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第六章 刚体动力学（二）. §6-1 、刚体定点运动的运动学. 刚体定点运动 ( fixed-point motion of rigid body) ： 刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。. 一、刚体定点运动的运动学方程. 问题： 1 ： 如何描述刚体的定点运动？ 2 ： 定点运动刚体的自由度是几？ 3 ： 用哪些参数描述其运动？. Oxyz 为固定参考系. Ox’y’z’ 为固联在刚体上的随体参考系. 用随体参考系相对固定参考系 的位置描述刚体的定点运动。. 进动角 (angle of precession). 欧拉角
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第六章 刚体动力学（二） §6-1、刚体定点运动的运动学
刚体定点运动( fixed-point motion of rigid body)： • 刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。
一、刚体定点运动的运动学方程 问题：1：如何描述刚体的定点运动？ 2：定点运动刚体的自由度是几？ 3：用哪些参数描述其运动？ Oxyz为固定参考系 Ox’y’z’为固联在刚体上的随体参考系 用随体参考系相对固定参考系 的位置描述刚体的定点运动。
进动角 (angle of precession) 欧拉角 (Euler angle) 章动角 (angle nutation) 自旋角 (spin angle)
给定： 如何确定： 问题：给定欧拉角，如何确定刚体上某一点在空间的位置
进动角 正交矩阵
二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移 1、刚体定点运动的有限位移 • 有限位移：定点运动刚体从某一位置到另一位置的变化 问题：定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？
2、刚体定点运动的位移定理（达---欧 定理） 定理：定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某一轴经过一次转动来实现。
3、刚体定点运动的无限小位移 问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换 可交换 结论：定点运动刚体无限小位移的顺序可交换
o 问题：如何确定定点运动刚体绕某轴的无限小转角与刚体上点的位移的关系？
结论： 同理 无限小角位移的合成 无限小角位移满足矢量加法
瞬时转动轴： o 三、刚体定点运动的角速度和角加速度 角速度 角加速度
四、定点运动刚体上各点的速度和加速度 速 度： 问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？ • 瞬时转动轴(instant axis of rotation)： • 在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的 轴，在该轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。 问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？
例：已知 的大小为常量，求圆盘的角速度和角加速度 问题：如果 不为常量如何求角加速度 ？ 动系：支架BCD动点：圆盘上的点
例：已知OA轴绕铅垂轴匀角速转动，圆盘与碾盘无滑动，求M点的速度和加速度。已知：例：已知OA轴绕铅垂轴匀角速转动，圆盘与碾盘无滑动，求M点的速度和加速度。已知： M O A C 问题： 解：确定瞬时转轴 确定角加速度 已知公式：
若在 Oxyz 参考系中： 是随时间t变化的量 若在 Ox’y’z’ 参考系中： 是随时间t变化的量 §6-2、刚体定点运动的欧拉动力学方程 一、刚体定点运动的动量矩 Oxyz 为惯性参考系 Ox’y’z’为随体参考系 刚体对O点的动量矩： 上述矢量在不同参考系中可表示为：
刚体对O点的动量矩： 如果x’ y’ z’是刚体的惯量主轴
C B A 问题：Lo与是否共线，在什么情况下共线？ 结论：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与共线。
例：已知： ，质心在AB轴的中点，长边为a，短边为b, AB=2L，质心在AB轴的中点， 求图示瞬时轴承A、B的约束力。 C A B 问题2： 如果板转动， 如何求约束力？ 问题1：如果板不转动，如何求约束力？
C A B
C B A 的方向垂直于屏幕向外 用动量矩定理解释附加动反力产生的原因 对C点的动量矩矢量的大小不变， 并且始终位于板内 A、B处约束力对C点之矩 也应垂直于屏幕向外。
§6-3、陀螺近似理论 • 陀 螺(gyroscope)：绕自身对称轴高速旋转的定点运动刚体。 陀螺模型
如果的大小为常量 • 陀螺力矩(gyroscopic torque)： • 陀螺转子作用在支架上的作用力对O点之矩
例：已知 大小均为常量，圆盘质量为m，半径为R， CD＝2L，求转轴CD作用在支座C、D的附加动反力。 硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。
例：已知均质圆盘质量为m，半径为R，盘面与x轴的夹角例：已知均质圆盘质量为m，半径为R，盘面与x轴的夹角 为 ，圆盘绕z轴的匀角速度为 。求圆盘对中心点O的动量矩及其对时间的一阶导数。 O 思考：的方向？ 解：随体坐标系ox’y’z’
平移参考系 §6-4、刚体一般运动的运动学与动力学 一、刚体一般运动的运动方程 x y z定参考系 一般运动 = 动系平移 + 定点运动 二、刚体一般运动时点的速度和加速度 三、刚体一般运动的运动微分方程
本章基本内容 • 刚体定点运动的运动学 • 运动方程、欧拉角、有限转动和无限小转动的性质、角速度、角加速度、点的速度和加速度。 • 定点运动刚体的动力学 • 欧拉动力学方程、陀螺近似理论、陀螺力矩、陀螺的动力学特性。 • 刚体一般运动 • 刚体一般运动的运动学（平动＋定点运动） • 刚体一般运动的动力学（动量定理＋相对质心的动量矩定理）
本章习题 • 6－6，6－7，6－10 • 6－12，6－14，6－18
o 加速度： 转动加速度 向轴加速度 角加速度分析
