Clase N° 9 - TP N° 8 - Flexion Simple y Oblicua

1. Clase N° 9 – TPN° 8Flexión Simple y Oblicua Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio Gd Gi Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a Veamos algunos Conceptos Preliminares

3. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Veamos algunos Conceptos Preliminares

4. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Designamos Flexión Simple, a la solicitación para la cual al reducir al baricentro de la sección las fuerzas que actuando a uno y otro lado de la misma, éstas se reducirían a dos pares normales al plano de aquellas. (esto es: N = Q = 0)

5. Designaremos con el nombre de plano de flexión al plano en que actúan los pares flexores y línea de fuerzas a la traza de dicho plano con el plano de la sección. En el caso de la flexión simple pueden presentarse dos casos: • que la línea de fuerzas coincida con uno de los ejes principales de inercia de la sección (flexión simple normal) • que la línea de fuerzas forme un cierto ángulo  con ese eje (flexión simple oblicua) Como hipótesis fundamental de la flexión admitiremos la de Bernoulli-Navier que establece que en la flexión, las secciones normales al eje de la pieza se mantienen planas a través de las deformaciones y giran en torno a un eje denominado eje neutro, que pertenece a la sección. línea de fuerzas . plano de flexión plano de la sección

6. Flexión Simple Normal A z B L Consideremos una barra prismática simplemente apoyada de longitud L

7. z Carguémosla con 2 fuerzas iguales manteniendo la simetría de cargas

8. Flexión Pura z z Flexión + Corte La barra se deformará quedando solicitada a flexión pura en el centro

9. Momentos Flexores actuantes Flexión Pura z z z Flexión + Corte Veamos un elemento de volumen perteneciente al tramo central solicitado a flexión pura

10. Los segmentos a de la cara superior han sufrido una acortamiento Los segmento c, por el contrario, no han sufrido modificación alguna z z Los segmentos b de la cara inferior han sufrido un alargamiento Alguna fibras se acortarán, otras se alargarán y otras permanecerán inalteradas

11. z El conjunto de franjas que no se acortan ni se alargan constituyen una superficie denominada Superficie Neutra Superficie Neutra

12. … para que la sección considerada permanezca en equilibrio, será necesario que, además que la suma de todos los esfuerzos interiores resulte igual a 0 (cero), el momento de aquellos esfuerzos [(. dA).y]; iguale al momentoM de las fuerzas exteriores, así tendremos: con: z y siendo: fórmula que determina el valor de la tensión en un punto genérico de la sección o sea: Superficie Neutra Un elemento de área dA distante y de la superficie neutra, estará solicitado por un esfuerzo interno de intensidad . dA…

13. Inclinación de las secciones planas de los extremos Hipótesis fundamental de la flexión de Bernoulli-Navier z Secciones planas de los extremos Además observamos que, las secciones planas de los extremos han permanecido planas y se han inclinado formando un ángulo dq

14. Radio de Curvatura Distancia de una fibra a la superficie neutra y e = y / r z La deformación unitaria para una fibra ubicada a una distancia y de la superficie neutra será:

15. Fibra de la Sección Transversal ubicada a una distancia y del eje neutro Eje Neutro A la intersección entre la Superficie Neutra y la Sección Transversal se la denomina Eje Neutro

16. z z z z z compresión tracción - - + + s s • y en consecuencia también lo será el signo de las deformaciones y de las tensiones normales (s): Traza de la superficie neutra La deformación del elemento de barra será función del sentido del momento aplicado… compresión tracción

17. s =  (MX . y) / JX s = Tensión Normal MX = Momento Flexor y = distancia de la fibra al eje neutro JX = Momento de Inercia de la Sección respecto del ejex-x x x Tensión Normal La tensión normal en una fibra de la sección transversal es constante e igual a:

18. s = MX/ WX …definiendo modulo resistente WX = J X / y será: s = Tensión Normal MX = Momento Flexor y = distancia de la fibra al eje neutro JX = Momento de Inercia de la Sección respecto del ejex-x x x Tensión Normal La tensión normal en una fibra de la sección transversal es constante e igual a: s =  (MX . y) / JX Para la flexión pura normal se cumple que: • el eje neutro es baricéntrico; • el eje neutro es conjugado de inercia de la línea de fuerzas, y cuándo ésta coincide con un eje principal de inercia, ambos son normales.

