Vodikov atom

1. Vodikov atom • Napisati klasičnu energiju vodikova atoma Kinetičke energije elektrona i protona Coulombska energija Međusobna udaljenost elektrona i protona Impuls elektrona Položaj elektrona Položaj protona Impuls protona Šest koordinata i šest odgovarajućih impulsa!

2. Pretvoriti energiju u operator (Hamiltonijan): Laplaceov operator Dakle: • napisati Schrödingerovu jednađbu Valna funkcija Y ovisi o 6 varijablu: YY(xe,ye,ze,xp,yp,zp) • Rješiti Schrödingerovu jednađbu (najteži korak!)

3. Separacija translacije i internog gibanja Nove varijable: Položaj centra masa relativni položaj elektrona i protona U novim koordinatama Schrödingerova jednađba se separira: djeluje na r djeluje na R M=me+mp masa vodikova atoma reducirana masa Separacija gibanja:Y(R,r)=Θ(R)F(r), E=ET+Ee

4. gibanje slobodne čestice maseM kinetička energija vodikova atoma unutrašnja energija gibanje čestice mase m u Coulombskom potencijalu Schrödingerova jednađba je sada puno jednostavnija (valna funkcija F ovisi samo o 3 varijable)!

5. Separacija radijalnog i kružnog gibanja Prelazak na polarne koordinate: (x,y,z)  (r,,) z 0  r   z 0      r 0    2 y  x

6. U polarnim koordinatama dolazi do separacije varijabli YYnlm=Rnl(r)Ylm(,) Radijalne funkcije Kugline funkcije Kvantni brojevi: n=1,2,3,… glavni kvantni broj l=0,1,2,…,n-1 azimutalni kvantni broj m=0,1,2,…,l magnetski kvantni broj Uz gornja tri kvantna broja postoji i spinski kvantni broj koji ima samo dvije moguće vrijednosti!

7. Značenje valnih funkcija HYnlm=EnYnlm Te iste energije je dobio Bohr! • Energija stanja Ynlm je: Ne ovisi o kvantnim brojevima l i o m! (degeneracija!)

8. Operator z-komponente angularnog momenta • Projekcija angularnog momenta na os z je mħ ! Operator kvadrata angularnog momenta • Kvadrat angularnog momenta je l(l+1)ħ !

9. Energetski nivoi vodikovog atoma 0 3s 3p 3p 3p 3d 3d 3d 3d 3d n= 3 E3=E1/9 m=0 m= -1 m=0 m=1 l=1 m= -2 m= -1 m=0 m=1 m=2 l=2 l=0 2s 2p 2p 2p E2=E1/4 n= 2 m= -1 m=0 m=1 l=1 l=0 m=0 n=1,2,3,… glavni kvantni broj l=0,1,2,…,n-1 azimutalni kvantni broj m=0,1,2,…,l magnetski kvantni broj 1s E1=-13.6eV n= 1 l=0 m=0

10. Atomske orbitale(kod vodika je Z=1) Ynlm(r, ,)=Rnl(r)Ylm(,) Radijalne valne funkcije (radijalna raspodjela) Kugline funkcije (kutna raspodjela) a0 - Bohrov radius atoma

11. Radijalne funkcije(pridružene Laguerreove funkcije) Rnl(r) n l 0(1s) 1 0(2s) 2 1(2p) 0(3s) 3 1(3p) normiranje 2(3d)

12. Radijalne valne funkcije 1s 3s 3p r r r 3d 2s 2p r r r

13. Radijalna raspodjela vjerojatnosti P(r)=r2R2 Gustoća vjerojatnosti nalaženja čestice na udaljenosti r od centra! Bohrov radius 1s r2(1s)2 r r

14. Radijalne gustoće vjerojatnosti za H atom (u mjerilu) (za ostale atome treba podjeliti sa efektivnim nabojem Zeff) 1s 2s 2p r r r 3s 3p 3d r r r

15. Kugline funkcije (normirane) Ylm simbol l m 0 0 s 0 p 1 ±1 0 ±1 d 2 ±2

16. Kugline funkcije Prostorni prikaz s z l=0 s-orbitale  y x m=0 z pz z py z px  l=1 p-orbitale    y y y   x x x m= ± 1 m=0

17. d – orbitale (l =2) z z      y y x  x m= ± 2 m=0 z z z          y y y x    x  x m= ± 1 m= ± 2 m= ± 1

18. s – orbitale (l =0) z z z y y y x x x 1s 2s 3s

19. Pitanja Vodikov atom