Qualität von Netzen

1. Qualität von Netzen • Definition von Qualität • Präzision • Zuverlässigkeit • Beispiel Datumsfestlegung – Qualität Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

2. Was ist Qualität? Vier Bedingungen für Qualitätskriterien: • allgemein anerkannt • nachvollziehbar • objektiv • adäquat Qualität oft wertend: „gute Qualität“ Hängt oft von der Aufgabe ab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3. Anerkannte Definition „Grad, in dem ein Satz inheränter Merkmale Anforderungen erfüllt“ (ISO 9000) Immer im Kontext mit Anforderungen Geographische Daten (Guptill & Morrison 1995): • Vollständigkeit • Positions- und Attributsgenauigkeit • Aktualität • Auflösung bzw. Maßstab • Konsistenz (Abwesenheit von Widersprüchen) • Herkunft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

4. Qualität in der Geodäsie? Gezielt gesetzt Schwerpunkte Unterscheidung zwischen • Präzision • Zuverlässigkeit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

5. Präzision Mit wie vielen signifikanten Stellen wurde ein Wert bestimmt? Statistische Verteilung der Realisierungen Nur korrekt, wenn funktionales Modell und a priori Annahmen über Standardabweichung und Korrelation korrekt Qualität des Entwurfes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

6. Zuverlässigkeit Kontrollmöglichkeiten im Ausgleichsmodell Kriterien für Kontrollierbarkeit von Beobachtungen Abschätzung des Einflusses nicht auf-deckbarer Fehler auf die Unbekannten Qualität der Realisierung Aussagen über den Schutz vor groben Fehlern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

7. Beurteilung der Präzision Beurteilung von erforderlicher bzw. erreichter Präzision notwendig Maße für die Präzision eines Punktes sollte geometrisch anschaulich sein Es gibt noch Maße für die Präzision von Funktionen und des gesamten Netzes (globale Kriterien für die Präzision) Maße für die Präzision sind meist datums-abhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

8. Präzision von Netzpunkten Maßgeblich ist die Kovarianzmatrix Zu beachten: ist nur Schätzwert für die Gewichtseinheit - umso genauer je höher die Anzahl der Freiheitsgrade nf Bei a-priori-Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

9. Standardabweichung der Koordinaten oder mittlere Präzision der Koordinaten Konfidenzhyperellipsoid, Eigenwertkriterien, Hauptkomponentenanalyse etc. Fehler- und Konfidenzellipse und Punktlagefehler Relative Fehler- und Konfidenzellipsen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

10. Lokale Kriterien für die Präzision • Präzision einzelner Beobachtungen • Präzision einzelner Unbekannter • Präzision von Funktionen der Unbekannten • Helmertsche Fehlerellipse • Präzision eines Koordinatenpaares • relative Fehlerellipse • (relative) Konfidenzellipse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

11. Präzision einzelner Beobachtungen A priori- Präzision der Beobachtungen in Sll - stochastisches Modell der Ausgleichung • A posteri- Präzision : • Kofaktoren/Kovarianzen der Verbesserungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

12. Präzision einzelner Unbekannter • Varianz sx2, sy2, sz2 (sh2) • Standardabweichung sx, sy, sz (sh) Direkt abgelesen aus Kofaktormatrix Qxx Abhängig von der Lage des Koordinaten-systems  eher selten verwendet • Konfidenzintervall (siehe A1) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

13. Präzision von Funktionen der Unbekannten Gegeben: Beliebige Funktion j=fTx und die Kovarianzmatrix Sxx der Unbekannten x Gesucht: Varianz der Funktion j Kovarianzfortpflanzungsgesetz (siehe A1): Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

14. Helmert‘sche Fehlerellipse Gegeben: sx und sy Gesucht: Mittlerer Fehler des Punktes in einer beliebigen Richtung Ergebnis: Fußpunktskurve mit den Halb-achsen A und B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

15. Herleitung (1) Konfiguration: • Punkt P mit Koordinaten x und y, Standardabweichungen sx und sy • Punkt P mit Koordinaten x und h ist fehlerfrei gegeben • Punkt P rotiert auf Kreisbahn um Punkt P Bestimmung des Streckenfehlers PP über Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

16. Herleitung (2) Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert Einsetzen von liefert Fußpunktskurve einer Ellipse mit sx, sy Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

17. Fußpunktskurve Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

18. Fehlerellipse Ellipse der Fußpunktskurve heißt mittlere Fehlerellipse nach Helmert oder Standard–Ellipse Bei P auf x- oder y-Achse: g = 0 / g = p/2, sr fällt mit Halbachsen sx bzw. sy der Ellipse zusammen Voraussetzung für diesen Weg: sx und sy unabhängig voneinander, also sxy = 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

