Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório

2. Somatório (1) • Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5: • Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa somas de parcelas. • Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo: • Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5. • A expressão resultante representa a soma de todos os valores de i. • A notação para somatório é dada da seguinte forma:

3. Somatório (2) • Onde: • A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório; • O número 1 é o limite inferior do somatório; • O número 5 é o limite superior do somatório; e • A variável i é chamada de índice do somatório. • Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. • Todos os valores do índice do somatório são somados, de forma que:

4. Somatório (3) • Exemplo 1: • Exercício 1: Qual o valor de

5. Somatório (4) • Nos exemplos apresentados, a expressão após o símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de índice do somatório. • Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. • Exemplo 2: • Exercício 2: Qual o valor de

6. Somatório (5) • Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação a seguir: • Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e nem a expressão após o símbolo do somatório; e • A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, variando do limite inferior até o superior, como se segue, • Há alguns casos especiais a serem considerados com relação ao valor de :

7. Somatório (6) • Caso 1: • Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante 0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do somatório. A soma de qualquer quantidade de números iguais a 0 é 0. • Exemplo 3:

8. Somatório (7) • Caso 2: • Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma constante, e o somatório diz que tem que se somar n cópias de uma constante, o que é igual ao valor cn. • Exemplo 4:

9. Somatório (8) • Caso 3: • Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0. • Exemplo 5:

10. Somatório (9) • O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela simplesmente marca o lugar do número que está sendo alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem mudar o valor do somatório. • Exemplo 6:

11. Somatório (10) • Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é permitido desde que o valor do somatório permaneça o mesmo. • Exemplo 7: • Já que ambos os somatórios tem o valor 1 + 2 + 3 = 6.

12. Somatório (11) • Há algumas propriedades para somatórios. • Propriedade 1: • Propriedade 2:

13. Somatório (12) • Propriedade 3: • Onde c é uma constante.

14. Somatório (13) • Prova da Propriedade 1: Notar que, • ap + bp + ap+1 + bp+1 + ... + aq + bq= • ap + ap+1 + ... + aq + bp + bp+1 + ... + bq termos em bi termos em ai

15. Somatório (14) • Exercício 3: Provar a Propriedade 2.

16. Somatório (15) • Exercício 4: Provar a Propriedade 3. • Onde c é uma constante.

17. Somatório (16) • Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de cartões de credito apresentadas a seguir, • 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. • Colocar essa soma em formato de somatório.

18. Somatório (17) • Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.). • Exemplo 8: • Exercício 6: Expandir o somatório acima.

19. Somatório (18) • Exercício 6: Expandir o somatório abaixo. • Solução:

20. Produtório (1) • Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5: • Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa multiplicação de parcelas. • Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo: • Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5. • A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos os valores de i. • A notação para produtório é dada da seguinte forma:

21. Produtório (2) • Onde: • A letra grega ∏ (pi) representa o produtório; • O número 1 é o limite inferior do produtório; • O número 5 é o limite superior do produtório; e • A variável i é chamada de índice do produtório. • Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. • Todos os valores do índice do produtório são multiplicados, de forma que:

22. Produtório (3) • Exemplo 8: • Exercício 7: Qual o valor de

23. Produtório (4) • Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão após o símbolo de produtório é o símbolo i, o denominado índice do produtório. • Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. • Exemplo 9: • Exercício 8: Qual o valor de

24. Produtório (5) • Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação: • Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e a expressão após o símbolo do produtório; e • A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, do limite inferior até o superior, como se segue, • Há algumas propriedades de produtórios para serem consideradas a seguir.

25. Produtório (11) • Propriedade 1: • Exemplo 10:

26. Produtório (12) • Propriedade 2: • Exemplo 11:

27. Produtório (13) • Propriedade 3: • Exemplo 12: • Para usando-se a soma

28. Produtório (14) • Propriedade 4: • Exemplo 13: • Para

29. Produtório (15) • Propriedade 5: • Exemplo 14: • Para

30. Produtório (16) • Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.