interpolasi polinom bagian 1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Interpolasi Polinom ( Bagian 1) PowerPoint Presentation
Download Presentation
Interpolasi Polinom ( Bagian 1)

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 79

Interpolasi Polinom ( Bagian 1) - PowerPoint PPT Presentation


  • 284 Views
  • Uploaded on

Interpolasi Polinom ( Bagian 1). Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh ; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB). Pengantar. Solusinya dicari dengan metode pencocokan kurva ( curve fitting ).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Interpolasi Polinom ( Bagian 1)' - giacomo-herrera


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
interpolasi polinom bagian 1

InterpolasiPolinom(Bagian 1)

BahanKuliah IF4058 TopikKhususInformatika I

Oleh; RinaldiMunir (IF-STEI ITB)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

pengantar
Pengantar
  • Solusinyadicaridenganmetodepencocokankurva (curve fitting).
  • Yaitumencarifungsi yang mencocokkan (fit) titik-titik data didalamtabeltabel.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide3

Pencocokkankurvaadalahsebuahmetode yang mencocokkantitik data dengansebuahkurva (curve fitting) fungsi.

  • Pencocokankurvadibedakanatasduametode:

1. Regresi

Data hasilpengukuranumumnyamengandungderau (noise) ataugalat yang cukupberarti.

Karena data initidakteliti, makakurva yang mencocokkantitik data itutidakperlumelaluisemuatitik.

Kurvatersebutcukuphanyamewakilikecenderungan (trend) titik data, yaknikurvamengikutipolatitiksebagaisuatukelompok.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide4

2.Interpolasi

Bila data diketahuimempunyaiketelitian yang sangattinggi, makakurvacocokannyadibuatmelaluisetiaptitik.

Kita katakandisinibahwakitamenginterpolasititik-titik data dengansebuahfungsi.

Bilafungsicocokan yang digunakanberbentukpolinom, polinomtersebutdinamakanpolinominterpolasi.

Pekerjaanmenginterpolasititik data dengansebuahpolinomdisebutinterpolasi(dengan)polinom.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide6

Aplikasiinterpolasipolinom:

  • Menghampirifungsirumitmenjadilebihsederhana

Conntoh:

Hitung: f’(x) danf(x) dx

Perhitungan men jadilebihmudahjika f(x) dihampiridengan

polinom p(x).

Polinom p(x) diperolehdenganmenginterpolasibeberapatitikdiskritdari f(x)

2. Menggambarkurva (jikahanyadiketahuititik-titikdiskritsaja)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

interpolasi polinom
InterpolasiPolinom

Persoalan:

  • Diberikann1 buahtitikberbeda, (x0, y0),(x1, y1),..., (xn, yn).
  • Tentukanpolinompn(x) yang menginterpolasi (melewati) semuatitik-titiktersebutsedemikianrupasehingga

yipn(xi) untuki 0, 1, 2, …, n

  • Nilaiyidapatberasaldarifungsif(x) sedemikiansehingga

yi= f(xi),

atau, yiberasaldarinilaiempiris yang diperolehmelaluipercobaanataupengamatan.

  • pn(x) disebutfungsihampiranterhadapf(x).

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide8

Setelahpolinominterpolasipn(x) ditemukan, pn(x) dapatdigunakanuntukmenghitungperkiraannilaiydix = a, yaituy = pn(a).

  • Bergantungpadaletaknya, nilaix = amungkinterletakdidalamrentangtitik-titik data (x0 < a< xn) ataudiluarrentangtitik-titik data (a < x0atau a > xn):
  • jikax0 < a < xnmakayk= p(xk) disebutnilaiinterpolasi (interpolated value)
  • jikax0 < xkataux0 < xnmakayk= p(xk) disebutnilaiekstrapolasi (extrapolated value).

