2之焦距f）

夫朗禾费单缝衍射图样是一组与狭缝平行的明暗相间的条纹，其中中央条纹最亮最宽。夫朗禾费单缝衍射图样是一组与狭缝平行的明暗相间的条纹，其中中央条纹最亮最宽。

３３３３ 3 ２２２２ 2 A １１１１ 1 φ O/ O K L B 2、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射过程 • 平行衍射光的获得设平行入射光垂直投射到缝K上，其波前与缝平面AB重合。按惠更斯原理，波前上的每一点都可看成发射球形子波的波源，而每个子波源都可以向前方各个方向发出无穷多束光线，统称为衍射光，如图中A点的1，2，3…光线都是衍射光线。每个子波源所发出的沿同一方向的平行光构成了一束平行衍射光。如光线系1，光线系2，…等构成无穷多束平行衍射光。

P L2 L1 A  a  S C B f dL • 平行衍射光的方向每一个方向的平行光与单缝法线方向之间的夹角用表示，  称为衍射角，。衍射角 的变化范围为0→±π/2 • 平行衍射光在焦平面上相干汇聚每一束平行光经透镜L2汇聚后，聚焦于L2焦平面上的一点。对同一束平行光而言，它们来自同一波前上的各个子波，因此满足相干条件。

A  a L C B 每一束平行光都在光屏上进行相干叠加，其相干叠加后的振幅，则由他们的光程差决定。显然，对于 =0的一束，其中每条光线的光程都相等，因而叠加结果相互加强，即为中央亮纹。 3、用半波带理论分析衍射条件 ①衍射角为的一束平行衍射光的光程差：考虑一束平行衍射光，作AC⊥BC，则BC段即为这一束平行光的最大光程差。（式中a为缝宽）

②、半波带方法： 按相距／2 作平行于AC的平面A1A1/,A2A2/,…将光程差BC分割成n个相等的部分，同时这些平面也将波面AB分割成n个相等的部分ＡＡ１，Ａ１Ａ２… 它们称之为波带。由于每相邻波带对应点如A、A1， A1、 A2 …向方向发出的光波A〞 A1〞，A1〞A2 〞…的光程差逐一相差半个波长，故称之为“半波带”。 ③、用半波带方法解释衍射： • 两相邻波带的对应点（如边缘，中点）在P点引起的振动其位相差是  。

各半波带的面积相等，各波带上的子波源的数目也相等。所以相邻两带在P点振动的贡献相互削弱，即为相消干涉。各半波带的面积相等，各波带上的子波源的数目也相等。所以相邻两带在P点振动的贡献相互削弱，即为相消干涉。 P  a O f 故在给定的衍射角中，若BC刚好截成偶数个半波带，则P点为相消干涉而出现暗纹；则P点为相长干涉而出现亮纹(多余的一个半波带不能被抵消); 若BC刚好截成奇数个半波带，则P点的亮度介于次极大和极小之间。若BC不为半波长的整数倍，

（近似值） 中央明纹（零级衍射亮纹）：亮纹条件：暗纹条件：另外也可看出，若角越大，则BC越长，因而半波带数目越多，而缝宽AB=a为常数，因而每个半波带的面积要减少（即每个半波带上携带的光能量减少），于是级数越高，明条纹亮度越低，最后成模糊一片。 ④、衍射图样中明、暗纹公式

暗纹条件： 中央明纹： a 这一关系称衍射反比律 4、单缝衍射条纹特点（1）条纹宽度设焦距f、缝宽a和波长，缝屏之间距离就是透镜焦距f。 • 中央明纹的线宽度为正负第一暗纹间距。中央明纹的角宽度(即条纹对透镜中心的张角)为 20。有时也用半角宽度描述。中央明纹线宽度为x0

