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Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année de l’université à cet objet de savoir. Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset 29 Octobre 2004. Plan de exposé.
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Les équations différentielles en mathématiques et en physiqueEtude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année de l’université à cet objet de savoir Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset 29 Octobre 2004
Plan de exposé • Problématique • Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique • Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université • Perspectives
1.1. Problématique Mathématiques…Physique… F(x, y(x)), y'(x), …,y(n)(x)=0
Mathématiques Physique Objet d’étude ? 1.2. Problématique Statut du concept d’équation différentielle dans les deux disciplines
Système réel Étape 1: Définition du système à étudier Démarche théorique Démarche expérimentale Étape 2: Construction d’un modèle et travail dans le modèle construit Question/ problème Réponse/ validation Étape 3: Retour au système Modèle i(t) C R E t=? Exemple: 3 q'(t)+(1/RC)q(t)=0 Les équations différentielles en physique
1.4. Problématique Et l’apprenant? Comment un apprenant perçoit-il les différents statuts de l’objet équation différentielle? Que représente, pour l’étudiant, l’objet équation différentielle?
L’ensemble des rapports institutionnels aux équations différentielles (de l’étudiant) L’institution de l’enseignement des mathématiques L’institution de l’enseignement de la physique D’autres institutions 1.5. Problématique Reformulation de l’objet d’étude dans le cadre de la théorie anthropologique de la didactique Rapport personnel de l’étudiant à l’objet équation différentielle
Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques. Effets de ces choix sur l’apprentissage de ce concept. Q1 Rapport institutionnel Rapport personnel Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED. Rôle joué par les équations différentielles, pour les étudiants: modèle ou outil? Q2 1.6. Problématique Questions de recherche
Dans l’exposé… • Problématique • Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique
2.1. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Rapport institutionnel à l’objet équation différentielle Décrire le rapport institutionnel de l’étudiant à un objet de savoir c’est… …déterminer ce que cet étudiant doit connaître à propos de cet objet de savoir.
1. Caractériser les rapports institutionnels par les matériaux scolaires En 1ère année de DEUG : -polycopiés des cours -feuilles de travaux dirigés -notes d’observation des classes • En Terminale S: • Manuels scolaires Mathématiques Physique Approche écologique Approche praxéologique 2. Outil pour l’analyse de l’accès au rapport institutionnel 2.2. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Comment caractériser le rapport institutionnel ?
Résolution algébrique (84%) Résolution algébrique (71%) Résolution algébrique (71%) Résolution algébrique (84%) Changement de registre (9%) Modélisation (7%) Modélisation (13%) Généralité (linéarité, ordre …) (8%) Changement de registre (3%) Recherche ED (5%) DEUG Terminale 2.3. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Ce qui est attendu de l’étudiant… en mathématiques
Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques Q1 L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par la prédominance des méthodes algébriques.
Étape 2 Construction du modèle « différentiel » (21%) Travail dans le modèle(79%) Terminale Étape 2 Construction du modèle « différentiel » (33%) Travail dans le modèle(67%) DEUG 2.4. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Ce qui est attendu de l’étudiant… en physique Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(21%) Travail dans le modèle(79%) Étape 1 Définition du système (0%) Étape 3 Retour au réel (0%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(33%) Travail dans le modèle(67%) Étape 1 Définition du système (0%) Étape 3 Retour au réel (0%)
Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED? Q2 Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.