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide9

Kita dapatmenginterpolasititik data dengan:

polinomlanjar, polinomkuadratik, polinomkubik,

ataupolinomdariderajat yang lebihtinggi,

bergantungpadajumlahtitik data yang tersedia.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide10

InterpolasiLanjar

  • Interpolasilanjaradalahinterpolasiduabuahtitikdengansebuahgarislurus.
  • Misaldiberikanduabuahtitik, (x0, y0) dan(x1, y1). Polinom yang menginterpolasikeduatitikituadalah

p1(x) = a0 + a1x

y0 = a0 + a1x0

y1 = a0 + a1x1

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide11

Biladisederhanakanakanlebihlanjut:

Contoh:

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide13

InterpolasiKuadratik

  • Misaldiberikantigabuahtitik data, (x0, y0), (x1, y1),dan (x2, y2).
  • Polinom yang menginterpolasiketigabuahtitikituadalahpolinomkuadrat yang berbentuk:

p2(x) = a0 + a1x + a2x2

  • Biladigambar, kurvapolinomkuadratberbentuk parabola

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide14

Polinomp2(x) ditentukandengancaraberikut:

  • Sulihkan (xi, yi) kedalampersamaan (P.5.8), i = 0, 1, 2. Dari sinidiperolehtigabuahpersamaandengantigabuah parameter yang tidakdiketahui, yaitua0, a1, dana2:

a0 + a1x0 + a2x02 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 = y1

a0 + a1x2 + a2x22 = y2

  • hitunga0, a1, a2darisistempersamaantersebutdenganmetodeeliminasi Gauss.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide15

Contoh: Diberikantitikln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, danln(9.5) = 2.2513. Tentukannilailn(9.2) denganinterpolasikuadratik.

Penyelesaian:

Sistenpersamaanlanjar yang terbentukadalah

a0 + 8.0a1 + 64.00a2 = 2.0794

a0 + 9.0a1 + 81.00a2 = 2.1972

a0 + 9.5a1 + 90.25a2 = 2.2513

Penyelesaiansistempersamaandenganmetodeeliminasi Gauss menghasilkana0 = 0.6762, a1 = 0.2266, dana3 = -0.0064. Polinomkuadratnyaadalah

p2(x) = 0.6762 + 0.2266x - 0.0064x2

sehingga

p2(9.2) = 2.2192

yang samadengannilaisejatinya (5 angkabena).

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide16

3. InterpolasiKubik

  • Misaldiberikanempatbuahtitik data, (x0, y0), (x1, y1),(x2, y2), dan (x3, y3).
  • Polinom yang menginterpolasikeempatbuahtitikituadalahpolinomkubik yang berbentuk:

p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide17

Polinomp3(x) ditentukandengancaraberikut:

  • sulihkan (xi,yi) kedalampersamaan (P.5.9) , i = 0, 1, 2, 3. Dari sinidiperolehempatbuahpersamaandenganempatbuah parameter yang tidakdiketahui, yaitua0 , a1 , a2 , dana3:

a0 + a1x0 + a2x02 + a3x03 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 = y1

a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 = y2

a0 + a1x3 + a2x32 + a3x33 = y3

  • hitunga0, a1, a2, dana3darisistempersamaantersebutdenganmetodeeliminasi Gauss.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide18

Dengancara yang samakitadapatmembuatpolinominterpolasiberderajatnuntukn yang lebihtinggi:

pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

asalkantersedia (n+1) buahtitik data.

  • Denganmenyulihkan (xi, yi) kedalampersmaanpolinomdiatasy = pn(x) untuki = 0, 1, 2, …, n, akandiperoleh nbuahsistempersamaanlanjardalama0, a1, a2, …, an,

a0 + a1x0 + a2x02 + ... + anx03 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 + ... + anx13 = y1

a0 + a1x2 + a2x22 + ... + anx23 = y2

... ...

a0 + a1xn + a2xn2 + ... + anxn3 = yn

  • Solusisistempersamaanlanjarinidiperolehdenganmenggunakanmetodeeliminasi Gauss yang sudahandapelajari.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide19

Secaraumum, penentuanpolinominterpolasidengancara yang diuraikandiataskurangdisukai,

