Clase N° 12 – TPN° 11 - Flexion y Corte

1. Clase N° 12 – TPN° 11 Flexión y CorteFlexión Variable (Teoría de Jouravski) Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio Gd Gi Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a Veamos algunos Conceptos Preliminares

3. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Veamos algunos Conceptos Preliminares

4. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Una sección está sometida a flexión transversal (flexión y corte)cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha sección está contenida en ella y pasa por el centro de gravedad y a dos pares normales a su plano. (esto es: N = 0)

5. Problema 1 Datos: Dado que el sistema posee tanto simetría geométrica como simetría de cargas las reacciones de vínculo en Ay Bresultan: Con estos valores, graficamos los diagramas de esfuerzo Flexor y Corte: Si al reducir al baricentro de la sección en estudio, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma se obtiene momento flector My esfuerzo de corte Q, como por ejemplo en el tramo ACo DBdel eje de la figura, la solicitación a la que se encuentra sometido dicho tramo se denomina flexión transversal (flexión y corte asociado) Es de nuestro interés calcular el eje de un carretón solicitado por un par de fuerzas P y verificar las tensiones tangenciales

6. El momento flector Mgenera tensiones normales en la sección transversal, tensiones que calculamos con la fórmula de Navier, así: • donde, para la sección circular del eje resulta: y reemplazando en sy despejando dserá: Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm Dimensionemos en primer término el eje del carretón a la flexión pura, para posteriormente verificarlo al corte

7. Debido a la relación que existe entre My Q(dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte Qimplica necesariamente la variación del momento flector M. La existencia de Q,originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales. La existencia de tensiones de corte en la sección origina la existencia de deformaciones angulares  ( = /G). En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas. El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor unitario, donde Hes la altura de la sección y Lla luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo de corte Qvariable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Qconstante. Por consiguiente en esas condiciones la tensión calculada obtenida para flexión pura, es también válida para flexión transversal. Analizamos ahora, el efecto del corte en los tramos del eje AC y DB

8. Si planteamos el equilibrio en el volumen de control del elemento diferencial del eje situado por sobre el plano de corte longitudinal, las resultantes R1y R2de las fuerzas provocadas por las tensiones (z1yz2) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM. volumen de control R1 R2 H PCL y La condición de equilibrio FZi = 0 se puede escribir: R1+H-R2=0 En la dirección “z” actúan las tensiones normales z sobre las caras izquierda y derecha (z1yz2respectivamente). Definimos un plano de corte longitudinal (PCL) situado a una distancia “y” del eje neutro de la sección. Por medio de las dos secciones 1-1y 2-2distanciadas dz, aislamos un elemento diferencial del eje

9. R1 R2 H y las resultantes R1y R2 serán: tyz PCL y y Reemplazando H, R1 y R2enH = R2 - R1, resulta:  Si suponemos yz= ctetendremos: Expresión de Jouravski

10. Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo). El esfuerzo de corte Qdepende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula yz. Sx*: momento estático, respecto al eje “x” (plano de corte longitudinal), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima de la línea donde se calcula yz. by: ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula yz. Jx: momento de inercia de la sección respecto del eje “x”. yz: tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”. El significado de cada factor en la fórmula de Jouravskies:

11. R1 R2 H De acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy), en el plano de la sección “xy” que es perpendicular al plano longitudinal “xz”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical (zy) que serán numéricamente iguales a las longitudinales horizontales (yz). tzy tyz PCL y y para que se satisfaga la condición de equilibrio FYi= 0 debe ser: Veamos que dice Cauchy respecto a las tensiones yz:

12. el momento estático de la sección ubicado por sobre el plano de corte longitudinal es: y reemplazando byserá: y reemplazandovalores tendremos: distribución cuadrática valor mínimo para y = R valor máximo para y = 0 y para la sección circular del eje resulta:

13. Datos: D C verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en los punto C y D

14. las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones s = s maxy t = 0 las fibras ubicadas a distancias intermedias, por ejemplo y = R/2 será: las fibras ubicadas sobre el plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones t = t maxy s = 0 verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en los punto C y D

15. Para la estructura indicada en la figura se pide: a – Reacciones de vínculo b – Trazado de los diagramas de características, indicando los valores particulares c – Clasificar la Flexión d – Dimensionar los elementos estructurales de acuerdo a las secciones propuestas y el material, calidad y coeficiente de seguridad (CS) indicados Datos: e – Tabular las secciones en orden creciente de las áreas de las secciones transversales, indicando, además, el porcentaje en más de cada una respecto a las de menor valor tomada como patrón. Justificar cuál o cuáles son las más convenientes. P = 50 KN L = 6 m F = 240 N/mm2; F = 120 N/mm2 CS = 1,40 Secciones: Veamos el siguiente problema de aplicación Rectangular con relación: h = 2b Circular de Ø = D Secciones: IPE, IPN, UPN Problema 2

16. Planteamos las ecuaciones de equilibrio y obtenemos las reacciones RA y RB. Datos: P = 50 KN L = 6 m F = 240 N/mm2; F = 120 N/mm2 CS = 1,40  Veamos el siguiente problema de aplicación RA RB

17. Calculamos ahora, la tensión admisible: Trazamos los diagramas de características Barra solicitada por Corte y Flexión Normal 16,666… [KN] RA 33,333… [KN] RB

18. Calculemos el módulo resistente de la sección: …donde WX es el módulo resistente de la sección, Mmax es el momento de la sección más solicitada, JX es em momento de inercia correspondiente, Adm es la tensión admisible y dmax es la distancia de la fibra más alejada del baricentro de la sección: y a – Sección rectangular (con relación h = 2b) h G x b Dimensionemos las distintas secciones propuestas RA RB

19. b – Sección circular (con diámetro Ø = D) y Ø = D G x Dimensionemos las distintas secciones propuestas RA RB

20. Buscamos un valor de módulo resistente que sea c – Perfil IPE Veamos la Tabla del perfil Á Dimensionemos las distintas secciones propuestas RA RB P

21. Buscamos un valor de módulo resistente que sea d – Perfil IPN Veamos la Tabla del perfil Á P

22. Buscamos un valor de módulo resistente que sea e – Perfil UPN Veamos la Tabla del perfil Á P

23. A menor sección, siendo todas las barras del mismo material, menor será el peso de la estructura Tabulamos las secciones en orden creciente de las áreas de las secciones transversales

24. verifica verifica Verificamos las secciones al corte

25. verifica verifica Verificamos las secciones al corte verifica

26. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

27. Muchas Gracias