可见中央明纹约为其他各级明纹宽度的两倍。 （近似值）对K级暗纹有角宽度 • 其他各级明纹的宽度为相邻暗纹间距

由暗纹条件： • 由暗纹条件：：缝越窄，衍射越显著，但a不能小于（a小于时也有衍射，但此时半波带理论不成立）；缝越宽，衍射越不明显，条纹向中心靠近，逐渐变成直线传播。若λ一定时，若a一定时， λ越大，衍射越显著，（2）影响衍射图样的a和 当白光入射时，中央明纹仍为白色，其他各级由紫至红，一般第2、3级即开始重叠。

I光强度 asin 3 2  0  2 3 （3）各级亮纹强度分布是不均匀的以中央明纹的强度为1，则第一级明纹为4.5% 第二级明纹为1.6% 第三级明纹为0.83%

对于暗纹有 a 例13-1 波长为600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽a =0.60 mm 的单缝上，缝区有一焦距f=60cm的透镜，在透镜焦平面上观察衍射图样，则中央明纹的宽度为多少？两个第3级暗纹之间距离是多少？解：在  角很小时，

例１3－２ 如图所示，在宽度a=0.6mm的单缝后放一焦距f=40cm的透镜，再将屏幕置于透镜焦平面上，如果以某单色平行光垂直照射单缝，在屏上形成衍射条纹，若在距中央1.4mm处的P点是明纹，求（１）入射光的波长，（２） P点条纹级数，（３）从P点看来，对该光波而言，单缝处的波阵面可作出的半波带数目。解（１）由于P点是明纹，故有

（２）综上所述：适合本题的是： ①若，则P点是第3级明纹 ②若，则P点是第4级明纹 K=3时，可在单缝上作出个半波带 K=4时，可在单缝上作出个半波带

例13－３在夫琅禾费单缝衍射实验中： （A）单缝所在处的波面所分得的波带数主要取决于衍射角；（B） 越大，则分得的波带数越多；（C）波带数越多，则明条纹的亮度越小；（D）明条纹的亮度是由所有波带发出的子波经透镜汇聚干涉加强的结果。答：全部对。

衍射屏 接收屏 §13-3 衍射光栅 *：先提两个问题第一个问题：前面讲单缝衍射时，缝后的透镜其主光轴是与缝的中垂线重合的。因此，中央明纹刚好落在焦平面与主光轴的交点附近。缝宽不变，将缝上、下平移，但仍使缝的法线方向与透镜主光轴平行，那么这时单缝衍射的中央极大值和其它各级衍射条纹位置如何变化？答：由几何光学知识可知：凡平行于主光轴的光线都汇聚于主光轴上，凡平行于付光轴的光线都汇聚于焦平面上同一点。这就是说：单缝衍射的图样只与衍射角Φ有关，而与单缝主光轴的上、下方无关。

0级 1级 -1级 I 透镜衍射光相干叠加 θ 缺2级缺-2级 3级 a -3级 λ d 单缝衍射光强 I θ θ 0 f 第二个问题：在前面讲的双缝干涉中，如果双缝干涉的装置也符合夫琅禾费衍射的条件，那么这时的双缝干涉图样将怎样变化？答：为讨论问题方便起见，先每次只打开一个缝，则由第一个问题的结果可知：两个缝单独形成的衍射条纹都在同一位置上。因此，当两个缝同时打开时，这两个完全一样的单缝衍射条纹就会重叠在一起，而且是相干叠加。即这时在原来单缝衍射的明纹处，叠加后又会出现明、暗相间的干涉条纹；但在原来是单缝衍射极小的地方，两束光叠加后依然是极小，即依然是暗纹。

透射光栅 反射光栅 d d 一、光栅 1、光栅：狭义：平行，等宽，等间隔的狭缝。广义：任何具有空间周期性的衍射屏。 2、分类：透射光栅，反射光栅。 3、光栅常数：指缝宽a和缝间距b之和，可记为d=(a+b)。光栅常数 d 的数量级通常在10-5-10-6m, 即105-106条/m，或100-1000条/mm。电子束刻制可达几万条/mm(d 10-1m)。

