Základné vlastnosti funkcií Adam Chomo

1. Základné vlastnosti funkcií Adam Chomo

2. Úvod Funkcia(f)reálnejpremennej x je predpis, ktorýkaždému x e R priraďujenajviacjedno y e R tak, žey = f(x) y = f(x) sa volá funkčná hodnota Definičný obor funkcie D(f) je množina všetkých x e R, ku ktorým existuje práve jedno y e R tak, že y = f(x). Obor hodnôt funkcie H(f) je množina všetkých y e R, ku ktorým existuje aspoň jedno x e R tak, že y = f(x).

3. Zadania funkcie • Poznáme 3 základné druhy zadania funkcie: • 1. analyticky (napr. y = 2x + 5) • 2. graficky (napr. • 3. tabuľkou hodnôť

4. 1. Monotónnosť • Nech f je funkcia definovaná na celom jej D(f) • Ak platí, že: x2 > x1, f(x2) > f(x1) funkcia je rastúca x2 > x1, f(x2) < f(x1) funkcia je klesajúca x2 > x1, f(x2) ≤ f(x1) funkcia je nerastúca x2 > x1, f(x2) ≥ f(x1) funkcia je neklesajúca Ak je funkcia f rastúca alebo klesajúca hovoríme, že je rýdzo monotónna rastúca funkcia klesajúca funkcia

5. 2. Prostá funkcia • Každá rovnobežka s osou x  pretne graf funkcie najviac v 1 bode (alebo  žiadnom) • Nech f je funkcia definovaná na D(f). Funkcia f je prostá, ak pre x1, x2, ktoré patria do D(f): x1 ≠ x2, f(x1) ≠ f(x2) • Príklad prostej funkcie

6. 3. Ohraničenosť • Hovoríme, že funkcia f je: • 1. ohraničená zhora, ak (∃a∈R) že pre (∀x∈D(f)) (f(x) ≤ a); • 2. ohraničená zdola, ak (∃b∈R) že pre(∀x∈D(f)) (f(x) ≥ b); • 3. ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola Hovoríme, že funkcia f je: Hovoríme, že funkcia f je: 1. ohraničená zhora, ak (∃a∈R) (∀x∈D(f)) (f(x) ≤ a); 1. ohraničená zhora, ak (∃a∈R) (∀x∈D(f)) (f(x) ≤ a); 2. ohraničená zdola, ak (∃b∈R) (∀x∈D(f)) (f(x) ≥ b); 2. ohraničená zdola, ak (∃b∈R) (∀x∈D(f)) (f(x) ≥ b); 3. ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola 3. ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola

7. Ohraničenosť • Ohraničená zdola • Ohraničená zhora

8. 4. Extrémy • Máme funkciu f, ktorá ma v bode c: • lokálne maximum, ak (∃(a; b), c∈(a; b)) taký, že pre (∀x∈(a; b)) (f(c) ≥ f(x)); (napr. pri goniometrických funkciách) • maximum, ak (∀x∈D(f)) (f(c) ≥ f(x)) • lokálne minimum, ak (∃(a; b), c∈(a; b)) taký, že pre (∀x∈(a; b)) (f(c) ≤ f(x)) • minimum, ak (∀x∈D(f)) (f(c) ≤ f(x))

9. Extrémy • Minimum v bode [0,0] • Maximum v bode [1,5 ; 0]

10. 5. Párna a nepárna funkcia • Nech funkcia f je taká, že jej definičným oborom je množina symetrická vzhľadom na bod0. Potom hovoríme, že funkcia f je: • párna ak platí: • (∀x∈D(f)) (f(–x) = f(x)) • že je osovo súmerná podľa y-ovej osi (x = 0) • nepárna ak platí: • (∀x∈D(f)) (f(–x) = –f(x)) • že je osovo súmerná podľa priamky x = y

11. Párna a nepárna funkcia • Párna: • Nepárna:

12. Záver • Medzi dalšie, zložitejšie vlastnosti funkcií patrí napríklad: • - periodickosť (napr. goniometrické funkcie) • - konvexnosť a konkávnosť funkcie • - každá funkcia má špecifický graf (napr. graf kvadratickej funkcie je parabola) • Pri každej funkcií sa dajú určiť jej vlastnosti, ktoré ju charakterizujú.