Example 5.1 The Battery Life Experiment Text reference pg. 167

Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Example 5.1 The Battery Life ExperimentText reference pg. 167 • A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable) • What effects do material type & temperature have on life? • 2. Is there a choice of material that would give long life regardless of temperature (a robust product)? Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Statistical (effects) model: Other models (means model, regression models) can be useful Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Design-Expert Output – Example 5.1 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Residual Analysis – Example 5.1 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Interação significante é indicada pela falta de paralelismo entre as linhas. Em geral, maior vida é alcançada pela temperatura mais baixa, sem olhar o tipo de material. Na variação da temperatura mais baixa para a temperatura intermediária, o tempo de vida do material 3 parece crescer, enquanto ele decresce para os outros materiais. Da temperatura intermediária para a alta, o tempo de vida decresce para os materiais 2 e 3 e permanece inalterado para o material 1. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comparações múltiplas • Quando a ANOVA indica que os efeitos de linha ou coluna ou de interação estão presentes, é de interesse fazer comparações entre as médias de linhas ou colunas ou de interações. • Os métodos de comparações múltiplas foram apresentados no Capítulo 3. • Ilustraremos aqui o uso do teste de Tukey sobre a vida da bateria. • Observe que nesse experimento a interação é significante. • Quando a interação é significante , comparações entre as médias de um fator A podem ser obscurecidas pela interação AB. • Uma abordagem para essa situação é fixar o fator B em um nível específico e aplicar o teste de Tukey para as médias do fator A nesse nível. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comparações múltiplas Suponha que no exemplo trabalhado, estejamos interessados em detectar diferenças entre as médias dos três tipos de material. Como a interação entre material e temperatura é significante, fazemos essa comparação em um dos níveis de temperatura, por exemplo 70ºF. Suponha que a melhor estimativa da variância é dada por MSE da tabela ANOVA, usando a suposição de que a variância do erro experimental é a mesma sobre todas as combinações de tratamento. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias: revendo... • Valores da distribuição da estatística q foram tabulados • Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita • a hipótese nula se Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11 O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comparações múltiplas • Se há interação significativa, o experimentador poderia comparar todas as ab médias das celas para determinar qual delas diferem significativamente. • Nessa análise, diferenças entre as médias das celas incluem efeitos de interação bem como efeitos principais. • No exemplo em análise isso daria 36 comparações entre todos os pares possíveis das 9 celas. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Estimação dos parâmetros Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Valores ajustados: Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

A suposição de ausência de interação • Suponha que o experimentador “sinta” que o modelo a dois fatores sem interação é apropriado, É importante verificar com cuidado essa hipótese. Mas, se esse for o caso, a análise do modelo sem interação é imediata. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo da Bateria Como foi observado anteriormente, ambos os efeitos principais são significantes. Porém, fazendo a análise de resíduos desse modelo, torna-se claro que a hipótese de ausência de interação é inadequada. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo da bateria Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Uma observação por cela • Algumas vezes, deparamo-nos com um experimento a dois fatores com apenas uma observação por combinação dos níveis dos fatores. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para verificação da presença de interação • O procedimento de teste supõe que o termo de interação é de uma forma particular, a saber, com  uma constante desconhecida. Estatística de teste: Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Teste de Tukey para verificação da presença de interação a hipótese de nenhuma interação deve ser rejeitada. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

5.4 O experimento fatorial geral • Os resultados para o experimento a 2 fatores podem ser estendidos para o caso a k>2 fatores. • É necessário ter n2 replicações por cela para avaliar interações. • Se todos os fatores do experimento são fixos, é fácil formular e testar hipóteses sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA. • Para um modelo de efeitos fixos, testes estatísticos para cada efeito principal e de interação podem ser construídos dividindo-se os correspondentes quadrados médios para o efeito pelo quadrado médio do erro. • Todos esses testes F (valendo a suposição de normalidade, independência e variância constante) são unilaterais. • O número de graus de liberdade de qualquer efeito principal será o número de níveis do fator menos 1 e o número de graus de liberdade do efeito de interação será o produto dos números de gruas de liberdade dos fatores envolvidos na interação. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Modelo Fatorial a 3 fatores Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Supondo que A, B e C são fixos, a tabela ANOVA é dada por Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Factorials with More Than Two Factors • Basic procedure is similar to the two-factor case; all abc…kn treatment combinations are run in random order • ANOVA identity is also similar: • Complete three-factor example in text, Example 5.5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Exemplo: exercício 16 A porcentagem da concentração de madeira-de-lei na polpa bruta, a pressão do tonel, e o temo de cozimento foram investigados sobre seus efeitos na resistência do papel. Três níveis de concentração, três níveis de pressão e dois tempos de Cozimento foram selecionados. Um experimento com duas replicações foi conduzido e os dados obtidos estão no arquivo madeira.txt. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Comandos no R para ajustar o modelo completo y=read.table("e:\\dox\\madeira.txt",header=T) x1=as.factor(y$madeira) x2=as.factor(y$pressao) x3=as.factor(y$tempo) modeloC=y$resistencia~x1+x2+x3+x1:x2+x2:x3+x1:x3+x1:x2:x3 fitC=aov(modeloC) summary(fitC) Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Conclusões • Pela tabela ANOVA as hipóteses de ausência de efeitos principais (madeira, pressão e tempo) são rejeitadas e também a hipótese de ausência de efeito de interação entre madeira e pressão. Os demais efeitos de interação não são significativos a 5%. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Avaliação do Modelo Esse gráfico indica desvio da suposição de normalidade dos dados. Uma solução é trabalhar com transformações. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

Prepare appropriate residual plots and comment on the model’s adequacy. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery There is nothing unusual about the residual plots.

Para uma maior resistência, realize o processo com porcentagem de concentração de madeira em 2, pressão em 650, e tempo em 4 h. A ANOVA padrão trata todos os fatores do experimento como se fossem qualitativos. Nesse caso, todos os três fatores são quantitativos, dessa forma análises adicionais podem ser feitas. Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery For the highest strength, run the process with the percentage of hardwood at 2, the pressure at 650, and the time at 4 hours. The standard analysis of variance treats all design factors as if they were qualitative. In this case, all three factors are quantitative, so some further analysis can be performed.

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