  • karenasistempersamaanlanjar yang diperolehadakemungkinanberkondisiburuk, terutamauntukderajatpolinom yang semakintinggi.
  • Metodepolinominterpolasi yang banyakdigunakandalamkomputasinumerikadalah:
  • Polinom Lagrange
  • Polinom Newton
  • Polinom Newton-Gregory (kasuskhususdaripolinom Newton)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

polinom lagrange
PolinomLagrange

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide25

Untukmengurangigalatakibatpembulatan, polinomp3(x) initidakperludisederhanakanlebihjauh. Kurvay = cos(x) dany = p3(x) diperlihatkanpadaGambarberikut:

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide26

Denganmenggunakanpolinominterpolasip3(x) itukitadapatmenaksirnilaifungsidix = 0.5 sebagaiberikut:

p3(0.5) = -2.604167(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2)

+ 7.195789(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2)

-5.443021(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 1.2)

+ 0.943640(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8)

= 0.877221

  • Sebagaiperbandingan, nilaisejatinyaadalah

y = cos(0.5) = 0.877583

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide29

function Lagrange(x:real; n:integer):real;

{ Menghitung y = pn(x), dengan p(x) adalahpolinom Lagrange derajat n. Titik-titik data telahdisimpandidalamlarik x[0..n] dan y[0..n]

}

var

i, j : integer;

pi, L : real;

begin

L:=0;

for i:=0 to n do

begin

pi:=1;

for j:=0 to n do

ifi<> j then

pi:=pi*(x - x[j])/(x[i] - x[j]);

{endfor}

L:=L + y[i]*pi;

end{for};

Lagrange:=L;

end{Lagrange};

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

polinom newton
PolinomNewton

Polinom Lagrange kurangdisukaidalampraktekkarenaalasanberikut:

  • Jumlahkomputasi yang dibutuhkanuntuksatu kali interpolasiadalahbesar. Interpolasiuntuknilaix yang lain memerlukanjumlahkomputasi yang samakarenatidakadabagiankomputasisebelumnya yang dapatdigunakan
  • Bilajumlahtitik data meningkatataumenurun, hasilkomputasisebelumnyatidakdapatdigunakan. Hal inidisebakanolehtidakadanyahubunganantarapn-1(x) danpn(x) padapolinom Lagrange

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide31

Alternatif: polinom Newton

  • Polinom Newton dinyatakandalamhubunganrekursifsebagaiberikut:

(i) rekurens: pn(x) = pn-1(x) + an(x - x0)(x - x1) … (x - xn-1)

(ii) basis: p0(x) = a0

  • Jadi, tahapanpembentukanpolinom Newton adalahsebagaiberikut:

p1(x) = p0(x) + a1(x - x0)

= a0 + a1(x - x0)

p2(x) = p1(x) + a2(x - x0)(x - x1)

= a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide32

p3(x) = p2(x) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2)

= a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2)

pn(x) = pn-1(x) + an(x - x0)(x - x1) … (x - xn-1)

= a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2)

+ … + an(x - x0)(x - x1) … (x - xn-1)

  • Nilaikonstantaa0, a1, a2, ..., anmerupakannilaiselisih-terbagi, (divided-diffrence) dengannilaimasing-masing:

a0 = f(x0)

a1 = f [x1, x0]

a2 = f [x2, x1, x0]

an = f [xn, xn-1, …, x1, x0]

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide33

yang dalamhalini,

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide34

Dengandemikianpolinom Newton dapatditulisdalamhubunganrekursifsebagai

(i) rekurens:

pn(x) = pn-1(x) + (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1) f [xn, xn-1, …, x1, x0]

(ii) basis:

p0(x) = f (x0)

  • ataudalambentukpolinom yang lengkapsebagaiberikut:

pn(x) = f (x0) + (x - x0) f [x1, x0] + (x - x0)(x - x1) f [x2, x1, x0]

+ (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1) f [xn, xn-1, …, x1, x0]

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide35

Nilaiselisihterbagiinidapatdihitungdenganmenggunakantabel yang disebuttabelselisih-terbagi,

  • misalnyatabelselisih-terbagiuntukempatbuahtitik (n = 3) berikut:

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide36

function Newton(x:real; n:integer):real;

{Menghitung y = p(x), dengan p(x) adalahpolinom Newton derajat n.