19. Allgemeine Lösung (1) Transformation Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert aus der Kofaktorenmatrix Qxx die Kofaktorenmatrix im gedrehten System Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

20. Allgemeine Lösung (2) Suche der Extremwerte und der zuge-hörigen Richtungen: Ableitung nach j Als Extremwertaufgabe gleich Null gesetzt Vergleich mit Kofaktoren im gedrehten System: Bei qtu=0 Drehwinkel j gleich Richtung der max. Varianz F Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

21. Allgemeine Lösung (3) Wenn also j gleich der Richtung der max. Varianz, dann qtt und quu unabhängig mit extremen Werten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

22. Allgemeine Lösung (4) Netzbilder: Meist Ellipse gezeichnet Beziehungen: Richtungswinkel der großen Halbachse: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

23. Wahre Punktlage vs. Helmert‘sche Fehlerellipse Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehler-ellipse die wahre Punktlage überdeckt: ~29-39%(abhängig vom Freiheitsgrad) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

24. Berechnung über Spektralzerlegung Zerlegung des entsprechenden Ausschnittes Qii der Kofaktormatrix Qxx in Spektralmatrix D mit Eigenwerten l1 und l2 Modalmatrix S mit Eigenvektoren s1 und s2 mit den Kenngrößen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

25. Genauigkeit eines Koordinatenpaares (1) • Punktlagefehler (siehe A1) • Helmertscher (mittlerer) PunktlagefehlerLängenmaß, auch SpurkriteriumKeine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich • Werkmeisterscher PunktlagefehlerFlächenmaß, daher auch Flächenkriterium oder Volumenkriterium (bei 3D) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

26. Genauigkeit eines Koordinatenpaares (2) Punkte mit unterschiedlicherFehlerellipse können denselben Punktlagefehler haben Werkmeisterschem Punktlagefehler: Extreme Achslängen der Fehlerellipse werden nicht erkannt! Tritt beim Helmertschen Punktlagefehler nicht auf Kleines Problem bei Helmert: Wert ist größer als große Halbachse der Fehlerellipse  „totaler“ mittlerer Punktfehler nach Friedrich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

27. Relative Fehlerellipse (1) Relativpräzision zwischen zwei Punkten Pi und Pk Präzision des Mittelpunktes der Ver-bindungsgeraden Zunächst Kovarianzmatrix der Koordi-natendifferenzen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

28. Relative Fehlerellipse (2) Graphische Darstellung der relativen Fehlerellipse meist in der Mitte der Verbindungsgeraden Existiert auch für zwei Punkte mit Abstand Null (z.B. mittlerer Durchschlagsfehler eines Tunnels) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

29. Konfidenzellipse (1) Bereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-a die wahre Punktlage überdeckt Kenngrößen aus entsprechenden Elementen der Helmertschen Fehlerellipse durch Multiplikation mit • bei theoretischem Wert für • bei empirischem Wert für 90%: doppelte Achslänge 99%: über dreifache AchslängeFläche: mehr als 10x so groß! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

30. Konfidenzellipse (2) bzw. Relative Konfidenzellipse entsprechend Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

31. Globale Maße der Präzision Gesamte Kovarianzmatrix wird zur Berechnung herangezogen Insbesondere bei Netzoptimierung verwendet Arten • Konfidenzhyperellipsoid • Rayleigh-Relation • Homogenität/Isotropie • Hauptkomponentenanalyse • Kriteriummatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

32. Konfidenzhyperellipsoid Verallgemeinerung der Betrachtungen zur Fehlerellipse führt zu Eigenwerte größenmäßig absteigend angeordnet Halbachsen des Konfidenzhyperellipsoides: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

33. Gütekriterien (1) Volumen des Konfidenzhyperellipsoides Das führt zu Ist eine Verallgemeinerung des Werkmeisterschen Punktfehlers Analogon zum Helmertschen Punktfehler: Spur- oder Varianzkriterium Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

34. Gütekriterien (2) Durchschnittlicher Eigenwert oder mittlere Koordinatengenauigkeit Durchschnittlicher (Helmertscher) Punktfehler Auch Eigenwerte der Kofaktormatrix zur Berechnung verwendbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

35. Rayleigh-Relation Beschränkung der resultierenden Präzision für beliebige Funktionen der Unbekannten Rayleigh-Quotient wird eingeschränkt: Sinnvolle Präzisionsforderung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

36. Homogenität/Isotropie • Homogen: Kein Punkt unterscheidet sich von einem anderen Punkt in irgendeiner Weise • Isotrop: Es gibt keine ausgezeichnete Richtung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

