ecuaci n general del c rculo l.
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Ecuación general del círculo. Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3) . 5. 3. 4.

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ecuaci n general del c rculo
Ecuación general del círculo
  • Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3).

5

3

4

Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

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Que se escribe como

De donde,

Esta ecuación representa un círculo

La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es:

r

b

C

a

slide3

Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior

x2-2xa+a2+y2-2yb+b2

=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2

notamos que a2+b2=r2

Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Esta es la forma general de la ecuación del círculo.

slide4

Problema individual: Encontrar el centro y radio

del círculo cuya ecuación es

4x2+4y2-12x+40y+77=0

4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77

(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4

(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25

(x-3/2)2+(y+5)2= 8

Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es8=22

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Ejercicio en equipo

Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.

Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos

1+25+D+5E+F=0

4+9-2D+3E+F=0

4+1+2D-E+F=0

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Es decir, D+5E+F=-26 -2D+3E+F=-13 2D-E+F=-5Resolviendo el sistema tenemos,D=-9/5, E=19/5, F=-26/5Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x2+5y2-9x-19y-26=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.

soluci n alterna
Solución alterna

Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos.

(1,5)

(-2,3)

(2,-1)

Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.

entonces la ecuaci n de la mediatriz es y 4 3 2 x 1 2 de donde 6x 4y 13 1
Entonces la ecuación de la mediatriz es y-4=-3/2(x+1/2) de donde 6x+4y=13 (1)

Repetimos lo anterior con la cuerda de (1,5) a (2,-1)m=6 y la ecuación de la mediatriz es, y-2=1/6(x-3/2), es decir 2x-12y=-21 (2)

El centro se encuentra donde se cruzan (1) y (2), es decir (9/10, 9/10)

El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos, por ejemplo (1,5). r=962/100

La ecuación de la circunferencia que buscamos es:

(x-9/10)2+(y-19/10)2=962/100

o bien 5x2+5y2-9x-19y-26=0

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Diseño de un engrane. El siguiente ejercicio se realizará en equipo. Ver archivo (Ejercicio engrane.doc)

ejercicio en equipo
Ejercicio en equipo
  • Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).

Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.

soluci n
Solución:
  • Primero debemos encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es m=3/4.
  • De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es

y-6=-4/3(x-(-5)), o bien4x+3y+2=0

12

6

3

-5

ejercicio en equipo12
Ejercicio en equipo
  • Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
  • Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar en la recta l que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
  • Por tanto las coordenadas de C satisfacen

2xo+yo-21=0 (1)

  • Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a la distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que
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Elevando al cuadrado y simplificando tenemos xo+yo-17=0 (2)

  • Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) encontramos las coordenadas del centro C(4,13) y el radio r=80
  • Así la ecuación de la circunferencia es (x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0

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Sea P un punto de un círculo

y l la recta tangente al círculo que pasa por P.

  • Vamos ahora a discutir otra propiedad de la recta tangente que nos servirá también para definir las rectas tangentes a las otras cónicas.
  • Observamos en la figura que todos los puntos de l distintos de P están en una sola de las dos regiones determinadas por el círculo, esto es, en la región de afuera, ya que si Q es otro punto de l, d(C,Q)>d(C,P)

puesto que en el triángulo rectángulo CPQ, el segmento CP es un cateto y el segmento CQ es la hipotenusa.

P

C

l

Q

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Además, una recta l es tangente a una cónica en un punto P de ella, si corta a la cónica únicamente en P y todos los demás puntos de l están en una sola de las regiones determinadas por la cónica. 
  • Una recta es normal a una cónica en un punto P si es perpendicular a la recta tangente a la cónica que pasa por ese punto.