1 / 44

Konsep peluang

from Mrs. Astuti

feefyas
Download Presentation

Konsep peluang

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MK. Statistika Kehutanan (02) KONSEP DASAR PROBABILITAS

  2. A. PENDAHULUAN • Bilangan Faktorial Bila n bilangan bulat, maka bilangan faktorial ditulis sebagai n! dan didefenisikan sebagai: n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1 0! = 1 1! = 1

  3. A. PENDAHULUAN • Permutasi (P) Susunan-susunan yg dibentuk dr anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi artipada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. nPr =n ! (n-r)!

  4. Contoh: Suatu himpunan beranggotakan a, b, dan c. Bila diambil satu, berapa banyak susunan yang dapat diperoleh? Jawab: 3P1 =3 ! = 3! = 3 susunan (3-1)! 2!

  5. PENDAHULUAN • Kombinasi (C) Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan tanpa memberi artipada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. nCr = =

  6. Contoh: Ada 4 orang bernama A, B, C, dan D? bila dipilih dua orang. Ada berapa banyak pilihan yang diperoleh? Jawab: 4C2 = 4 = 4! = 6 pilihan 2 2! 2! ( AB, AC, AD, BC, BD, CD )

  7. B. KONSEP DASAR PELUANG • Perumusan Klasik Jika kejadian E terjadi dalam n caradari seluruh N carayang mungkin terjadi, dan masing-masing cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang samauntuk muncul, maka: P(E) =n N

  8. Contoh: Hitunglah peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge lengkap? Jawab: Jumlah seluruh kartu = N = 52 Jumlah kartu hati = n = 13 Misalkan E = kejadian munculnya kartu hati. Semua kartu kartu hati memiliki kemungkinan yg sama untuk muncul, maka: P(E) = n/N = 13/52

  9. B. KONSEP DASAR PELUANG • Perumusan dengan Frekuensi Relatif Jika kejadian E terjadi sebanyak fkalidari keseluruhan pengamatan sebanyak n, di mana n mendekati tak terhingga (n  ∞), maka probablitias kejadian E dirumuskan: P(E) = lim f n∞ n

  10. Contoh: Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian statistik, distribusi frekuensi nilai mahasiswa: Berapa peluang mahasiswa memperoleh nilai 85? Jawab: P(E) = P(X=85) = 15/100 = 0,15

  11. C. RUANG SAMPEL & KEJADIAN • Ruang Sampel Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik, dilambangkan himpunan S. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Anggota-anggota dari himpunan S disebut titik sampel.

  12. C. RUANG SAMPEL & KEJADIAN • Kejadian/Peristiwa/Event Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik, dilambangkan himpunan A. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = { 2 } A  S Anggota-anggota dari himpunan A disebut titik sampel.

  13. C. RUANG SAMPEL & KEJADIAN • Hubungan Kejadian A dengan Ruang Sampel S S A A  S Teori Himpunan Konsep Peluang Ruang sampel S Himpunan semesta S Kejadian A Himpunan bagian A Titik sampel Anggota himpunan

  14. C. RUANG SAMPEL & KEJADIAN • Peluang Kejadian A Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka: P(E) = =

  15. Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, berapakan peluang kejadian A yang menyatakan munculnya muka dadu genap pada S? Jawab: Anggota kejadian A = {2,4,6}, sehingga peluang kejadian A adalah: P(A) = 3/6 = 0,5

  16. D. SIFAT-SIFAT PELUANG KEJADIAN A • Sifat 1 0 < P(A) < 1 A merupakan himpunan bagian dari S, yaitu A  S, maka banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S, yaitu n(A) ≤ n(S), sehingga: 0 < n(A) < 1 atau 0 < P(A) < 1 n(S)

  17. D. SIFAT-SIFAT PELUANG KEJADIAN A • Sifat 2 Dalam hal A = , himpunan kosong, artinya A tidak terjadi pada S, maka n(A) = 0, sehingga: P(A) = n(A) = 0 = 0 n(S) n P(A) = 0, dikatakan kejadian yang mustahil terjadi.

  18. D. SIFAT-SIFAT PELUANG KEJADIAN A • Sifat 3 Dalam hal A = S, maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota S, maka n(A) = n(S) = n, sehingga: P(A) = n(A) = n = 1 n(S) n P(A) = 1, dikatakan kejadian yang pasti terjadi.

  19. D. SIFAT-SIFAT PELUANG KEJADIAN A Bila sifat 1, 2 dan 3 digabungkan maka akan diperoleh sifat: 0 ≤ P(A) ≤ 1

  20. E. PERUMUSAN PELUANG KEJADIAN MAJEMUK AUB DAN A∩B Dalam teori himpunan, bila A dan B dua himpunan dalam himpunan semesta S, maka: • Gabungan/union dari A dan B • AUB adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri atas anggota A atau B atau anggota keduanya. S A B AUB = {xϵS│xϵA atau xϵB}

  21. E. PERUMUSAN PELUANG KEJADIAN MAJEMUK AUB DAN A∩B (2) Irisan dari A dan B A∩B adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri atas anggota A yang juga anggota B. S A B o o I A∩B = {xϵS│xϵA dan xϵB}

  22. E. PERUMUSAN PELUANG KEJADIAN MAJEMUK AUB DAN A∩B Banyaknya anggota himpunan AUB adalah: S A B A o o I v n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

  23. E. PERUMUSAN PELUANG KEJADIAN MAJEMUK AUB DAN A∩B Bila A dan B adalah kejadian pada ruang sampel S, maka gabungan kejadian A dan B (AUB) adalah himpunan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya; kejadianA∩B adalah kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B. Peluang kejadian AUB dirumuskan: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

