การให้เหตุผล

1. Chapter 2 การให้เหตุผล การให้เหตุผลแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ตรวจสอบความสมเหตุสมผล

2. Chapter 2 การให้เหตุผล (Reasoning) • Section1: Inductive Reasoning • Section2: Deductive Reasoning • Section3: Venn-Euler Diagram • Section4: Exercises

3. Section1 Inductive Reasoning (การให้เหตุผลแบบอุปนัย) • การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการให้เหตุผล โดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม เช่น เราสังเกตเห็นว่า ทุกๆเช้าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก เราจึงสรุปว่า “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก” • ในวิชาคณิตศาสตร์ ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อช่วยสรุปคำตอบหรือช่วยในการแก้ปัญหา เช่น สังเกตรูปแบบของจำนวน 2,4,6,8,10 เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีกสามจำนวน โดยใช้ข้อสังเกตจากแบบรูปจำนวน 2 ถึง 10 ว่ามีค่าเพิ่มทีละ 2 ดังนั้น จำนวนที่ถัดจาก 10 ไปอีกสามจำนวนคือ 12,14,16 ซึ่ง การหาจำนวนนับอีกสามจำนวนที่ได้มาจากการสังเกตที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัยInductive Reasoning

4. Section1 Inductive Reasoning (การให้เหตุผลแบบอุปนัย) • การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป • Inductive Reasoning is the process of making a generalization based on a limited number of observations or examples.

5. Section1 Example Fill in each blank. (a) (b) (c) (d) (e) 8 16 30 (b) (a) (c) (d) (e)

6. Section1 Example Fill in each blank and cheek the answer. 9 x 9 = 81 99 x 9 = 891 999 x 9 = 8,991 _______ = _______ _______ = _______ 1 = ( )2 1 + 3 = ( )2 1 + 3 +5 = ( )2 _______ = _______ _______ = _______

7. Section1 Example Fill in each blank and consider the multiple. The multiple of odd number and odd number is that odd number too. By Inductive Reasoning

8. Section 2 Deductive Reasoning (การให้เหตุผลแบบนิรนัย) การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เช่น • ถ้า 1) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว • และ 2) 10 หาร ด้วย 2 ลงตัว • แล้ว 3) 10 เป็นจำนวนคู่ เรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 1) และ 2) ว่า “เหตุ” หรือ “สมมติฐาน” และเรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 3) ว่า “ผล” เรียกวิธีการสรุปข้อเท็จจริงซึ่งเป็นผลมาจาก เหตุซึ่งเป็นความรู้พื้นฐานว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning )

9. Section 2 Example Ex1. เหตุ1) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ 2) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ มีด้านแต่ละด้านยาวเท่ากัน และไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ผล รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Ex2. เหตุ1) คนที่ไม่มีหนี้สินและมีเงินฝากธนาคารมากกว่า 10 ล้าน เป็นเศรษฐี 2) คุณมานะ ไม่มีหนี้สินและมีเงินฝากธนาคาร 11 ล้าน ผล คุณมานะ เป็นเศรษฐี Ex3. เหตุ1) To day is Tuesday 2) Yesterday is Monday ผลTomorrow is Wednesday

10. Section 2 Consider. Ex4.เหตุ1) เรือทุกลำลอยน้ำได้ 2) ถังน้ำพลาสติกลอยน้ำได้ ผล ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ การสรุปผลข้างต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่า เรือทุกลำลอยน้ำได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปในตัวอย่างข้างต้นจึงเป็นการสรุปที่ ไม่สมเหตุสมผล สรุปว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผล หรือ ข้อสรุปจะถูกต้อง ก็ต่อเมื่อ 1) ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ 2) การสรุปผลสมเหตุสมผล

11. Section 2 Example Write each of the following statement in if-then form. All students want the option to earn extra credit. All rectangles have four sides. Answer. If you are student, then you want the option to earn extra credit. If a figure is a rectangle, then it has four sides.

12. Section 3 Venn-Euler Diagram(แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์) การตรวจสอบว่าข้อสรุป สมเหตุสมผลหรือไม่นั้น สามารถตรวจสอบได้หลายวิธี แล้วแต่ลักษณะของข้อความที่กำหนดมาให้ วิธีหนึ่งคือการวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จึงกล่าวได้ว่าการสรุปผล สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปผลนั้นจะไม่สมเหตุสมผล และวิธีการที่ใช้การตรวจสอบการสมเหตุสมผลที่กล่าวมา เรียกว่า “การอ้างเหตุผลโดยใช้ตรรกบทของตรรกศาสตร์ (syllogistic logic)”

13. Section 3 ตัวอย่างของข้อความและแผนภาพที่แสดงความหมายของข้อความที่ใช้ในการ อ้างเหตุผลที่ใช้ในการอ้างเหตุผลส่วนใหญ่ ได้แก่ B A A B

14. Section 3 นอกจากนี้ยังมีข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผล อีกสองแบบคือ A a B B B หรือ a a A A การใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อสรุป จะต้อง วาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าทุกกรณีแสดงผลสรุปตามที่ กำหนด จึงกล่าวว่า ข้อสรุปนั้นสมเหตุสมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่แผนภาพไม่สอดคล้องกับ ผลสรุปแล้ว ผลสรุปดังกล่าวจะไม่สมเหตุสมผล

15. Section 3 Example เหตุ1) ผู้อำนวยการโรงเรียนทุกคนเป็นคนรวย 2) นายจักรกฤษ เป็นผู้อำนวยการโรงเรียน ผล นายจักรกฤษ เป็นคนรวย คนรวย • ผอ.โรงเรียน • นายจักรกฤษ จากแผนภาพ ผลสรุปที่กล่าวมาว่า นายนายจักรกฤษ เป็นคนรวย สมเหตุสมผล