观察屏 衍射屏透镜L P φ d φ 焦距 f dsin  o  二、光栅衍射 1、光栅衍射:是夫朗禾费单缝衍射与多缝干涉的总效果。 2、多缝干涉 ① 相邻的两个相干光束间的光程差设平行单色光垂直照射光栅，各缝具有相同衍射角的一组平行光都会聚于屏上同一点，这些光波叠加彼此产生干涉，称多光束干涉 (多缝干涉)。任意相邻两缝射出衍射角为的两衍射光到达P点处的光程差均为 (a+b)sin ＝dsin。

单色光垂直照射光栅时 ② 光栅干涉（即多光束干涉）的主极大的必要条件为此公式称为光栅公式 K=0-----对应的是零级主极大， K=1,2,3,...分别称为1级主极大，2级主极大…以光栅法线为起点，逆时针为正级次；顺时针为负级次。 • 位置主极大位置与缝数N无关（，d一定）进一步的理论证明，在两主极大之间有（N-1）个干涉极小，因此缝数N越多，两亮纹间的次极小越多，而主极大的的中心位置不变，因此亮纹更加细、窄,明纹更加明亮，即叠加后的明纹亮度为原来每缝光强的Ｎ２倍（如下图所示）。因为主极大处是各衍射光束同相加强，所以，合振幅是每一个单缝发光振幅的N倍，即，

单缝双缝三缝五缝 20缝

多缝干涉主极大位置为 单缝衍射的暗纹位置为 3、单缝衍射起调制作用 • 单缝衍射只影响各主极大的强度分布，但不改变主极大、极小的位置。即：单缝衍射对多光束干涉图样起调制作用。 • 缺级现象在同一衍射角中，既满足单缝衍射极小，又满足光栅干涉主极大时，将会出现缺级。当单缝衍射的暗纹位置与多缝干涉主极大位置重合时，有故当d=(a+b)与a有简单整数比时，将看到缺级现象所缺级次为

I单 I0单单缝衍射光强曲线 N=4, d=4a sin -2 -1 (/a) 1 0 2 I/I0 多缝干涉光强曲线 N2 sin 0 (/d) -8 4 8 -4 I N2I0单单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线 sin (/d) 4 -8 -4 8 0

2级 3级 1级 0级 -3级 -2级 -1级三、衍射光谱当复色光入射时，  除0级主极大外，其他各级不同波长的同一级主极大的位置()将错开。  短波的靠近中央一点；长波的远离中央一点。  错开的距离随级次的增高而增大。某波长的一个主极大叫作一条谱线。不同波长的同级(主极大)谱线组成一级衍射光谱。

观察屏 L    P d sini  图b 图a o  焦距 f dsin  四、斜入射时的光栅公式此时总光程差为 、φ表示衍射方向与法线间的夹角，当φ与θ在法线同侧，为图a，上式左边括号中取加号；在异侧时取减号，如图b。斜入射的光栅公式为斜入射可以获得更高级次的条纹，而高级次的条纹分辨率高。

暗纹明纹单缝衍射干涉明纹暗纹 * 衍射和干涉的比较 ①根据惠----菲原理，衍射和干涉在本质上是一样的，都是波动振幅的相干叠加。 ②但在叠加机制上是不同的。若参与叠加的各光束的传播行为可近似用几何光学的直线传播描述时,为纯干涉问题。若参与叠加的各光束本身明显不符合直线传播，就每一束光而言存在着衍射，而各衍射光束间存在干涉。干涉是有限几束光的叠加（粗略的），衍射是无数条相干光叠加的结果（精细的）。

③光强分布不同。干涉条纹间距均匀，衍射条纹相对集中。 ④数学处理方法不同。

故时缺级 例１3－5 一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹，若已知此光栅缝宽与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第级和第级谱线。解：∵a=b,故有缺级。 K/=1,则k＝2，即第二级缺级故应为第一级和第三级谱线。

①在时， 由光栅公式得例13－6 一台光谱仪设备有同样大小的三块光栅；1200条/毫米，600条/毫米，90条/毫米。 ①如果用它测定0.7 m－－1.0m波段的红外线波长。 ②如测定的是3m-7m波段红外线，则分别应选用哪块光栅。解：三块光栅的光栅常数为用第一块光栅太大