  24. F. DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S dan berlaku (A∩B) = , maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling bertentangan atau saling terpisah (mutually exclusive). S A B P(AUB) = P(A) + P(B)

  25. Contoh: Pada pelemparan dua dadu, tentukanlah peluang munculnya muka dua dadu dgn jumlah 7 dan 11? Jawab: A = kejadian munculnya jumlah 7 = { (6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6) } B = kejadian munculnya jumlah 11 = { (6,5), (5,6) } A ∩ B = Ø Jadi : P(A U B) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36

  26. G. DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER Kejadian A’ adalah kumpulan titik sampel yang merupakan titik sampel S tetapi bukan merupakan titik sampel A. A dan A’ adalah dua kejadian yang saling lepas karena A∩A’ = Ø. Bila kejadian A dan A’ dalam S saling komplementer, maka peluangnya: S A’ A P(A’) = 1 - P(A)

  27. Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah peluang munculnya muka dua dadu yang tidak sama? Jawab: A = kejadian munculnya muka dadu sama = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } P(A) = 6/36 = 1/6 maka: P(A’) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 = 5/6

  28. H. DUA KEJADIAN SALING BEBAS/ INDEPENDENT Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya. P(A∩B) = P(A) . P(B)

  29. Contoh: Pada pelemparan dua uang logam atau coin, apakah kejadian munculnya muka dari coin pertama dan coin kedua saling bebas? Jawab: S = { (m,m), (m,b), (b,m), (b,b) } A = kejadian muncul muka m dari coin 1 = { m } P(A) = 1/2 B = kejadian muncul muka m dari coin 2 = { m } P(B) = 1/2

  30. A ∩ B = { (m,m) } P(A∩B) = ¼ Namun, juga berlaku: P(A∩B) = 1/4 = ½ . ½ = P(A) . P(B) Jadi: Kejadian A dan B pada pelemparan dua coin merupakan kejadian saling bebas / independent

  31. I. PELUANG BERSYARAT Suatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B, ditulis A/B P(A/B) = P(A ∩ B), P(B) > 0 P(B)

  32. Contoh: Pada pelemparan satu dadu; B adalah kejadian munculnya bilangan kuadrat murni, dan diketahui peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan bilangan genap = 2/9. Bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, tentukan P(B/A)? Jawab: S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } P(ganjil) = 1/9 P(genap) = 2/9 B = { 1 , 4 }

  33. A= { 4, 5, 6 } P(A) = 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9 A ∩ B = { 4 } P(A ∩ B) = 2/9 Jadi: P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A) = 2/9 5/9 = 2/5

  34. J. PELUANG KEJADIAN MARGINAL & HUKUM BAYES Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. S B A3 A1 A2

  35. Kejadian B dapat dinyatakan sebagai: B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U (B ∩ A3) Akan tetapi, kejadian (B ∩ A1), (B ∩ A2), dan (B ∩ A3) adalah saling lepas, sehingga peluang kejadian B menjadi: P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P(B ∩ A3) Sedangkan: P(B ∩ A1) = P(B/A1).P(A1) P(B ∩ A2) = P(B/A2).P(A2) P(B ∩ A3) = P(B/A3).P(A3)

  36. Sehingga peluang marginal kejadian B menjadi: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) + P(B/A3).P(A3) = Σ P(B/Ai). P(Ai) Adapun peluang kejadian bersyarat A1/B, A2/B dan A3/B yaitu: P(A1/B) = P(B ∩ A1) / P(B) P(A2/B) = P(B ∩ A2) / P(B) P(A3/B) = P(B ∩ A3) / P(B)

  37. Secara umum, bila A1, A2, ……, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka peluang kejadian bersyarat Ai/B dirumuskan: P(Ai/B) = P(B ∩ Ai) / P(B) = P(B/Ai) . P(Ai) P(B)

  38. Contoh: Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup anda diminta mengambil 1 kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak 1, kotak 2 dan kotak 3?

  39. Misakan: A1 = kejadian terambilnya kotak 1 A2 = kejadian termabilnya bola 2 A3 = kejadian terambilnya bola 3 B = kejadian terambilnya bola merah Tanya : P(A1/B), P(A2/B) dan P(A3/B)? Jawab: Pengambilan secara acak: P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 P(B/A1) = 2/2 P(B/A2) = 1/2 P(B/A3) = 0/2

  40. Peluang terambilnya bola merah: P(B) = P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) + P(B/A3).P(A3) = 1. 1/3 + ½. 1/3 + 0. 1/3 = 1/2 Jadi: Peluang bola merah terambil dari kotak 1, 2 dan 3 adalah: P(A1/B) = P(B ∩ A1) = P(B/A1).P(A1) = (1. 1/3) = 2/3 P(B) P(B) ½ P(A2/B) = P(B ∩ A2)= P(B/A2).P(A2)= (½.1/3) = 1/3 P(B) P(B) ½ P(A3/B) = P(B ∩ A3)= P(B/A3).P(A3)= (0. 1/3) = 0 P(B) P(B) ½

  41. T U G A S - 1 • Individu 1. Membuat soal-soal latihan dan penyelesaiannya untuk setiap item pokok bahasan  Kertas A4 / kuarto (bisa ditulis tangan tapi harus rapi)

  42. Terima kasih “Tugas kita bukanlah melihat yang samar-samar di kejauhan, tetapi mengerjakan yang sudah ada di depan mata” Thomas Carlyle

More Related