Titik-titik data telahdisimpandidalamlarik x[0..n] dan y[0..n] }

var

i, k : integer;

ST : array[0..30, 0..30] of real; {menyimpantabelselisihterbagi}

jumlah, suku: real;

begin

for k:=0 to n do{ simpan y[k] padakolom 0 darimatriks ST }

ST[k,0]:=y[k];

{end for}

for k:=1 to n do{buattabelselisihterbagi}

fori:=0 to n-k do

ST[i,k]:=(ST[i+1,k-1] - ST[i,k-1])/(x[i+k]-x[i]);

{end for}

{end for}

{hitung p(x) }

jumlah:=ST[0,0];

fori:=1 to n do

begin

suku:=ST[0,i];

for k:=0 to i-1 do

suku:=suku*(x-x[k])

{end for}

jumlah:=jumlah + suku;

end;

Newton:=jumlah;

end;

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide37

Contoh: Hitunglahf(9.2) darinilai-nilai (x, y) yang diberikanpadatabeldibawahinidenganpolinom Newton derajat 3.

Penyelesaian:

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide38

Polinom Newton-nya (denganx0 = 8.0 sebagaititik data pertama) adalah:

f(x) p3(x) = 2.079442 + 0.117783(x - 8.0) - 0.006433(x - 8.0)x - 9.0) +

0.000411(x - 8.0)(x - 9.0)(x - 9.5)

Taksirannilaifungsipadax = 9.2 adalah

f(9.2) p3(9.2) = 2.079442 + 0.141340 - 0.001544 - 0.000030

= 2.219208

Nilaisejatif(9.2) = ln(9.2) = 2.219203 (7 angkabena).

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide39

Contoh: Bentuklahpolinom Newton derajatsatu, dua, tiga, danempat yang menghampirifungsif(x) = cos(x) didalamselang [0.0 , 4.0] danjarakantartitikadalah 1.0. Lalu, taksirlahnilaifungsidix = 2.5 denganpolinom Newton derajattiga.

Penyelesaian: Denganjarakantartitik 1.0, makatitik yang digunakanadalahpadax0 = 0.0, x1 = 1.0, x2 = 3.0, x3 = 4.0. Tabelselisihterbaginyaadalah:

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide40

Maka, polinom Newton derajat 1, 2, dan 3 denganx0 = 0.0 sebagaititik data pertamaadalah

cos(x) p1(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0)

cos(x) p2(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2484(x - 0.0)(x - 1.0)

cos(x) p3(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2484(x - 0.0)(x - 1.0) +

0.1466(x - 0.0)(x - 1.0)(x - 2.0)

cos(x) p4(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2484(x - 0.0)(x - 1.0) +

0.1466(x - 0.0)(x - 1.0)(x - 2.0)

- 0.0147(x - 0.0)(x - 1.0)(x - 2.0)(x - 3.0)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide42

Taksirannilaifungsidix = 2.5 denganpolinomderajattigaadalah

cos(2.5) p3(2.5) = 1.0000 - 0.4597(2.5 - 0.0) –

0.2484(2.5 - 0.0)(2.5 - 1.0) +

0.1466(2.5 - 0.0)(2.5 - 1.0)(2.5 - 2.0)

 -0.8056

Nilaisejatif(2.5) adalah

f(2.5) = cos(2.5) = -0.8011

sehinggasolusihampiranmengandunggalatsejatisebesar

 = -0.8011 - (-0.8056) = -0.0045

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide43

KelebihanPolinom Newton

  • Karenapolinom Newton dibentukdenganmenambahkansatusukutunggaldenganpolinomderajat yang lebihrendah, makainimemudahkanperhitunganpolinomderajat yang lebihtinggidalam program yang sama [CHA91]. Karenaalasanitu, polinom Newton seringdigunakankhususnyapadakasus yang derajatpolinomnyatidakdiketahuiterlebihdahulu.
  • Penambahansuku-sukupolinomsecaraberuntundapatdijadikankriteriauntukmenentukantercapainyatitikberhenti, yaituapakahpenambahansuku-suku yang lebihtinggitidaklagisecaraberartimemperbaikinilaiinterpolasi, ataumalahanmenjadilebihburuk.
  • Tabelselisihterbagidapatdipakaiberulang-ulanguntukmemperkirakannilaifungsipadanilaix yang berlainan.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide44