16. Section 3 Example เหตุ1) นักกีฬาทุกคนเป็นคนที่มีสุขภาพดี 2) นายนรินทร์ เป็นคนที่มีสุขภาพดี ผล นายนรินทร์ เป็นนักกีฬา 1) เขียนแผนภาพแทนนักกีฬาทุกคนเป็นคนที่มีสุขภาพดี ได้ดังนี้ กำหนดให้ H แทนคนที่มีสุขภาพดี S แทนนักกีฬา H S

17. Section 3 Example เหตุ1) นักกีฬาทุกคนเป็นคนที่มีสุขภาพดี 2) นายนรินทร์ เป็นคนที่มีสุขภาพดี ผล นายนรินทร์ เป็นนักกีฬา 2) เขียนแผนภาพเพื่อแสดงว่านายนรินทร์ เป็นคนที่มีสุขภาพดี กำหนดให้ H แทนคนที่มีสุขภาพดี S แทนนักกีฬา H นายนรินทร์ H B A S นายนรินทร์ S หรือ จากแผนภาพ B นายนรินทร์ไม่ได้เป็นนักกีฬา แต่มีสุขภาพดี หรือกล่าวได้ว่า ผลสรุปที่ว่านายนรินทร์ เป็นนักกีฬา ไม่สมเหตุสมผล

18. Section 3 Use deductive reasoning to fill in a conclusion that follows from the given statements, and draw a Venn-Euler diagram. All rectangles are parallelograms. All parallelograms are quadrilaterals. Conclusion : All rectangles are quadrilaterals. Quadrilaterals Parallelograms Rectangles

19. Section 3 Example Represent the two hypotheses in a Venn-Euler Diagram and deduce the conclusion. Hypotheses : Two is a whole number. All whole numbers can be written as fractions. Conclusion : ________________________ Answer. Two can be written as a fractions. • 2 • Whole numbers • Fractions

20. Section 3 Example If a number is negative, then it is less then 10. In part (a) and (b), assume the following if-then statement is true. -5 is a negative number. What can you conclude? 12 is not less then 10. What can you conclude? Draw a Venn-Euler Diagram that show why your conclusion to part (a) is true. (Hint: The first statement is the same as “All negative numbers are also numbers less then 10.” Draw a Venn-Euler Diagram that show why your conclusion to part (b) is true.

21. Section 3 Answer -5 is less then 10. 12 is not a negative number. (d) • 12 Negative numbers Numbers less then 10 • -5 • Negative numbers • Numbers less then 10

22. Section 4 Exercises 1 Pattern 3 Pattern1 Pattern 2 How to pattern 4 , Find the answer as many different ways as you can. b) How many green triangle are in pattern 4

23. Section 4 Exercises 2 • When x = 6 , y =______ . • When x = N , y =______ .

24. Section 4 Exercises 3 1+8 1= 32 1+8  3= 52 1+8  6= 72 What would the next equation be if the pattern continued ? , Is this equation true ? A general formula for these equation is Show that the two sides of this equation are equal.

25. Section 4 Exercises 4 22 – 12 = 3 32 – 22 = 5 42 – 32 = 7 If the pattern continues, what is the next equation? , Is the next equation true ? Complete the following generalization for any counting number c. c2 - __________ = ____________. Show that your equation in part (b) is true. Part (b) involves ___________________ reasoning. and part (c) involves ___________________ reasoning.

26. Section 4 Exercises 5 1 = ( )2 1+3 = ( )2 1+3+5 = ( )2 • Fill in the missing number. (Recall that n2= n x n) • Draw geometric dot pictures of the three sums that show the pattern (Hint: Use squares.) • What would the next equation be if the pattern continued? Is this equation true? • The sum of the first three odd number is _________ squared. • The sum of the first four odd number is _________ squared. • Write a generalization for any counting number N, based on parts (d) and (e) • Part (f) involves _______ reasoning. • Use your generalization to compute 1+3+5+7+…+79

27. Section 4 Exercises 6 Represent the two hypotheses in a Venn-Euler Diagram and deduce the conclusion. (1) Hypotheses : All people are mortal. Socrates is a person. Conclusion : ________________________ (2) Hypotheses : All doctors are college graduates. All college graduates finish high school. Conclusion : ________________________

28. Section 4 Exercises 6 Represent the two hypotheses in a Venn-Euler Diagram and deduce the conclusion. (3) Hypotheses : A square is also a rectangle. All rectangle have six sides. Conclusion : ________________________ (4) Hypotheses : All cockroaches are young. All young things are beautiful. Conclusion : ________________________

29. Section 4 Exercises 7 Decide whether or not the third statement can be deduced from the two hypotheses. (1) Hypotheses : Maria is taller than Ana. Ana is taller than Jelena. Conclusion : Maria is taller than Jelena. (2) Hypotheses : Maria beat Ana at tennis. Ana beat Jelena at tennis. Conclusion : Maria will beat Jelena at tennis.

30. Section 4 Exercises What conclusions can be drawn about Sandy on the basis of the following diagram ? Dogs White Male Dachshunds • Sandy

31. เอกสารอ้างอิง • สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, กระทรวงศึกษาธิการ, หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม๑ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่๔. โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว, กรุงเทพมหานคร, ๒๕๔๗. • Thomas Sonnabend., MATHEMATICS FOR TEACHER. Charles Van Wagner, Canada, 2010.