Co trzeba wiedzieć aby rozumieć wykład ?

1. albo albo…… z Co trzeba wiedzieć aby rozumieć wykład ? Pojęcie funkcji Lagrange'a Równania Newtona. Ogólniejsze rozważania – równanie Lagrange'a. Mamy układ mechaniczny o n-liczbie swobody (np. x,y,z). Uklad ten jes opisany przy pomocy tzw. zmiennych uogólnionych. Mogą to być jeśli Przykład: jednowymiarowy ruch po osi pionowej w polu grawitacyjnym a to jest równanie Newtona B. Muryn

2. Równania hamiltona Energię tą wyrażamy przez pędy i położenia (ogólnie uogólnione) ogólnie energia całkowita hamiltonian i = liczba stopni swobody Równania Lagrange'a zastępujemy układem podwójnych równań ale za to pierwszego rzędu ! Przykład z poprzedniej strony: w tym przypadku znowu równanie Newtona

3. Ważna własność: Rozważmy pewną funkcję obliczmy komutator otrzymaliśmy jeśli i gdy zachodzi komutacja F z H to stała ruchu!

4. Podstawy Mechaniki Kwantowej Klasycznie – rozwiązanie problemu zwykle przez równanie różniczkowe. Np. równanie Newtona. Wyznaczamy trajektorię.W MK możemy podać tylko prawdopodobieństwo danej cechy – nie możemy stwierdzić, że na pewno. Tu mamy konstrukcję matematyczną polegająca na tym, że równania mechaniki kwantowej zawierają pojęcie operatora odpowiadającego danej wielkości fizycznej. Operator taki działa na pewien obiekt (którego zdefiniowanie było wielkim osiągnięciem XX wieku) – funkcję falową . układ fizyczny Operator danej wielkości fizycznej działa na funkcję falową dając liczbę. Wspomniana liczba nazywa się wartością własną operatora. Jeśli jest to operator energii to daje on wartość własną energii czyli energię układu, a jeśli jest to operator np. pędu to po działaniu na funkcję falową otrzymujemy wartość własną pędu, która jest wartością pędu rozpatrywanego układu fizycznego.

5. Niech fala płaska opisuje stan opisujący strumień lecących cząstek. Przepiszmy nasze równanie w innej postaci, operator pędu ma postać wróćmy do naszego zasadniczego równania liczba określająca pęd cząstek w strumieniu Tak rozwiązuje się większość problemów mechaniki kwantowej. B. Muryn

6. Operatorem energii jest hamiltonian, w którym pęd został zastapiony operatorem pędu Jeśli stan fizyczny (funkcja falowa) jest stanem własnym dla danego operatora wtedy spełnione jest równanie i dany stan ma określoną wartość obserwabli odpowiadającej danemu operatorowi. Ten sam stan własny może nie być stanem własnym innego operatora i wtedy wartość tej obserwabli jest dla tego stanu nieokreślona. Obowiązuje zasada superpozycji każdą funkcję falową można przedstawić jako kombinację liniową zupełnego ukladu funkcji bedących stanami własnymi jakiegoś operatora. Wszystkie operatory, które komutują ze sobą mają wspólny układ funkcji wlasnych. Każdemu obiektowi przypisujemy funkcję falową. Funkcja ta zależy od zbioru niezależnych zmiennych. W odróżnieniu od mechaniki klasycznej nie można ich wszystkich określić. Dla obiektu klasycznego możemy wyznaczyć położenie i pęd zaś dla obiektu opisanego mechaniką kwantową albo jedno albo drugie.

7. X Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej. Jeśli funkcja falowa zależy od jakiejś wielkości fizycznej np. od pędu to kwadrat tej funkcji falowej podaje gęstość prawdopodobieństwa, tzn. daje prawdopodobieństwo, że rozpatrywany stan znajdzie się w stanie pędowym w przedziale np. dla funkcji zależnej od położenia Jeśli rozwiązaniem byłaby taka fala wtedy stwierdzilibyśmy, że największe prawdopodobieństwo spotkania cząstki jest w środku pudła. Najmniejsze na brzegach.

8. Aby ta nierówność była spełniona to dokładne wyznaczenie położenia pociąga za sobą warunek (i na odwrót) Niepewność wyznaczenia polożenia niepewność wyznaczenia pędu > h Jakie jeszcze ważne wnioski wynikają z kwantowego podejścia ? Co dzieli mechanikę klasyczną i mechanikę kwantową ? W mechanice Newtona i jej relatywistycznym rozszerzeniu obiekt ma zawsze określone parametry. Zawszemożna (jest to tylko kwestią użytych narzędzi) zmierzyćprędkość, położenie, energię, moment pędu oraz interwał czasowy zdarzenia. W kwantowym podejściu jest jednak inaczej ! Np. jeśli potrafimy określić położenie obiektu to nie potrafimy określić jego pędu (prędkości) – i na odwrót jeśli znamy pęd to nie jesteśmy w stanie określić gdzie się badany obiekt znajduje (położenie obiektu). Przez obiekt rozumiemy np. elektrony, protony itd.. Znajduje to swoje odbicie w tzw. nierówności Heisenberga (wyprowadza się ją z zasad mechaniki kwantowej). Dotyczy to również składowej x i y !! B. Muryn

9. Zasada nieoznaczoności H. wiąże nie tylko położenie i pęd ale też i inne wielkości fizyczne, które podejście Newtona (dotąd poznana fizyka klasyczna) uważała za niezależne od siebie. Np. to samo dotyczy energii i niepewności wyznaczenia przedziału czasu. Niemożność wyznaczenia pewnych wielkości fizycznych (przy znajomości innych) spowodowała wiele podstawowych dyskusji !! Heisenberg daje przykład zwany myślowym eksperymentem Heisenberga. Mierzymy bardzo maly przedmiot. Aby go dokładnie zobaczyć musimy użyć jak najkrótszej fali (jeśli chcemy rozebrać zegarek na elementy podstawowe musimy użyć jak najmniejszego śrubokrętu – to pozornie trywialne stwierdzenie będzie jeszcze dyskutowane później). Ale im krótsza fala tym większy pęd kwantów światła (fotonów). Oświetlając taki przedmiot uderzamy w niego fotonami o dużych pędach. Pęd ten przekazywany jest przedmiotowi – stąd wtedy duża nieokreśloność pędu przedmiotu. Więc nie można dobrze określić położenia i zarazem pędu !!

10. Jednostki: Podczas tego wykładu obowiązują jednostki układu SI. Przez ładunek będziemy rozumieć (o ile nie zaznaczymy inaczej): Wtedy ładunek elementarny ma postać: Używa się często jednostek odpowiadających skali rozważanego problemu: np. jednostką długości w fizyce jądrowej jest "femtometr" Jednostkę powierzchni (również jak przekrój czynny na dany proces) przyjmujemy w barnach:

11. W skali energetycznej fizyki jądrowej przyjmuje się się jednostkę 1 MeV: W fizyce cząstek elementarnych definiujemy jednostkę większą dziewięć rzędów wielkości t.j. Nowe wezwania i przyszłe eksperymenty zmieniają dotychczasową skalę na TeV: Masę obiektów mikroświata wyrażamy w jednostkach: Gdzie c jest prędkością światła. Pęd cząstek mierzymy w jednostkach: (Zgodnie ze wzorem )

12. Często (coraz powszechniej) używa się relatywistycznego układu jednostek , c=1. Wtedy Skądinąd w fizyce kwantowej wybiera się często układ jednostek z warunkiem Można połączyć oba te układy w tzw. Naturalny Układ Jednostek, oczywiście każda prędkość jest bezwymiarowa Wtedy:

13. Każdemu układowi fizycznemu można przypisać pewną skalę (np.. geometryczną, energetyczną..). Mówimy o cząstkach relatywistycznych lub nierelatywistycznych (Gdy Ekinet <<mc2 – nierelatywistyczne) Można rozważać skale ENERGETYCZNE typowe dla: 1. Otaczającej nas rzeczywistości (Fizyka Jądrowa, Model Standardowy MS) 2. Modele, które wydają się zastąpić MS, Modele Supersymetryczne ? 3. Skala energetyczna Wielkiej Unifikacji 4. Supergrawitacja E= Można rozważać skale typowe dla: a. Megaświat: lat świetlnych Wierzymy, że stałe fizyczne są uniwersalne. Pewne charakterystyczne wielkości definiujemy, np. średnią gęstość wszechświata 

14. Gdzie H – stała Hubbla, G – stała grawitacyjna. Gdy wtedy wszechświat zamknięty i jako skalę odległości można obrać <R> wszechświata, R1026 m (metra) Skalę czasową przyjmujemy TM=10 mld lat. Jeśli Wszechświat zamknięty to jego czas życia wynosi 1.5 TM. Precyzując bardziej skalę energii, możemy powołać się na erę hadronową w fazie tzw. Wielkiego Wybuchu: 2. Dla Mikroświata podstawową stałą jest stąd możemy wyliczyć E Skalę geometryczną wyznacza rozmiar nukleonu:

15. Jeśli chodzi o skalę energii (masy) Jaka skala czasowa odpowiada przyjętej skali masy 1 GeV ? Posłużmy się zasadą nieoznaczoności Heisenberga. lub w naturalnym układzie jednostek:

16. Klasycznie: r R R+r

17. tarcza np. wodór (protony) wiązka – np. elektrony = stan pocz. i stan końcowy f cząstki Przekroje czynne: (miara powierzchni!) N= liczba cząstek wiązki przypadajacych na jednostkę powierzchni w czasie jednej sekundy N0= liczba cząstek tarczy przypadająca na jednostkę powierzchni n = koncentracja (ilość/objętość) zaś d = grubość tarczy. Liczba takich "aktów" w jednostce czasu jest propor. do N oraz N0 – wspólczynnikiem jest tzw. przekrój czynny Załóżmy, że pojedynczy akt prowadzi do tzw. elektroprodukcji

18. Możemy być zainteresowani liczbą czastek wylatujących w kąt i mających energię w przedziale wtedy Przekrój czynny ma wymiar powierzchni ! tzw. różniczkowy przekrój czynny. Jednostki:

19. W chwili obecnej mamy około 450 różnych (cząstek) uważanych jeszcze w latach 70 – za elementarne. W ramach wiedzy, którą obecnie dysponujemy obiektów elementarnych mamy zaledwie 24. • Problem zrozumienia wszechświata: • Poznać siły z jakimi na siebie oddziaływują. • Znać wszystkie obiekty elementarne. • Umieć wyliczyć zachowanie się cząstek. • A potem przewidzieć zachowanie układów złożonych: • Jądra atomowe, molekuły (fizyka atomowa i jądrowa). • Zachowanie się złożonych układów • krystalicznych. (Fizyka Ciała Stałego)

20. AUTOR ŻARTOWAŁ – MINISTERSTWO EDUKACJI (HA! HA!) STWIERDZIŁO, ŻE EWOLUCJA TO KŁAMSTWO !

21. 8 4 LEPTONY Mezono-we Bariono-we Mezony Bariony KWARKI Cząstki Nie-elementarne Elementarne Hadrony Cząstki – składowe materii Kwanty przenoszące oddziaływania Stabilne Rezonanse G 1

22. Zacznijmy od sił: W ramach Modelu Standardowego istnieją tylko cztery podstawowe siły

23. Podstawowe parametry oddziaływań Zastanówmy się nad problemem "siły" (intensywności) oddziaływań

24. Rozważmy oddz. EM Ale również Czyli stosunek lub Tak wybraliśmy stałą sprzężenia EM aby była bezwymiarowa (niezależność od skali!). Podobnie są zdefiniowane pozostałe stałe dla oddz. silnych i słabych ! Zróbmy podobnie dla oddz. grawitacyjnego pomiędzy dwoma protonami o masach mp, Zadajmy sobie pytanie jakie warunki muszą być spełnione aby można było chociaż siłę oddz. słabego porównać z oddz. grawitacyjnym ? Oddziaływania mogą odgrywać rolę gdy odległość między protonami będzie tak mała, że energia potencjalna będzie porównywalna z energią spoczynkową układu protonów.

25. wtedy stąd Rozmiar protonu wynosi 10-13 ! Czyli proton jest większy o 41 rzędów wielkości. Można oczywiście wyobrazić sobie tak wysokie masy, że oddziaływanie będzie porównywalne ze znanymi przy większych odległościach, odpowiadających tzw. długości naturalnej zdefiniowanej przez zasadę nieoznaczoności. Po podstawieniu stąd Masa powyższa nazywa się masą Plancka i wyznacza skalę przy, której zaczynają się kwantowe efekty grawitacyjne.

26. Rok 1913 – Bohr proponuje swój model atomu H Założenia: 1. Elektrony poruszają się po orbitach kołowych. 2. Zmiana orbity (zmiana energii) związana jest z emisją lub absorpcją fotonu. 3. Moment pędu jest skwantowany (wtedy intuicja!) B. Muryn

27. Widzimy teraz, że widmo Balmera pochodzi z przeskoków na 2-gą orbitę. Dziś tylko o znaczeniu historycznym - model Bohra odegrał b. ważną rolę w rozwoju mechaniki kwantowej ! Z równań (*) i (**) otrzymujemy po prostych rachunkach warunek na skwantowane: orbity R prędkości v (zarazem skwantowana energia) zatrzymajmy się na energii: zależy od orbity n Różnica energii, która jednocześnie daje energię emitowanego przy zmianie orbity fotonu ma postać. Jeśli przyjmiemy n1=2 wtedy otrzymujemy wzór postulowany przez Balmera R B. Muryn

28. Dziś nikt nie mówi o modelu Bohra jako modelu obowiązującym. Ale do oceny "skali" jest wciąż bardzo wygodny: Gdy rozwiążemy ten prosty układ, to: n-klasyczny numer orbity, Stąd podstawiając n=1, możemy dostać z dobrym przybliżeniem wartości powyższych wielkości (wskaźnik A oznacza skale atomowe).

29. Jak to wygląda na poziomie jądra atomowego ? Można skorzystać z poprzednich wzorów pod warunkiem, że podstawimy zamiast e* wielkość f2 odpowiadająca silnym oddziaływaniom (wiadomo, że "intensywność" silnych jest około 10 razy większa niż EM, więc Silne oddział. to inaczej oddziaływania jądrowe (a więc oddział. między nukleonami) – zamiast masy elektronu bierzemy więc masę protonu

30. Zobaczmy porównanie bezwzględne skal: B. Muryn

31. LHCb ATLAS B. Muryn

32. Proton-proton collisions at energy 7+7 TeV !(7000 + 7000 GeV) The energy density in these high energy collisions is similar to the particle collision energy in the early universe less than a billionth of a second after the Big Bang.Wonderful prospects for a NEW PHYSICS discovery.Starts in the middle of 2007 year. 100 m 4,5 km previous LEP ring and pits B. Muryn