Dans l’exposé… • Problématique • Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique • Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université
Deux tests En mathématiques En physique • Étude sur les généralités des ED • Étude qualitative • Étude d’un circuit électrique modélisé par une ED • Étude expérimentale • Étude théorique 3.1. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Rapports personnels des étudiants à l’objet équation différentielle- Dispositif expérimental
47 étudiants Exercice proposé 13 étudiants ont des conceptions correctes 34 étudiants 5 étudiants exigent forcément une fonction et l’une de ses dérivées dans une ED 21 étudiants réduisent toutes les ED aux linéaires 3 étudiants associent le signe de dérivation aux ED 3.2. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Conceptions des étudiants
Technique qualitative Technique algébrique Tracer le graphique de la fonction g(x) définie par g(x)=3 si 0 x 1et g(x)=2e1-x + 1 si x 1. 3.3. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Viabilité d’une autre approche Etudier le comportement de la fonction solution y(x) quand x tend vers + pour l’équation différentielle : y'(x)=-y(x)+g(x) satisfaisant y(2)=4.
Zone I Zone II - Définir le signe de la première fonction dérivéede y(x) : y'(x)= -y(x) +2e1-x+1 - Construire un tableau de variation 2e1-x+1 y'(x) + - y(x) Zone II Zone I
10 réponses correctes 3.5. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Implications de la prédominance de la résolution algébrique Technique qualitative (aucun étudiant) Technique algébrique (45 étudiants) Groupe 1 15 étudiants Groupe 2 13 étudiants Groupe 3 17 étudiants
u(volt) a (t0 ; (u(t0)) 1 t(ms) (t0) "Trouver la courbe WW telle qu’en traçant la tangente WC jusqu’à l’axe x, XC soit toujours égale à un même segment constant a. » (Debeaune 1638) i(t) L,r R E Rg 3.6. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Implications de la "modélisation algorithmisée" Etablir l’équation différentielle qui représente le circuit ci-dessus à l’instant t à partir des lois de l’électrocinétique. Justifier chaque étape de votre raisonnement. Etablir l’équation différentielle décrivant la courbe ci-dessus sachant que le paramètre est constant (l’équation de la tangente à une courbe quelconque en un point donné, par exemple t0 est donnée par :f(t)-f(t0)=f‘(t0)(t-t0)).
3.7. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Réponses obtenues Démarche expérimentale (24 étudiants) Démarche théorique (49 étudiants) 2 réponses correctes f’(t)+(1/)f(t)=0 40 réponses correctes L.i'(t)+(R+r)i(t)=0 22 réponses erronées f’(t0)+(1/)f(t0)=0 f’(t0)+(1/)f(t0)=y 9 réponses erronées Démarche théorique (10 étudiants)
Etudiant: "Pour que la tension soit nulle à la résistance il faut que i(t) soit nul. Pour cela il faut que e-((r+R)t)/Lsoit nul; ce qui n’est possible que pour t=. Donc la tension ne peut pas être nulle en un temps fini, mais elle sera très proche de 0". Maths ou Physique 70% 3.8. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Le concept d’équation différentielle a-t-il du sens pour l’étudiant en physique? f(t)=t.et est-elle la solution de l’équation différentielle traduisant le fonctionnement d’un circuit électrique RL? (u’(t)+(1/)u(t)=0 /f’(t)+(1/)f(t)=0)) La tension existante aux bornes de la résistance d’un circuit RL peut-elle s’annuler en un temps fini ? Pourquoi ? 76%
L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par l’application des méthodes algébriques. Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique. • Difficultés à comprendre et à connaître « le concept d’équation différentielle », • Cloisonnement entre les deux disciplines: Difficultés à mobiliser et à intégrer les connaissances relatives à l’objet équations différentielles, • Limitation aux systèmes familiers • Difficultés à donner du sens physique aux équations différentielles. Choix institutionnels… et l’étudiant…
Dans l’exposé… • Problématique • Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique • Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université • Perspectives
4. Perspectives Perspectives pour une ingénierie Systèmes dynamiques Démarche expérimentale Construction du modèle Interprétation Résolution Qualitative et/ou numérique Résultat mathématique Résolution mathématique Équation différentielle
Point de vue du physicien Théorie Validation Modèle Champ expérimental de référence A. Tiberghien, 1994 Principes, lois… Formalisme: relations entre quantités physiques… Mesures, dispositifs expérimentales…