Equilibrio de los cuerpos rigidos

1. Ing. Gabriel Pujol Año de edición 2020 Equilibrio de los Cuerpos Rígidos Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estática y Resistencia de Materiales (84.05/64.04/64.05).

3. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) Contenido Equilibrio de los cuerpos rígidos ............................................................................................... 3 Ecuaciones de equilibrio ................................................................................................................ 3 Diagrama de cuerpo libre .............................................................................................................. 3 Equilibrio en dos dimensiones ....................................................................................................... 4 Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales ............................................ 6 Problemas de Aplicación ................................................................................................................ 7 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol Estática y Resistencia de Materiales

5. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) Equilibrio de los cuerpos rígidos Ecuaciones de equilibrio Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Esta sección está dedicada al estudio del equilibrio de cuerpos rígidos, esto es, a la situación en la cual las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido forman un sistema equivalente a cero. Entonces, se tiene que: ∑?0= ∑(? × ?) = 0 ∑? = 0; Si se descomponen cada una de las fuerzas y cada uno de los momentos en sus componentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido a través de las seis ecuaciones escalares que se presentan a continuación: ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; Estas ecuaciones pueden utilizarse para determinar fuerzas desconocidas aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas ejercidas por sus apoyos. Diagrama de cuerpo libre Cuando se resuelve un problema que involucra el equilibrio de un cuerpo rígido, es esencial considerar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Por tanto, el primer paso en la solución del problema debe ser dibujar un diagrama de cuerpo libre que muestre al cuerpo en estudio y todas las fuerzas, conocidas o no, que actúan sobre el mismo. Resumimos los diferentes pasos que se deben seguir al momento de dibujar un diagrama de cuerpo libre. 1.Se debe tomar una decisión acertada en relación con la selección del cuerpo libre que será utilizado. Después se debe separar al cuerpo del suelo y de todos los demás cuerpos. Así, se realiza un croquis del contorno del cuerpo ya aislado. 2.Todas las fuerzas externas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. Estas fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre por el suelo y por los cuerpos que han sido separados del mismo; estas fuerzas deben aplicarse en los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre estaba apoyado en el suelo o estaba conectado a otros cuerpos. También se debe incluir entre las fuerzas externas el peso del cuerpo libre, puesto que representa la atracción ejercida por la Tierra sobre las distintas partículas que lo constituyen. El peso debe aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. Cuando el cuerpo libre está constituido por varias partes, las fuerzas que dichas partes ejercen entre si no deben incluirse entre las fuerzas externas; siempre que se considere completo al cuerpo libre, son fuerzas internas. 3.Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben señalarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. Cuando se indiquen las direcciones de dichas fuerzas, se debe recordar que estas son las ejercidas sobre, y no por, el cuerpo libre. Por lo general, las fuerzas externas conocidas incluyen el peso del cuerpo libre y las fuerzas aplicadas con un propósito en particular. 4.Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través de las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. Las reacciones lo obligan a permanecer en la misma posición y, por esta razón, algunas veces reciben el nombre de fuerzas de restricción. Las reacciones se ejercen en los puntos donde el cuerpo libre esta apoyado o conectado a otros cuerpos y deben indicarse con claridad. 5.El diagrama de cuerpo libre también debe incluir dimensiones, puesto que estas se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas. Sin embargo, cualquier otro detalle debe omitirse. hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol Estática y Resistencia de Materiales

6. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) Equilibrio en dos dimensiones Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional En la primera parte esta sección se estudió el equilibrio de una estructura bidimensional; es decir, se supuso que la estructura considerada y la fuerza aplicada sobre esta estaban contenidas en el mismo plano. De la forma más clara, las reacciones necesarias para mantener a la estructura en la misma posición también estarán contenidas en el mismo plano. Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o conexiones: 1.Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento solo en una dirección. Cada una de estas reacciones involucra a una sola incógnita, es decir, la magnitud de la reacción; dicha magnitud debe representarse con una letra apropiada. La línea de acción de la reacción es conocida y debe indicarse con claridad en el diagrama de cuerpo libre. El sentido de la reacción debe ser como se muestra en la figura para los casos de una superficie sin fricción (hacia el cuerpo libre) o de un cable (alejándose del cuerpo libre). La reacción puede estar dirigida en uno u otro sentido en el caso de rodillos de doble carril, eslabones, collarines sobre barras y pernos en ranuras. Por lo general, los rodillos de un carril y los balancines son reversibles y, por tanto, las reacciones correspondientes también pueden estar dirigidas en uno u otro sentido. 2.Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo rígido en todas direcciones pero no pueden impedir la rotación del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este grupo involucran dos incógnitas que usual mente se representan por sus componentes x e y. En el caso de una superficie rugosa, la componente perpendicular a la superficie debe dirigirse alejándose de esta. 3.Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por completo. Los soportes fijos producen fuerzas sobre toda la superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas forman un sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las reacciones de este grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en las dos componentes de la fuerza y en el momento del par. Cuando el sentido de una fuerza o un par desconocido no es evidente, no se debe intentar determinarlo. En lugar de ello, se supondrá arbitrariamente el sentido de la fuerza o el par; el signo de la suposición obtenida indicara si la respuesta fue correcta o no. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estática y Resistencia de Materiales

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8. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) En el caso de una estructura bidimensional, las ecuaciones de equilibrio se reducen a tres, las cuales son: ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; donde A es un punto arbitrario en el plano de la estructura. Estas ecuaciones pueden utilizarse para determinar tres incógnitas. A las tres ecuaciones de equilibrio no se le pueden añadir ecuaciones adicionales, pero cualquiera de ellas puede ser reemplazada por otra. Por tanto, se pueden escribir conjuntos alternativos de ecuaciones de equilibrio como: ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; donde el punto B se selecciona de manera que la línea AB no sea paralela al eje y, o ∑??= 0; ∑??= 0; ∑??= 0; donde los puntos A, B y C no deben ser colineales. Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales En el dos ejemplo de la figura, los tipos de apoyos usados son tales que resulta imposible que el cuerpo rígido se mueva bajo la acción de las cargas dadas o bajo cualquier otra condición de carga. En casos como estos, se dice que el cuerpo rígido tiene restricción completa. También se debe recordar que las reacciones correspondientes a estos apoyos involucraban tres incógnitas, las cuales podían determinarse resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio. Cuando se presenta una situación como esta, se dice que son reacciones estáticamente determinadas. La armadura mostrada ahora se sostiene por pernos en A y B. Estos apoyos proporcionan más restricciones de las necesarias para evitar que la armadura se mueva bajo la acción de las cargas dadas o bajo cualquier condición de carga. También se observa a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 4.4b que las reacciones correspondientes involucran cuatro incógnitas. Puesto que, como se señaló solo están disponibles tres ecuaciones de equilibrio independientes, se tienen más incógnitas que ecuaciones; por tanto, no se pueden determinar todas las incógnitas. otra De lo anterior se concluye que si un cuerpo rígido tiene restricción completa y si las reacciones en sus apoyos son estáticamente determinadas, entonces habrá tantas incógnitas como ecuaciones de equilibrio. Cuando esta condición no se cumple, se tiene la certeza de que el cuerpo rígido no está completamente restringido o de que las reacciones en sus apoyos no son estáticamente determinadas; además, también es posible que el cuerpo rígido no esté completamente restringido y que las reacciones sean estáticamente indeterminadas. Sin embargo, se debe señalar que la condición ya mencionada, aunque es necesaria, no es suficiente. En otras palabras, el hecho de que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones no garantiza que el cuerpo tenga restricción Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estática y Resistencia de Materiales

9. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) completa o que las reacciones en sus apoyos son estáticamente determinadas. Observe la figura en la cual la armadura mostrada se sostiene por medio de rodillos en A, B y E. A pesar de que existen tres reacciones desconocidasA, B y E, la ecuación∑??= 0no se cumplira a menos que la suma de las componentes horizontales de las fuerzas aplicadas resulte igual a cero. Aunque hay un número suficiente de restricciones, estas no están ubicadas de manera apropiada y no existe ningún impedimento para que la armadura se mueva horizontalmente. En este caso, se dice que la armadura esta impropiamente restringida. Como cualquier conjunto de ecuaciones de equilibrio se puede resolver para un máximo de tres incógnitas, no se pueden determinar por completo las reacciones en los apoyos de una estructura rígida bidimensional si estas involucran más de tres incógnitas; entonces se dice que dichas reacciones son estáticamente indeterminadas. Por otra parte, si las reacciones involucran menos de tres incógnitas, no se mantendrá el equilibrio bajo condiciones generales de carga, entonces se dice que la estructura tiene restricción parcial. El hecho de que las reacciones involucren exactamente tres incógnitas no garantiza que las ecuaciones de equilibrio pueden resolverse para todas las incógnitas. Si los apoyos están ubicados de manera que las reacciones son concurrentes o paralelas, las reacciones son estáticamente indeterminadas y se dice que la estructura tiene restricciones impropias. Problemas de Aplicación Ejercicio I: Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de 2400 kg (masa). La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B. Solución Diagrama de cuerpo libre: se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la grúa. Se multiplican las masas de la grúa y de la caja por g = 9.81 m/s2, se obtienen sus respectivos pesos como se indica en la figura de cuerpo libre. La reacción en el perno A es una fuerza con dirección desconocida, esta se representa por sus componentes Axy Ay. La reacción en el balancín B es perpendicular a su superficie; por lo tanto, dicha reacción es horizontal. Supondremos que Ax, Ay y B actúan en las direcciones mostradas en la figura. Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio: ∑??= ??+ ? = 0 ∑??= ??− 9.81[??] − 23.5[??] = 0 ∑??= ? ∗ 1.5⟦?⟧ − 9.81[??] ∗ 2⟦?⟧ − 23.5[??] ∗ 6⟦?⟧ = 0 { hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol Estática y Resistencia de Materiales

10. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) y resolviendo: ??= −107.1[??] ??= 33.3[??] ? = 107.1[??] { Obsérvese que el valor de Ax es negativo, por lo tanto el valor preliminar asumido () no es el correcto. La solución será entonces la que a continuación se grafica (). Ejercicio II: Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P = 15 kips. Solución Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la viga. La reacción en A es vertical y se representa con A. La reacción enB se representa con las componentes Bxy By. Se supone que cada componente actúa en la dirección mostrada en la figura. Ecuaciones de equilibrio. Se escriben las tres ecuaciones de equilibrio siguientes y se resuelven para las reacciones señaladas: ∑??= ??= 0 ∑??= −15[????] ∗ 3⟦??⟧ + ??∗ 9⟦??⟧ − 6[????] ∗ 13⟦??⟧ = 0 ∑??= −? ∗ 9⟦??⟧ + 15[????] ∗ 6⟦?⟧ − 6[????] ∗ 2⟦??⟧ − 6[????] ∗ 4⟦??⟧ = 0 { y resolviendo: ? = 6[????] ??= 0 ??= 21[????] { Ejercicio III: Un peso de 400 lb se une a la palanca mostrada en la figura en el punto A. La constante del resorte BC es k = 250 lb/in. y este no se encuentra deformado cuando  = 0. Determine la posición de equilibrio. Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estática y Resistencia de Materiales

11. Equilibrio de los cuerpos rígidos (Complemento Teórico) Solución Diagrama de cuerpo libre: se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la palanca junto al cilindro. Se representa con s la elongación del resorte a partir de la posición en la que no ha sido deformado y se observa que: ? = ? ∙ ? → ? = ? ∙ ? = ? ∙ ? ∙ ? Ecuación de equilibrio: Sumando los momentos de W y de F con respecto a O. se escribe: ∑??= ? ∙ ? ∙ sin? − ? ∙ (? ∙ ? ∙ ?) =0 → sin? =? ∙ ?2 ? ∙ ?∙ ? → {? = 0 ? ≅ 80.3° hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol Estática y Resistencia de Materiales