19. Consideremos dos secciones CD y EF separadas por una distancia unitaria. z Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura La fibra más alejada CE experimenta un alargamiento total: de los triángulos semejantes OCEy OC’E’ se deduce que: z • Conforme a la Ley de Hooke: que debe igualar a: (tensión normal en flexión) Deformaciones en la Flexión de donde: Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro:

20. Radio de Curvatura • y por ser un ángulo pequeño será: y como para valores crecientes de zcorresponden valores decrecientes de habrá que afectar la expresión anterior con un signo menos (-), así: Ecuación de la Elástica Tomando sobre la elástica dos puntos a y b. Las normales trazadas por estos puntos se cortan en C, verificándose:

21. Ecuación de la Elástica • dada la expresión: • será: • Esta doble integración nos permite calcular las pendientes y deflexiones de la viga en cualquier punto. • La dificultad radica en despejar las constantes de integración. • Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformación de la viga. Obtengamos las expresiones de las rotaciones y las flechas:

22. q • Para la viga simplemente apoyada de la figura, cargada con una carga uniformemente repartida se pide: A B L • Calcular la ecuación general de las rotaciones de las secciones, h h = 2 b • Calcular la ecuación general de las flechas, b • Calcular las rotaciones en los vínculos Ay B, • Calcular la flecha máxima, Problema 1 • Dimensionar el perfil para la flecha máxima (fmax) estipulada. Veamos el siguiente ejemplo:

23. q • Calculamos las reacciones de vínculo RA y RB: A B L RA RB qL/2 Q • Trazamos los correspondientes diagramas de Momento (M) y Corte (Q): -qL/2 • El momento será función de la coordenada zconforme a la siguiente expresión: M Resolución Veamos el siguiente ejemplo: qL2/8

24. Resolución • Por simetría, la flecha máxima estará en el punto medio de la viga, por lo que la tangente trazada en este punto de la elástica tendrá pendiente nula, es decir: Por lo tanto será:

25. Resolución • e integrando resulta: • según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando z = 0 óz = L … y además:

26. Resolución Calculamos ahora A; B y Ymax

27. Resolución • Estos valores están tabulados para distintas hipótesis de carga: Calculamos ahora A; B y Ymax https://ingemecanica.com/tutoriales/prontuario.html

28. Resolución • La flecha máxima deberá ser: • donde, para la sección rectangular de relación h = 2b resulta: • y reemplazando: Dimensionemos el perfil

29. P P Calcular las dimensiones necesarias de la sección circular, cuadrada, rectangular y doble T (ala estrecha laminada en caliente según DIN 1025); la relación de peso de estas cuatro secciones; la tensión normal en el punto Dindicado para el caso de la viga de sección doble T. q A B D L C C Problema 2 Datos: fl = 1,6 t/cm2; q = 11 kg/cm; P = 1 t; L = 4 m; c = 1 m. a) radio r b) lado a c) relación h = 2b d) perfil DIN 1025

30. Calculamos las reacciones de vínculo y trazamos los diagramas de momentos flexores… P P q Puesto que existe simetría geométrica y de cargas será: A B D • Las reacciones de vínculo serán iguales RA = RB L C C RA RB Resolución • El momento máximo ocurrirá en la mitad de la luz (C + L/2) P.c • El momento originado por las fuerzas concentradas tendrá una distribución trapezoidal. • El momento originado por la carga distribuida tendrá una distribución parabólica. q.L2/8 1/2 [q.L.c/2-q.c2] • El momento total será la suma de ambos diagramas (Ppio. de Superposición).

31. Calculamos momento flexor máximo y el módulo resistente de la sección… P P q A B D L C C RA RB Resolución P.c q.L2/8 1/2 [q.L.c/2-q.c2]

32. En el caso de la sección circular resulta: Veamos el Caso A (sección circular) Resolución

33. En el caso de la sección cuadrada resulta: Veamos el Caso B (sección cuadrada) Resolución

34. En el caso de la sección rectangular resulta: Veamos el Caso C (sección rectangular) Resolución h = 2b

35. Veamos el Caso C (sección doble T) En el caso de la sección doble T, de la correspondiente tablas de perfiles, entro con el valor del módulo resistente de la sección y selecciono un valor WX 200 cm3 Resolución Selecciono el perfil I 200 con las siguientes características: perfil DIN 1025

36. Calculo la relación de peso de estas cuatro secciones El peso será proporcional al área de cada sección, y tomando como base de comparación la sección circular resulta: Resolución Obsérvese que en el caso del perfil de sección doble T, el peso del mismo es del orden de una cuarta parte de la del perfil de sección circular con las mismas características resistentes en cuanto a flexión.

37. … y la tensión normal máxima en el punto D para la sección doble T resulta: Resolución

38. Flexión Simple Oblicua Cuando la resultante de la parte suprimida se reduce a una cupla que actúa en un plano que contiene al eje del sólido que es normal al plano de la sección y que la traza con el plano de la sección no es un eje de simetría de la misma, se origina flexión oblicua.

39. Sea ABCD la sección de una pieza solicitada a flexión;  es el ángulo formado por la superficie de apoyo con el plano horizontal; xx e yy son los ejes principales de inercia; ss es la traza del plano de las fuerzas exteriores (línea de fuerzas);  es el ángulo de ss con el semieje positivo de las x. M El procedimiento de cálculo consiste en reducir la flexión oblicua a otras dos flexiones rectas según los ejes principales de inercia. Para ello se descompone el momento M en dos componentes, una MX que actúa en el plano de traza yy otro MY actuando en el plano de traza x. MY MX con … determinemos las tensiones:

40. …así, un punto genérico A de coordenadas (x,y) estará solicitado por una tensión X originada por el momento MX y otra Yoriginada por el momento MY. En cuanto al signo que corresponde a las tensiones (compresión o tracción) dependerá de la posición relativa del punto respecto al par deejes principales de inercia. El punto genérico A (x,y) estará solicitado por la tensión  , suma algebraica de Xy Y.  Si v es la distancia al eje xx, del punto más alejado de la sección y u la del punto más alejado del eje yy, se tendrá: … determinemos las tensiones:

41. El eje neutro está constituido por los puntos del perfil en los cuales la tensión total es nula. Luego si se pone  = 0 se tiene: que es lineal en x e yy representa la recta que pasando por G es la ecuación del eje neutro (n-n) de la sección. … determinemos ahora el eje neutro:

42. Problema 3 Una viga UPN 160 está sometida a flexión según el eje n - n’ que es la traza del plano de las fuerzas exteriores que originan un momento flexor de intensidad M = 4 kNm inclinado 22º respecto a x3 y que tracciona el punto A. Determínese el eje neutroy calcúlese σmax: Resolución De tablas del perfil UPN 160 obtenemos: M Veamos el siguiente ejemplo:

43. Problema 3 Una viga UPN 160 está sometida a flexión según el eje n - n’ que es la traza del plano de las fuerzas exteriores que originan un momento flexor de intensidad M = 4 kNm inclinado 22º respecto a x3 y que tracciona el punto A. Determínese el eje neutro y calcúlese σmax: Resolución De tablas del perfil UPN 160 obtenemos: M Veamos el siguiente ejemplo:

44. Las componentes del momento M según cada uno de los ejes serán: Problema 3 La expresión de las tensiones se escribe: Mf3 Mf2 El eje neutro se obtiene igualando σ = 0 , o sea: M La tensiones máximas (σmax) de producirán en la fibra más alejada del eje neutro, en este caso, el punto Bde coordenadas (- 0,0466 ; - 0,080) [m]: B

45. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

46. Muchas Gracias