GalatInterpolasiPolinom

E(x) = f(x) - pn(x)

  • Dari rumusdiatas, galatpolinominterpolasi, selainbergantungpadanilaix yang diinterpolasi, jugabergantungpadaturunanfungsisemula.
  • TinjauQn+1padarumus E(x)

Qn+1(x) = (x - x0)(x - x1) ... (x - xn)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide45

Misalkanx0, x1, …, xnberjaraksama. GrafikfungsiQuntukenamtitik yang berjaraksamaditunjukkanpadaGambar:

  • BerdasarkanQ6(x) yang berosilasipadaGambardiatasterlihatbahwa:
  • dititik-titik data xi, nilaiQ6(xi) = 0, sehinggagalatinterpolasi E(xi)=0
  • dititiktengahselang, nilaiQ6(x) minimum, sehinggaE(x) juga minimum
  • dititik-titiksekitarujungselang, Q6(x) besar, sehinggaE(x) jugabesar
  • bilaukuranselang [x0, x6] semakinbesar, amplitudoosilasimeningkatdengancepat.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide46

Kesimpulan: Galatinterpolasi minimum terjadiuntuknilaixdipertengahanselang.

Ingatlahkalimatini:

Untukmendapatkangalatinterpolasi yang minimum, pilihlahselang [x0, xn] sedemikiansehinggaxterletakditengahselangtersebut

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

polinom newton gregory
PolinomNewton-Gregory
  • Polinom Newton-Gregory merupakankasuskhususdaripolinom Newton untuktitik-titik yang berjaraksama.
  • Untuktitik-titik yang berjaraksama, rumuspolinom Newton menjadilebihsederhana. Selainitu, tabelselisih-terbaginya pun lebihmudahdibentuk. Di sinikitamenamakantabeltersebutsebagaitabelselisihsaja.
  • Adaduamacamtabelselisih, yaitutabelselisihmaju (forward difference) dantabelselisihmundur (backward difference).
  • Karenaitu, adaduamacampolinom Newton-Gregory, yaitupolinomNewton-Gregory majudanpolinomNewton-Gregory mundur.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

polinom newton gregory maju
Polinom Newton-Gregory Maju
  • Misalkantabelselisihmaju yang dibentukdari lima buahtitik:
  • Keterangan:

f0 = f(x0) = y0

f1 = f(x1) = y1

f0 = f1 - f0

f1 = f2 - f1

2f0 = f1 - f0

2f1 = f2 - f

3f0 = 2f1 - 2f0

3f1 = 2f2 - 2f1

Bentukumum:

n+1fp = n fp+1 - n fp ,

n = 0, 1, 2, …

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide50

PenurunanRumusPolinom Newton-Gregory Maju

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide54

Contoh: Bentuklahtabelselisihuntukfungsif(x) = 1/(x+1) didalamselang [0.000, 0.625] danh = 0.125. Hitungf(0.300) denganpolinom Newton-Gregory majuderajat 3.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide55

Untukmemperkirakanf(0.300) denganpolinom Newton-Gregory majuderajattiga, dibutuhkan 4 buahtitik. Ingatlahkembalibahwagalatinterpolasiakan minimum jikaxterletakdisekitarpertengahanselang. Karenaitu, titik-titik yang diambiladalah

x0 = 0.125, x1 = 0.250, x2 = 0.375, x3 = 0.500

karenax = 0.300 terletakdisekitarpertengahanselang

[0.125, 0.500].