② 在时， 由于第一块，第二块之，故不能用，而相对于第三块：合适。用第二块光栅合适用第三块光栅太小

例13－7 设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光(= 589nm )的光谱线． (1) 当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数km是多少？ (2) 当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数km/是多少？解：光栅常数d＝1ｍ／（5×105）＝2×10－6ｍ（1）垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级数为 km ，则据光栅方程有: dsin＝km ∵ sin １ ∴ km／d  1 ∴ km d／＝3.39 ∵ km为整数 ∴ km＝3 ( 2 ) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级数为 km/，则据斜入射时的光栅方程

d ( sin30°+ sin / )＝km/ sin30°+ sin / ＝km/ ／d ∵ sin  /  1 ∴ k m/  ／d  1.5 ∴ km/  1.5d／＝5.09 ∵km/为整数， ∴ km/＝5

3级 2级例13－8　用波长为4000—7600A0的白光照射衍射光栅，其衍射光谱的第二级和第三级重叠，则第3 级光谱被重叠的部分的波长范围是（A）6000--7600A0，（B）5067—7600A0，（C）4000—5067A0，（D）4000---6000A0。解：重叠的光波为 1最长为7600A0 所以第3 级光谱被重叠部分最长的波长为故选（C）

1 3 5 P 例13－9　在单缝夫琅和费衍射示意图中，所画出的各条正入射光线间距相等，那么光线1与3在屏幕上相遇时的位相差为，P点应为。解：由半波带理论知，每相邻的半波带之间的光程差为，所以1、3两光线间的光程差为，所以1、3光线间的位相差为 P点为暗纹。

“爱里斑” D R I r §13-4 圆孔衍射、仪器的分辨率一、夫琅和费圆孔衍射 1、装置与现象 D=2R 2、爱里斑夫琅和费圆孔衍射中，中央为亮圆斑。第一暗环所包围的中央圆斑，称为爱里斑。其占总入射光强的84%。

3、爱里斑的半角宽度： 半角宽度指爱里斑对透镜中心张角的一半角宽度。式中D为圆孔的直径，大多数情况应为物镜前光欄的直径。圆孔衍射中央爱里斑半角宽 θ=1.22/D 单缝衍射中央明纹半角宽 Φ=/a 两相对比：说明二者除在反映障碍物几何形状的系数不同以外，其在定性方面是一致的。

二、光学仪器的分辩本领 1、圆孔衍射对成象质量的影响普通光学成象时，入射光可看成平行光，透过镜头后成象在底片上，故可视为夫琅和费圆孔衍射。在几何光学中，是一个物点对应一个象点。在波动光学中，是一个物点（发光点），对应一个爱里斑。因此，当两个物点的爱里斑重叠到一定程度时，这两个物点在底片上将不能区分，故爱里斑的存在就引发了一个光学仪器的分辨率问题。光的衍射限制了光学仪器的分辨本领。

成像系统 S2’ S1  S2 S1’ 2、分辨率两光强相同的非相干物点，其象点相互靠近，瑞利提出了一个可分辨的标准。瑞利判据：如果某一物点斑象（即爱里斑）的中心恰好落在另一物点斑象的边缘，这样所定出的两物点的距离作为光学仪器所能分辨的最小距离。

S2 S1 S1 S1 S2 S2 能分辨恰能分辨不能分辨

成像系统 S2’ S1  S2 S1’ 两物点对透镜光心的张角称为光学仪器的最小分辨角，用θ0表示，它正好等于每个爱里斑的半角宽度，即最小分辨角的倒数1／θ0称为光学仪器的分辨率。

由爱里斑半角公式，得光学仪器的分辨率 因此，为提高仪器分辨率，或说为提高成象质量，方法之一使透镜镜头直径加大。方法之二降低入射光的波长。望远镜： 不可选择，可使D；显微镜： D不会很大，可使。电子 ： 0.1Å1Å, ∴ 电子显微镜分辨本领很高，可观察物质结构。人眼：对＝5500 Å的光，＝1／在9m远处可分辨相距 2mm的两个点。

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