slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
DANE INFORMACYJNE PowerPoint Presentation
Download Presentation
DANE INFORMACYJNE

play fullscreen
1 / 21
Download Presentation

DANE INFORMACYJNE - PowerPoint PPT Presentation

evita
159 Views
Download Presentation

DANE INFORMACYJNE

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. • ID grupy: 97/93_MF_G1 • Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK • Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW • Semestr/rok szkolny: V / 2011-2012

  2. LEONHARD EULER Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich szwajcarski Matematyk i fizyk 1707-1783

  3. WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW W 1752 Euler, wówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego . s - k + w = 2.

  4. NASZA PRACA PROJEKTOWA OTO PRZYGOTOWANE PRZEZ NAS MODELE DO BADAŃ

  5. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA GRANIASTOSŁUPÓW Graniastosłup TO wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, A ściany boczne są równoległobokami. S=n+2 W=2n K=3n S + W- K=(n+2)+2n-3n=2

  6. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA OSTROSŁUPÓW Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem ( podstawa ), a pozostałe ściany (ściany boczne ) są trójkątami o wspólnym wierzchołku. S=n+1 W=n+1 K=2n S + W- K=(n+1)+(n+1)-2n=2

  7. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANU WYDRĄŻONEGO? W PROSTOPADŁOŚCIANIE WYDRĄZYLIŚMY GRANIASTOSŁUP PROSTY O PODSTAWIE TRÓJKATA PROSTOKĄTNEGO. Odkryliśmy, że: • W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier • udowodnił, ze dla wielościanów dziurami wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”.

  8. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA BRYŁ PLATOŃSKICH ZBUDOWALIŚMY MODEL dwunastościanu foremnego S=12 W=30 K=20 S + W- K=12+30-20=2

  9. O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z WZORU Eulera • Oznaczmy: • W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4, • K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, • S - ilość ścian, S ≥ 4 • p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, • q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. . • Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K • Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, • podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K • Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi. • Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

  10. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO S=8 W=12 K=18 S + W- K=8+12-18=2

  11. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU S=14 W=12 K=24 S + W- K=14+12-24=2

  12. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA ZBUDOWALIŚMY MODEL TRZYDZIESTOŚCIANU ROMBOWEGO S=30 W=32 K=60 S + W- K=30+32-60=2

  13. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA ZBUDOWALIŚMY MODEL DWUNASTOŚCIANU ROMBOWEGO S=12 W=14 K=24 S + W- K=12+14-24=2

  14. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW JOHNSONA ZBUDOWALIŚMY MODEL wydłużonej dwukopuły czworokątnej przekręconej S=26 W=28 K=52 S + W- K=26+28-52=2

  15. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? ZBUDOWALIŚMY MODEL graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego gwiaździstego S=12 W=20 K=30 S + W- K=12+20-30=2

  16. SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem.

  17. GWIAZDA MORAWSKA powstaje w wyniku doklejenia prawidłowych ostrosłupów do ścian wielościanu archimedesowego zwanego sześcio-ośmiościanem rombowym małym – wzór eulera nie zachodzi

  18. STELLA OCTANGULA OŚMIOŚCIAN GWIAŹDZISTY wielościan gwieździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny wydłużony o ostrosłupy doczepione do jego ścian. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 8(stellonych)/24 ściany będące trójkątami równobocznymi W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości

  19. BIBLIOGRAFIA http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum http://www.math.edu.pl/bryly-platonski http://www.szkolnictwo.pl http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/matematyka/311.html http://www.jakubas.pl/konspekty/Tw-Eulera/Tw-Eulera.htm http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_stereometria.php http://www.maximus.pl/bw-wielosciany_foremne-520.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica http://pl.wikipedia.org/wiki/Stereometria K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO R. Kalina, Matematyka III Sens K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami Encyklopedia szkolna Matematyka