Clase N° 1 - Repaso de Sistemas de Alma Llena y Diagramas de Caracteristicas

1. RepasoSistemas de Alma Llena Diagramas de Características Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Introducción Esta Clase pretende transmitir criterios para poder encarar, posteriormente, la resolución de problemas más complejos, para lo cual iniciaremos con el repaso de algunos conceptos preliminares... Ecuaciones de equilibrio interno de la ESTÁTICA Sumatoria de fuerzas horizontales = 0 Sumatoria de fuerzas verticales = 0 Sumatoria de momentos respecto a un punto arbitrario (A) = 0 RELACIONES DIFERENCIALES (equilibrio en un elemento de barra) Veamos algunos Conceptos Preliminares

3. GLOBAL: para referir a ella la geometría de la estructura y determinar la resultante (R) y las reacciones de vínculo externas (RVE) Ternas GLOBALES y ternas LOCALES O LOCALES: para referir a ella los esfuerzos característicos (Q, N, M). Habrá una por cada barra del sistema y cumplirán con la siguiente convención. y z Adoptaremos, para nuestro curso, TERNA IZQUIERDA tanto GLOBAL como LOCALES Terna izquierda Terna derecha El gráfico del Diagrama de Momentos con TERNA IZQUIERDA (local) acompaña al gráfico de Deformaciones de la Estructura M+ M+ y O x Veamos algunos Conceptos Preliminares

4. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio Gd Gi Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a Veamos algunos Conceptos Preliminares

5. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Veamos algunos Conceptos Preliminares La gráfica de M; N; Q para cada sección de la estructura corresponde a los diagramas característicos de momento flexor, solicitación axil y corte respectivamente. Los esfuerzos característicos representan cómo se transmiten las solicitaciones exteriores y las reacciones de vínculo a través de la estructura.

6. Resolución del Sistema de alma Llena • Realizamos una sección (corte) transversal en 21 Apliquemos esto al nudo T • La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha

7. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA Rd Ri PARTE IZQUIERDA 21 Cara positiva de la sección: es la cara donde plantaremos el equilibrio de la parte derecha. • Realizamos una sección (corte) transversal en 21 Apliquemos esto al nudo T • La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha • La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd z y

8. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA Gd Rd Gi Ri d Ri PARTE IZQUIERDA 21 Apliquemos esto al nudo T • Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d M

9. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA Gd N Rd Gi Q Q N Ri d Ri 23 PARTE IZQUIERDA 21 24 Caras positivas de la sección: son las caras donde plantaremos el equilibrio de la parte derecha. M Apliquemos esto al nudo T • Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d M • Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a z z • Haciendo lo propio para la resultante derecha Rd resulta y y • Repetimos el procedimiento para los otros dos brazos de la T secciones23y24

10. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA Gd N N N Q Q Gi N N Q Q Q Q N 23 PARTE IZQUIERDA 21 24 Gi Gd Gi M M M M Gd Supongamos los siguientes valores M Apliquemos esto al nudo T • Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d M • Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a • Haciendo lo propio para la resultante derecha Rd resulta • Repetimos el procedimiento para los otros dos brazos de la T secciones23y24 • Remplazamos M, Q y N por sus valores

11. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA 50 KN Gd N 50 KN 20KN Gi N 50 KN Q 50 KN 20 KN 20 KN Q 20 KN 23 PARTE IZQUIERDA 21 25 KNm 25 KNm 24 Gi Caras positivas de la sección: son las caras donde plantaremos el equilibrio de la parte derecha. Gd Gi 75 KNm Gd Supongamos los siguientes valores 75 KNm Apliquemos esto al nudo T 50 KNm 50 KNm • Remplazamos M, Q y N por sus valores

12. Resolución del Sistema de alma Llena PARTE DERECHA 50 KN Gd 50 KN 20KN Gi 50 KN 50 KN 20 KN 20 KN 20 KN 23 PARTE IZQUIERDA 21 25 KNm 25 KNm 24 Gi Caras positivas de la sección: son las caras donde plantaremos el equilibrio de la parte derecha. Gd Gi 75 KNm Gd 75 KNm Apliquemos esto al nudo T 50 KNm 50 KNm • Planteamos el equilibrio en el nudo

13. Cargas distribuidas actuando sobre barras oblicuas En cuanto a su dirección, las cargas distribuidas actuado sobre barras oblicuas pueden ser verticales, horizontales o normales a la dirección de las piezas indicadas... pv …y para estas últimas, las cargas distribuidas pueden estar dadas por metro lineal de proyección (vertical u horizontal) (a), por metro lineal de desarrollo de la pieza (b) o bien normales a la misma (c). l B ph B B h s s p0 p A A A (a) (b) (c)

14. Cargas distribuidas actuando sobre barras oblicuas p p Consideremos una barra AB sobre la que actúa una carga de intensidad p, distribuida sobre la proyección horizontal de la barra. l l Llamemos p0 a la intensidad de la carga vertical equivalente, distribuida por unidad de longitud de la pieza, cuya longitud es s. La resultante de la primera será... B R R s B R’ p’ A p’’ …y además: R’’ s a a a p0 A Sea ahora la misma carga p distribuida sobre la proyección horizontal de la longitud de una barra AB, y nos interesa conocer la intensidad de la carga distribuida p' sobre la longitud s de aquélla, que actúa normalmente a la misma, y cuya resultante es la proyección normal a AB de la resultante R de la carga p.

15. Convención para el trazado de los diagramas En Momentos flexores Para piezas horizontales o inclinadas, el momento flexor estará dado en magnitud y signo, por el momento de la resultante de las fuerzas de la izquierda de la sección considerada, con respecto al baricentro de la misma, o de la derecha con signo contrario. Para las piezas verticales, se tomará el momento de la resultante de las fuerzas ubicadas por debajo de la sección considerada, o el de la resultante de las que quedan por encima, con signo contrario.

16. Convención para el trazado de los diagramas En Esfuerzos de corte Para piezas horizontales o inclinadas, se considerará en magnitud y signo, la componente paralela al plano de la sección considerada, de la resultante de las fuerzas a la izquierda de la misma. En caso de trabajar con las fuerzas de la derecha, se cambiará el signo. Para piezas verticales, se considerará la proyección sobre el plano de la sección considerada, de la resultante de las fuerzas ubicadas por debajo de aquélla, o la correspondiente a las que actúan por encima de la sección, pero con signo cambiado.

17. Convención para el trazado de los diagramas En Esfuerzos normales Tanto para piezas verticales, horizontales o inclinadas, el esfuerzo normal estará dado en magnitud por la proyección normal al plano de la sección, de la resultante de las fuerzas ubicadas a un lado de la misma. En este caso, es indistinto que se trabaje con las fuerzas de la izquierda o de la derecha, de abajo o de arriba, por cuanto el signo del esfuerzo normal resulta de si la componente axil de la resultante considerada comprime o tracciona la sección. En el caso de comprimirla el esfuerzo normal será negativo y en caso de traccionarla, positivo.

18. Convención para el trazado de los diagramas Representación de los distintos diagramas Finalmente, es necesario establecer una convención para la representación de los distintos diagramas. En lo que respecta a los diagramas de momentos flexores, convendremos en llevar las ordenadas positivas en el sentido en que actúan las fuerzas aplicadas en el tramo para el que se traza el diagrama, y las alternativas en sentido contrario. Para el diagrama de esfuerzos de corte, llevaremos las ordenadas con el mismo sentido que la componente de la resultante izquierda o de abajo, que da origen al esfuerzo de corte. En cuanto al diagrama de esfuerzos normales, es indistinto el sentido en que se dibujen los diagramas. No obstante, convendremos en representar hacia la derecha y hacia abajo, las ordenadas positivas.

19. Ejemplo 60 t 10 t.m 5 t/m Isoestaticidad: trabajamos con una única chapa (3 grados de libertad en el plano) la cual está sustentada con un vínculo de 2da especie en A y un vínculo de 1era especie en B. Tres restricciones en total. Sistema Isostático. 30° A B 2 m 4 m 4 m PZ PY VA VB HA Realizamos el (DCL) “Diagrama de Cuerpo Libre”. Calculamos las “Proyecciones de la Fuerza Concentrada” Calculamos las “Reacciones de Vínculo Externas” (RVE). Para el siguiente esquema equilibrado, se pide trazar los Diagramas de Características

20. Ejemplo 10 t.m 5 t/m Isoestaticidad: trabajamos con una única chapa (3 grados de libertad en el plano) la cual está sustentada con un vínculo de 2da especie en A y un vínculo de 1era especie en B. Tres restricciones en total. Sistema Isostático. 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 A B 2 m 4 m 4 m PZ PY VB 21,25 t 28,75 t VA B ≡ A ≡ 4 1 HA 52 t Realizamos el (DCL) “Diagrama de Cuerpo Libre”. Calculamos las “Proyecciones de la Fuerza Concentrada” Calculamos las “Reacciones de Vínculo Externas” (RVE). Para el siguiente esquema equilibrado, se pide trazar los Diagramas de Características Realizamos el (DCLE) “Diagrama de Cuerpo Libre Equilibrado”. Seleccionamos las “Secciones Claves” dónde calcularemos los esfuerzos característicos “ij” donde: i“sección”; j “del lado de…” La “Mecánica del trazado” consiste en reducir al baricentro de la sección que se analiza la Resultante Izquierda (RI) [da el signo de las características con terna izquierda] o la Derecha(RD) cambiada de signo.

21. Analizamos las secciones 10 t.m 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 12,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ PY 21,25 t 28,75 t 52 t

22. Analizamos las secciones 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 12,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 28,75 t 21,25 t Sección 21,las fuerzas actuantes son (las mismas que para la Sección 23): 52 t

23. Analizamos las secciones 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 12,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 21,25 t 28,75 t Sección 21,las fuerzas actuantes son (las mismas que para la Sección 23): 52 t Sección 32,las fuerzas actuantes son:

24. Analizamos las secciones 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 34,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 28,75 t 21,25 t 52 t

25. Analizamos las secciones 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 34,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 28,75 t 21,25 t 52 t Sección 43,las fuerzas actuantes son:

26. Analizamos las secciones 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 Sección 34,las fuerzas actuantes son: A B 2 m 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 21,25 t 28,75 t 52 t Sección 43,las fuerzas actuantes son: Sección 4,las fuerzas actuantes son:

27. Analizamos los tramos (Análisis Cualitativo de los Diagramas) 10 t.m 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 A B Entre 1 y 21 2 m 4 m 4 m PZ PY Preparamos la siguiente TABLA 21,25 t 28,75 t 52 t Entre 23 y 32 Entre 34 y 4

28. Trazamos los diagramas 5 t/m 12 32 34 43 23 21 1 2 4 3 A B 2 m - - + + 4 m 4 m PZ 10 t.m PY 28,75 t 21,25 t N [t] 52 t 52 t Q [t] 21,25 t 1,25 t 28,75 t M [t.m] 10 t.m 45 t.m 47,5 t.m

29. Tomemos los diagramas de Q y M Trazamos la tangente por el punto P1 P1 P2 T Para ello llevamos: S Definimos el punto S: - + + Trazamos la tangente uniendo P1 conS: Hacemos lo propio con el punto P2. Defino el punto 1. En los punto medios de los segmentos P1 - 1 yP2 - 1 defino los puntos 2 y 3. Trazo el segmento 2 - 3 ydefino el punto 4 en su punto medio. 10 t.m Q [t] Los puntos P1; 4 yP2 son puntos de tangencia de la curva de momento. 21,25 t 1,25 t 45 t.m 4 2 3 1 47,5 t.m y 21,25 unidades (Qy) en escala de momentos 28,75 t 1 unidad en escala de longitudes y 1,25 unidades (Qy) en escala de momentos 1 unidad en escala de longitudes Veamos ahora la forma de trazar la cuadrática del Diagrama de Momentos Flexores (1) M [t.m] 417/418)

30. Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess

31. Muchas Gracias