37. Homogenität/Isotropie bei geodätischen Netzen • Homogenes Netz: Die lokalen Kriterien der Präzision (z.B. Helmertsche Fehler-ellipsen) zeigen in allen Punkten dieselbe Tendenz • Isotropes Netz: Die Präzision ist inallen Richtungen gleich groß (die Helmertschen Fehlerellipsen sind Kreise) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

38. Beurteilung von Homogenität Minimaler und maximaler Eigenwert Immer nur näherungsweise erfüllt! Homogenität und Isotropie nehmen zu je näher die Differenz bei Null bzw. der Quotient bei Eins liegt Homogene und isotrope Situationen sind nicht immer optimal (z.B. Tunnelvortrieb) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

39. Hauptkomponentenanalyse Erste Hauptkomponentemit dem maximalen Eigenwert l1 und dem zugehörigen normierten Eigenvektor s1 Deckt Schwachstellen auf (Richtungen, die am schlechtesten bestimmt sind) Extreme Netzsituationen: größter EW bis zu 40-60% der Gesamtvarianz  wesentlicher Eigenvektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

40. Kriteriummatrix Auch Kriterion-Matrix Spiegelt die vollständige Struktur der Kovarianzmatrix wider, hat aber eine geänderte Struktur Hat sich noch nicht durchgesetzt Siehe Grafarend (1979) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

41. Optimierung • A-Optimalität: minimale Spur von Sxx • D-Optimalität: minimale Determinante v. ist die aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten von Sxx gebildete Diagonal-matrix, also • E-Optimalität: minimaler Wert von lmax • S-Optimalität: minimale Differenz lmax-lmin Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

42. Beurteilung der Zuverlässigkeit Geodätische Arbeitsweise: Durchgreifende Kontrollen Einfache Kontrolle: Wiederholung der Messung – nicht immer durchgreifend • Refraktion gleich • Automatische Korrekturparameter falsch • Gerät nicht genau aufgestellt • … Notwendig daher: Geometrisch anders wirkende Kontrolle Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

43. Beispiel Neupunktsbestimmungfür Punkt N Mögliche Messgrößen:Strecken, Winkel Eindeutige Lösung: Beliebige Kombination zweier Beobachtungen – Genauigkeit möglicherweise erreicht aber: Keine Kontrolle! 3. Beobachtung: Kontrolle, bei Fehler Bestimmung von N immer noch möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

44. Definition Zuverlässigkeit Ein geodätisches Netz ist zuverlässig, wenn allfällige Modellfehler entdeckt und eliminiert werden können Zuverlässigkeitskriterien beantworten die Fragen • Gibt es grobe Fehler? • Ist eine Beobachtung genügend kontrolliert? • Wo liegt die Grenze nicht erkennbarer Fehler? • Welchen Einfluss auf das Ergebnis hat dieser Grenzwertfehler? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

45. Beantwortung? Statistische Testverfahren Oft genaue Berechnung nicht notwendig, da nur relative Angaben für Entscheidung zwischen Varianten nötig • Innere Zuverlässigkeit • Standardisierte Verbesserungen • Redundanzanteil • Maximal aufdeckbare Ausreißer • Äußere Zuverlässigkeit • Durchschnittl. Einfluss eines Beobachtungsfehlers Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

46. Standardisierte Verbesserungen Verbesserungen aus Ausgleichung sind normal verteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung Standardisierte Verbesserung: Division durch Standardabweichung (vgl. normierte Normalverteilung), also Beobachtungen mit großem wi werden näher untersucht und eventuell eliminiert (z.B. 3s-Regel) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

47. Redundanzanteil (1) Statistischer Test: Mit Redundanz nf=n-u (n-n0 bei bedingter Ausgleichung) wird die Streuung der wahren Fehlergeschätzt über Nullhypothese: Aussage: Stichprobe gehört der Grund-gesamtheit an, also nur zufällige Fehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

48. Redundanzanteil (2) Alternativhypothese oder Einführung von Dv für die Differenz der Verbesserungen bei Null- und Alternativ-hypothese, also Dv=v|Ha-v|H0 Gemischte Glieder verschwinden  Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

49. Redundanzanteil (3) Parameter l hat also zwei Bedeutungen: • Fiktive Erweiterung der Redundanz • Normierte Differenz der quadratischen Form vTPv von Null- und Alternativhypothese Betrachten wir die Macht des Tests: Wahrscheinlichkeit für Annahme einer falschen Hypothese: 1-b und somit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

50. Redundanzanteil (4) Testgröße F1-b,m,n ist Fisher-verteilt mit Redundanzen m und nbei Berechnung von s2 bzw. s2 l geht über in l=l(a,b,m=nf,n=∞) Parameter b kann ausgedrückt werden als mit m=nf und n=∞ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil