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- Additional Application of - The Derivative Chapter 4

- Additional Application of - The Derivative Chapter 4. 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number ( 臨界值 ). 由下圖可觀察到這 5 個點中 、 為 m=0 ，而 、 為遞增(incresing) (m>0) ，而 為遞減 (decreasing) (m<0) 。. 2. 4. 1. 5. 3.

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  1. - Additional Application of - The DerivativeChapter 4 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授

  2. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) • 由下圖可觀察到這5個點中 、 為m=0，而 、 為遞增(incresing) (m>0) ，而 為遞減(decreasing) (m<0) 。 2 4 1 5 3

  3. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) • Increasing：任一點 a，若 ，則a點處為遞增。 • Decreasing：任一點a，若 ，則該a點處為遞減。 • Increasing on the interval：在某一區間，每一點的導數都 >0，則為遞增區間。 • Decreasing on the interval：在某一區間，每一點的導數都 <0，則為遞減區間。 • Critical Number：當 或undefine，則稱a為一臨界 值，而 為臨界點。

  4. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) EX： , where is f increasing & where is f decreasing. sol： 若 則increasing ∴ , ∴ 為遞增區間 同樣 則decreasing ∴ , ∴ 為遞減區間 求解 , 求頂點

  5. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) EX： find the increasing interval & decreasing interval for sol： ∴ increasing interval , , ∴ decreasing interval , , 的解 2 -2

  6. 0 1 + + - 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) EX： 相對極值 sol： ∴ 是 的臨界值 頂點maximum

  7. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) • The maximum or minimum point must be critical point Max → cp Max 但 cp不一定會 Min → cp Min

  8. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) • 若 由負變正，且 or undefine，則稱此點a處有相對極小點relative minimum。 若 由負變正，且 or undefine，則稱此點a處有相對極大點relative maximum。 若 區間沒有改變，但 ，則無相對極值(relative extrema)

  9. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) EX： , 求 cp 及 RE. sol： 2 + - 的解亦為 , , , ∴max在 處, 當 x=2 時有RE

  10. 4-1 Increasing & Decreasing Graphs and Critical Number (臨界值) EX： , 求增減區間及RE sol： 為解, undefine -2 0 2 + + - - 在 為↑+ , 在 為↓- , Relative extrema是在 處 為相對極大值

  11. 在 附近，若 落在點 的切線上方，則為凹向上(concave up)。 • 若在 附近， 落在點 的切線下方，則稱為凹向下(concave down)。

  12. EX： 向上 向上 向上 向下 向下 向上

  13. 二階導數可以判斷凹向上或向下的特性。 • 當圖形由凹向上變成凹向下那一點叫point of inflection(反曲點) 。 • 或 不存在為二階臨界值( 為二階臨界點) 。 • 反曲點必發生在二階臨界點，但二階臨界值未必為反曲點。 若 則凹向上 則凹向下

  14. EX： 請問 何處為concave up, 何處為concave down? sol： 當 時, , 0 2/3 處有min, 處有max 凹向下 凹向上 凹向下 ∴由上可看出(0,0)處為反曲點, (2/3,48/81)處為反曲點 亦可由二階導數的凹性來看出extrema , , or 0 2/3 - min + max -

  15. EX： 請問反曲點在哪? 相對極大在哪? 相對極小在哪? 的區域在哪? 的區域在哪? 的區域在哪? 的區域在哪? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

  16. 總結：畫圖的步驟 • 求 的解 • 畫出區間向上或向下 • 求 的解 • 畫出 的凹性區間 • 求 的解(即與 處, 即落在x軸的點) 1 2 找出一階臨界點 1 2 1 2 找出二階臨界點 1 2 根據上述各點即向上, 向下, 凹性作圖

  17. 4.5-4.6 Application EX： 若露營區(如右圖)一面為河，其餘為200公尺，長的鐵網，求此區的長(y)與 寬(x)使面積最大。 ~~~~~~~~河水~~~~~~~ sol： 已知長方形面積 1 x 求 (面積)最大 2 由 得 , 代入 1 2 y 得知當 為 , 50 由左可得知 處, 處為相對極大值 + -

  18. 4.5-4.6 Application EX： 長方體 的無蓋盒，底為正方形。若平均1公分10元，側邊5元/cm 如何最省材料費? sol： 1 2 由 得 代入 , 1 2 10 , 求得 - + ∴當 為最省 ,

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