Algoritmi e strutture dati

1. Algoritmi e strutture dati Alberi binari di ricerca (BST)

2. albero binario di ricerca • albero binario che soddisfa la seguente proprietà per ogni nodo, tutte le chiavi nel suo sottoalbero sinistro sono  della chiave v associata al nodo e tutti le chiavi nel suo sottoalbero destro sono  di v Algoritmi e strutture dati

3. albero binario di ricerca/2 49 49 22 82 22 82 17 57 88 17 47 88 20 94 20 94 ok errato! 91 91 Algoritmi e strutture dati

4. albero binario di ricerca/3 • indicato spesso come BST (binary search tree) • utilizzabile quando le chiavi appartengono a un universo totalmente ordinato • ipotesi semplificativa di lavoro: chiavi strettamente minori nei sottoalberi sinistri e strettamente maggiori nei sotto alberi destri Algoritmi e strutture dati

5. rappresentazione dei nodi • in molti casi può essere la stessa usata negli alberi binari (classe BinaryNode) • in alternativa, la si può estendere • per le variabili membro possiamo usare lo specificatore di accesso private o protected • le conseguenze sono differenti Algoritmi e strutture dati

6. rappresentazionecollegata dei nodi public class BSTNode { protected Comparable key; // interface Comparable richiede metodo compareTo BSTNode leftChild, rightChild; // rappr. minima public BSTNode() {…} public BSTNode(Object el) {…} public BSTNode(Object el, BSTNode lt, BSTNode rt) {…} public void visit() { key.visit(); } public boolean isLeaf() {…} } Algoritmi e strutture dati

7. public interface Comparable • public int compareTo(Object o) • returns a negative integer, zero, or a positive integer as this object is less than, equal to, or greater than the specified Object o • The implementor must ensure sgn(x.compareTo(y)) == -sgn(y.compareTo(x)) for all x and y. (This implies that x.compareTo(y) must throw an exception iff y.compareTo(x) throws an exception.) • The implementor must also ensure that the relation is transitive: (x.compareTo(y)>0 && y.compareTo(z)>0) implies x.compareTo(z)>0 • Finally, the implementer must ensure that x.compareTo(y)==0 implies that sgn(x.compareTo(z)) == sgn(y.compareTo(z)), for all z Algoritmi e strutture dati

8. public interface Comparable/2 • It is strongly recommended, but not strictly required that (x.compareTo(y)==0) == (x.equals(y)). Generally speaking, any class that implements the Comparable interface and violates this condition should clearly indicate this fact. The recommended language is "Note: this class has a natural ordering that is inconsistent with equals" Algoritmi e strutture dati

9. operazioni sui BST public interface BST { void clear(); boolean isEmpty(); BSTNode search(BSTNode p, Comparable el); void insert(BSTNode node); boolean isInTree(Comparable el); int getSize(); void inorder(BSTNode p); void preorder(BSTNode p); void postorder(BSTNode p); void breadthFirst(); int treeHeight(BSTNode radice); } Algoritmi e strutture dati

10. altre operazioni sui BST BSTNode minimum(BSTNode v); BSTNode maximum(BSTNode v); BSTNode successor(BSTNode v); BSTNode predecessor(BSTNode v); Algoritmi e strutture dati

11. elementi o nodi? • il metodo che implementa l’operazione search può restituire elementi (Object) o nodi (BSTNode) • Object • viene rafforzato l’incapsulamento • variabili membro protected • BSTNode • operazioni su sottoalberi • variabili membro private e metodi accessori/modificatori • il dilemma vale anche per altri metodi • successor, delete (parametro formale), … Algoritmi e strutture dati

12. ricerca in un BST k(v) = chiave (tipo scalare) associata a nodo v rt(v) = figlio destro di v lt(v) = figlio sinistro di v algorithm search (key k) t = <root-node> while(t != null) if(k(t) > k) t = rt(t); else if(k(t) < k) t = lt(t); else return t; // o return k; return null; Algoritmi e strutture dati

13. ricerca in un BST/2 versione ricorsiva algorithm search (key k, node p) if(p == null) return null; if(k == k(p)) return p; if (k < k(p)) return search(k, lt(p)); else return search(k, rt(p)); Algoritmi e strutture dati

14. 49 21 52 56 54 67 77 75 83 costo della ricerca in un BST BST di n nodi • caso peggiore • O(n) • caso medio • dipende dalla distribuzione • caso migliore • O(1) (poco interessante) Algoritmi e strutture dati

15. costo della ricerca in un BST/2 • nel caso di distribuzione uniforme delle chiavi il valore atteso dell'altezza dell'albero è O(lg n) • N.B. L'altezza di un albero binario di n nodi varia in {lg2n + 1,…, n} • un BST con chiavi uniformemente distribuite ha un costo atteso di ricerca O(lg n) Algoritmi e strutture dati

16. analisi del caso medio • IPL (internal path length):somma lungh. percorsi radice-nodo, per tutti i nodi • lungh. media percorso radice-nodo: IPL/(#nodi) Algoritmi e strutture dati

17. analisi del caso medio/2 • chiavi 1,…,n presenti in un BST di n nodi (senza perdita di generalità) • Pn (i ): percorso medio in BST di n nodi avente chiave i in radice • Pn : percorso medio in BST di n nodi • se k(radice) = i allora • sottoalbero sx ha i – 1 chiavi • sottoalbero dx ha n – i chiavi Algoritmi e strutture dati

18. inserimento in un BST nuovo nodo u viene inserito come foglia • fase 1: cerca il nodo genitore v • fase 2: inserisci u come figlio di v Algoritmi e strutture dati

19. fase 1 inserimento in un BST/2 Algorithm insert(key k) p = root; while (p != null) { prev = p; if (k(p) < k) p = rt(p); else p = lt(p); } if (root == null) // BST vuoto root = new BSTNode(k); else if (k(prev) < k) rt(prev) = new BSTNode(k); else lt(prev) = new BSTNode(k); fase 2 Algoritmi e strutture dati

20. inserimento in un BST/3 • la fase 1 termina quando si raggiunge un nodo del BST privo del figlio in cui avrebbe avuto senso continuare la ricerca • non necessariamente una foglia • la fase 2 si limita a collegare una nuova foglia 60 49 21 52 56 54 67 77 75 83 Algoritmi e strutture dati

21. 49 21 52 56 54 67 60 77 75 83 inserimento in un BST/4 caso peggiore • costo fase 1: O(n ) • costo fase 2: O(1) • costo totale: O(n ) caso medio (distrib. unif.) • costo fase 1: O(lg n ) • costo fase 2: O(1) • costo totale: O(lg n ) Algoritmi e strutture dati

22. costo dell'inserimentoin un BST • ogni inserimento introduce una nuova foglia • il costo è (proporzionale a) la lunghezza del ramo radice-foglia • nel caso peggiore O(n ) Algoritmi e strutture dati

23. cancellazione da un BST tre casi • cancellazione di una foglia • cancellazione di un nodo con un solo figlio • cancellazione di un nodo con due figli Algoritmi e strutture dati

24. cancellazione da un BST/2 cancellazione di una foglia • basta individuare il nodo genitore e mettere a null la variabile membro opportuna (leftChild o rightChild) • individuare il genitore significa sostanzialmente effettuare una ricerca (come nella fase 1 dell'inserimento) • un approccio alternativo è basato sulla tramatura dell'albero (i nodi contengono altri riferimenti, ad es., al genitore) Algoritmi e strutture dati

25. 49 21 52 56 54 67 60 77 75 83 cancellazione da un BST/3 cancellazione di 83 49 49 21 52 21 52 56 56 54 67 54 67 60 77 60 77 75 83 75 Algoritmi e strutture dati

26. cancellazione da un BST/4 cancellazione di un nodo u con un solo figlio v • individuare genitore w di u • se u è radice v diviene la nuova radice • se esiste w, sostituire al collegamento (w,u ) il collegamento (w,v ) w w w w u u u u v v v v Algoritmi e strutture dati

27. 49 49 49 21 52 56 21 52 21 56 56 54 67 60 77 54 67 54 67 75 60 77 60 77 75 75 cancellazione da un BST/4 cancellazione di 52 Algoritmi e strutture dati

28. cancellazione da un BST/5 cancellazione di un nodo u con due figli (ci si riconduce ad uno dei casi precedenti) • individuare predecessore v (o successore) di u • v non può avere due figli, altrimenti non sarebbe predecessore (successore) • copiare la chiave di v al posto di quella di u • cancellare nodo v • v è foglia o ha un solo figlio Algoritmi e strutture dati

29. cancellazione da un BST/6 u u u u copia chiave v w v v w w w cancella v Algoritmi e strutture dati

30. costo della cancellazionein un BST • la cancellazione di un nodo interno richiede l'individuazione del nodo da cancellare nonché del suo predecessore (o successore) • nel caso peggiore entrambi i costi sono lineari: O(n ) + O(n ) = O(n ) da cancellare n/2 u n/2 v predecessore Algoritmi e strutture dati