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide57

ManfaatTabelSelisihMaju

  • Misalkankitamembentuktabelselisihuntukfungsif(x) = x, f(x) = x2, danf(x) = x3padatitik-titikx yang berjaraksama, yaituxi= x0 + ih , i = 0, 1, 2, 3, …

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide59

Padaketigatabelitudapatdisimpulkanbahwauntukf(x) = axn, yang dalamhalinia = 1 dan n = 1, 2, 3, diperoleh

nf(x) = anhn

dan

n+1f(x) = 0

  • Biladidalamtabelselisihditemukankbernilai (hampir) konstan ( 0) makapolinom yang tepatmenginterpolasititik-titikituadalahpolinomberderajatk.
  • Padacontohtabel (iii) diatas: 3konstan, jadititik-titiknyatepatdiinterpolasidenganpolinomderajattiga (samadenganfungsiaslinya, f(x) = x3)

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide60

Bagaimanakahjikatidakterdapat yang bernilaitetap ? Misalnyadiberikantabelselisihdibawahini:

  • Padatabelselisihdiatas, tidakadak yang mendekatinilaitetap. Jadif(x) = 1/xtidaktepatdihampiridenganpolinomderajat 1, 2, 3, atau 4 didalamselang [0.10, 0.60].

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide61

Tetapijikaselangdatanyadiperkecildenganpengambilanh yang lebihkecildandigunakanempatangkabenasebagaiberikut:

  • makadaritabeliniditemukan2mendekatinilaitetapyaitusekitar 0.010.
  • Karenaituf(x) = 1/xdapatdihampirisebanyakempatangkabenadenganpolinomkuadratikdidalamselang [0.25, 0.30].

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide62

Kesimpulan:

Tabelselisihbermanfaatuntukmenentukan

    • Derajatpolinominterpolasi
    • Selang data
    • Ketelitian yang diinginkan.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

polinom interpolasi newton gregory mundur
PolinomInterpolasi Newton-Gregory Mundur
  • Polinom Newton-Gregory mundur (Newton-Gregory backward) dibentukdaritabelselisihmundur.
  • Polinominiseringdigunakanpadaperhitungannilaiturunan (derivative) secaranumerik. Titik-titikyang digunakanberjaraksama, yaitu

x0, x-1, x-2, ..., x-n,

yang dalamhalini,

xi= x0 + ih , i = 0, -1, -2,…,-n

dannilaix yang diinterpolasikanadalah

x= x0 + sh , sR

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide66

Contoh: Diberikan4 buahtitik data dalamtabelberikut. Hitunglahf(1.72) dengan

(a) polinomNewton-Gregory majuderajat 3

(b) polinomNewton-Gregory mundurderajat 3

Misalkanjumlahangkabena yang digunakanadalah 7 digit.

Penyelesaian:

(a) Polinom Newton-Gregory majuderajat 3

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

interpolasi dwimatra
InterpolasiDwimatra
  • Adakalanyakitamembutuhkanperkiraannilaifungsidenganduapeubah.
  • Fungsidenganduapeubah, xdany, secaraumumdinyatakansebagai

z = f(x, y)

  • Grafikfungsizadalahberupapermukaan (surface) atauselimutkurvadenganalasnyaadalahbidangx-y. Jadi, nilai-nilai z terletakpadapermukaantersebut.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide70

Jikazdinterpolasidenganpolinomdua-peubah (interpolasidwimatraataudua-dimensi), kitaharusmenentukanberapaderajatdalamarah-xdanberapaderajatdalamarah-y.

  • Misalnyazdihampiridenganpolinomdua-peubah, yang dalamhaliniderajat 2 dalamarah-xdanderajat 3 dalamarah-y:

z = f(x, y) a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y2 + a6 x2y + a7 xy2

+ a8 xy3 + a9y3 + a10 x2y2 + a11 x2y3

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide71

Interpolasipolinomdua-peubahdilakukandalamduaarah: dalamarahxdandalamarah- y.

  • Padasetiaparah, kitaharusmemilihpeubah yang dipegangkonstan. Dalamarah-y, nilaixdipegangkonstan, begitujugadalamarahx, nilaiydipegangkonstan.
  • Semuametodeinterpolasi yang telahdibahassebeluminidapatdigunakanuntukmenginterpolasipolinomdua-peubah.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

slide72

Contoh: Diberikantabelf(x,y)sebagaiberikut:

Penyelesaian: Kita menggunakanpolinomNetwon-Gregory majuuntukinterpolasidalamarah-xdandalamarahy, karenatitik-titiknyaberjaraksama.

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

contoh soal terapan interpolasi
ContohSoalTerapanInterpolasi

IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB