군론 ( Group theory)

군론 (Group theory) • 군의 예 • 군의 정의 • 군의 응용 • 유한 단순군의 분류 http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html

군의 예 • 대칭군 • Fp={ 0, 1, 2, …, p-1}http://mathworld.wolfram.com/CyclicGroup.html • 치환군 {1,2,…,n}에서자신으로 가는 1대1사상의모음 • 가우스, 갈로와가 시작했다고 생각할수 있다.

이등변 삼각형 대칭군 • I, r • I*r = r, r*r = 1

삼각형의 대칭군(Symmetry) X X • I 항등변환 • V 120도 회전 • W 240도 회전 • {I, X, Y, Z, V, W}는 삼각형의 모든 대칭이다. Y Z

연산표

군(group)의 정의 • X 집합, *:X x X  X 연산 • G1: 모든 원소 x,y,z에 대해서 (x*y)*z = x*(y*z) • G2: 원소 e가 존재해서 x*e = x = e*x • G3: 각원소 x에 대해서 y가 존재해서 x*y = y*x = e

군의 종류 • 가환군 (Abelian group): 항상 a*b = b*a • 유한군: 원소가 유한개 • 무한군: 원소가 무한개 • Homomorphism: 연산을 보존하는 사상f(a*b) = f(a)* f(b) • Isomorphism: 전단사인 homomorphism

대칭군을 만드는 방법 • (1) 모든 대칭을 찾는다. • (2) 대칭들의 모든 곱을 구한다.

20면체 군 힌트: 대칭은 어떤 선을 중심으로 한다. 오른쪽에서 각 삼각면에 중심에서 반대면의 중심으로 가는 선에 대한 120도 240도 회전은 대칭이다. 이것이 20개 이고 30개의 선분에 대한 대칭이 15개이고 12개의 꼭지점에대한 대칭이 24개이다. 따라서 총 60개의 대칭이 있다. http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGroup.html

20면체군의 연산표를 색갈로 표시

치환군 (삼원소) • {a, b, c} 자신으로 가는 1 대1 대응들 (6개)

연산표

Isomorphism 동형사상 • p  I, q  x, r  z, s v, t  w, u  y는 삼원소 치환군  삼각형군으로의 isomorphism • F6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 순환군이라고 하자. • 3원소 치환군과 F6 는 동형이아니다. • f(0) = I, f(1)=w, f(2)= v, f(3)= x, f(4)=y, f(5)=z라 하면 f(1+2)= f(3)= x, f(1)*f(2) = wv = I즉 f는 동형사상이 아니다. • 알려면 6! = 720개를 다해봐야 한다. 그러나 3원소 치환군은 가환이 아니다.

군의 추상화 • 일단 군이 만들어지면 군은 원소와 연산으로만 기역되는 것을 추상군이라고 한다. • 추상군은 동형인 군들을 모아 놓은 것으로 이해할수 있다.

부분군 • 연산에 대해서 닫힌 부분집합 • {I, v, w, x, y, z} • H={x, y, z}, xy = v 즉 닫혀 있지않다. H는 부붑군이 아니다. • 부분군들 {I, w, v}, {I, x}, {I, y}, {I, z}, {I}뿐이다.

무한군 • 무한군은 군의 원소가 무한히 많은 군이다.

군의 더많은 예 • http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html • http://mathworld.wolfram.com/GeneralLinearGroup.html • http://mathworld.wolfram.com/SpecialLinearGroup.html • Chevalley 군 http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html

단순군 • 군은 많은 경우 축소 될 수 있다. F: G  H 전사인 연산을 보존하는 사상이 있다. • 이러한 H가 G또는 원소가 1개인 trivial군이 밖에 없는 경우 H를 단순군이라한다. • Icosaheral 군은 단순군이고 60개의 원소를 가지고 있다. A5과 동치이다.

단순군의 예 • Zp • 정수를 원소로 가지는 행렬식이 1인 2x2 행렬PSL(n, Z) • 여기에서 정수 Z를 Zp로 바꾸면 PSL(n, q) = PSL(n, Zp ) • 다른 고전군류 • An : n 은 5와 같거나 이상이고 sign을 보존하는 치환들이 만드는 치환군의 부분군이다.

단순군의 분류 http://mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html • 1. Cyclic groups of primegroup order, • 2. Alternating groups of degree at least five, • 3. Lie-typeChevalley groups, • 4. Lie-typetwisted Chevalley groups or the Tits group, and • 5. The sporadic groups (Monster group).http://mathworld.wolfram.com/SporadicGroup.html • http://www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf http://www.ams.org/online_bks/surv40-1/

토의 사항 • 단순군의 분류에는 많은 수학자들이 많은 시간과 노력을 들인 20세기 수학의 걸작 물이다. 이러한 노력의 필요했던 것일까? • 이외에도 Cartan 등은 연속적인 리군의 분류를 했다. 결과적으로 이론물리학의 소립자는 리군의 분류로 이해할수 있었다.

군론 ( Group theory)