UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II ELASTICIDAD: ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 OptacianoVasquez

2. I. OBJETIVOS • Comprender la teoría del diseño y análisis de elementos cargados axialmente, así como sus limitaciones y aplicaciones. • Desarrollar la disciplina de trazar diagramas de cuerpo libre y figuras deformadas aproximadas para el diseño y análisis de estructuras

3. II. INTRODUCCIÓN • Un elemento axial es el miembro estructural más sencillo. • Se trata de un cuerpo recto y extenso a lo largo de cuyo eje se aplican cargas axiales. Entre otros cuerpos se muestra a los cables que sostienen el puente colgante y los cilindros hidráulicos del volquete. • En esta sección se estudia rigurosamente a esos elementos

4. III. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE • Consideremos un elemento sometido a las fuerzas externas concentradas F1 y F2 y a las fuerzas distribuidas por unidad de longitud p(x) como se muestra en la figura. • El área de la sección transversal A(x) puede ser función de x • Si las fuerzas externas son función de x, cabe esperar que las fuerzas internas también lo sean

5. III. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE Por tanto se debe: • Obtener una fórmula de los desplazamientos relativos u2-u1 en función de la fuerza interna N. • Obtener una formula para el esfuerzo axial xx en función de la fuerza interna.

6. III. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE • Para tener en cuenta la variación en la carga distribuida p(x) y en el área de la sección A(x), x = x2-x1 se considera infinitesimalmente pequeño y constante. • La teoría se aplica mediante la lógica mostrada

7. III. ELEMENTOS AXIALES: Cinemática • En la figura aparece una malla sobre una banda elástica estirada en dirección axial. Las líneas verticales permanecen verticales mientras que la distancia horizontal entre ellas cambia. Todos los puntos sobre la línea vertical se desplazan en cantidades iguales. SUPUESTO 1. Las secciones permanecen planas y paralelas • El desplazamiento en la dirección x se mide como u y es función únicamente de x. Es decir • DEFINCIÓN: el desplazamiento es positivo en la dirección positivo x

8. III. ELEMENTOS AXIALES: Distribución de la deformación SUPUESTO 2. Las deformaciones son pequeñas • Si las puntos x2 y x1 están muy cerca, la deformación se expresa en la forma

9. III. ELEMENTOS AXIALES: Modelo de materiales Para nuestro estudio se utilizan las siguientes suposiciones SUPUESTO 3. El material es isótropo SUPUESTO 4. El material es linealmente elástico SUPUESTO 5. No existe deformaciones inelásticas Por lo tanto

10. III. ELEMENTOS AXIALES: Fuerza axial interna • Para estudiar problemas axiales sin flexión, el esfuerzo de la ecuación (3) se sustituye por una fuerza axial interna N colocada en un punto específico. Es decir • La ecuación (4) es independiente del modelo del material. Al remplazar (3) en (4)

11. III. ELEMENTOS AXIALES: Ubicación del origen • Si la distribución de esfuerzo normal xx debe sustituirse solamente por una fuerza axial en el origen, entonces los momentos internos My y Mz deben ser nulos en el origen. Por tanto se tiene

12. III. ELEMENTOS AXIALES: Ubicación del origen • Para materiales homogéneos el esfuerzo es uniforme. Entonces las ecuaciones anteriores se escriben • Estas ecuaciones se satisfacen si y y z se miden desde el centroide

13. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales SUPUESTO 6. El material es homogéneo en la sección transversal. De la ecuación (5) se extrae E de la integral, teniendo DEFINICIÓN: A la cantidad EA se llama rigidez axial Sabiendo que el esfuerzo está dado por La deformación será

14. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales • Integrando la ecuación SUPUESTO 7. El material es homogéneo entre x1 y x2 SUPUESTO 8. la barra no es cónica SUPUESTO 9. Las fuerza axiales externas e internas no cambian entre x1 y x2. Por tanto bajo estos supuestos se tiene

15. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales • De la ley de Hooke • De la definición de deformación • Por tanto se tiene

16. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales • La ecuación anterior solo se puede utilizar si ele elemento es de sección uniforme y cargado axialmente. • Si el elemento es compuesto y sometido a las cargas mostradas. La deformación total será

17. III. ELEMENTOS AXIALES: Fórmulas de elementos axiales • Cuando sobre el elemento actúan las fuerzas mostradas, el esfuerzo y la deformación se escriben • Si no se excede el límite de proporcionalidad (ley de Hooke)

18. EJEMPLO 01 La barra compuesta de acero A-36 (E = 210 GPa) mostrada en la figura consta de dos segmentos AB y CD, cuyas áreas transversales son AAB =600 mm2 y ABD = 1200 mm2. Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el desplazamiento relativo de B respecto a C

19. SOLUCIÓN 01 Las fuerzas internas se determina usando el método de las secciones

20. SOLUCIÓN 01 El desplazamiento relativo de A con respecto a D es

21. SOLUCIÓN 01 El desplazamiento relativo de B con respecto a C es Aquí B se aleja de C ya que el segmento se alarga

22. EJEMPLO 02 •  Un tubo hueco A de acero estructural (E = 200 GPa) con un diámetro exterior de 60 mm y un diámetro interior de 50 mm está unida a una barra sólida de aluminio (E = 73 Ga) que tiene un diámetro de 50 mm sobre una mitad de longitud y un diámetro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra está sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura. Determine: (a) El cambio de longitud del tubo de acero, (b) El alargamiento total del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y cortante en la barra de aluminio y en el tubo de acero

23. EJEMPLO 03 • La barra compuesta mostrada en la figura es hecha de acero (E = 29000ksi) y tiene los diámetros D = 1,07 pulg y d = 0,618 pulg. Si dicha barra se le somete a las cargas axiales indicadas. Determine la deflexión total de la barra compuesta

24. SOLUCION: Divida a la barra en tres components: Aplicandolasec de equilibrio a cada parte se tiene La deflexión total será,

25. Ejemplo 04 • La barra rígida BDE es soportada por los conectores AB y CD. El conector AB es de aluminio (E=70GPa)y tiene un sección transversal de 500 mm2, el conector CD es de acero (E=200GPa) y tiene un área transversa de 600 mm2. Halle las deflexiones de: (a) B, (b) D y (c) E

26. Displazamiento de B: DCL de la barraBDE Displazamiento de D: Solución 04

27. Desplazamiento de E: Solución 04

28. Ejemplo 05 Dos barras delgadas se fijan firmemente a una placa rígida como se muestra. El área de la sección transversal de cada barra es de 20 mm2. La fuerza F debe aplicarse de tal manera que la placa se mueva horizontalmente 0,05 mm sin girar. Determine F y su ubicación h en los casos: (a) ambas barras son de acero (E = 200 GPa), (b) La barra 1 es dea acero (E = 200 GPa) y la otra 2 de aluminio (E = 70GPa).

29. Ejemplo 06 Barras sólidas de sección circular se latón (E = 100 GPa,  = 0,34) aluminio (E = 70 GPa,  = 0,33) con un diámetro de 200 mm se fijan a un tubo de acero (E = 210 GPa,  = 0,3) del mismo diámetro externo, como se ve en la figura. Para las cargas indicadas, determine: (a) el movimiento de la placa en C respecto a la placa en A y (b) el cambio en el diámetro del cilindro de latón

30. Ejemplo 07 Una barra de sección rectangular de aluminio (E = 10000 ksi,  = 0,25) de ¾ pulg de espesor consta de una sección transversal uniforme y una piramidal, como se observa en la figura. La altura de la sección piramidal varía conforme a h(x) = 2 -0,02x. Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas, (b) El cambio de dimensión en la dirección y en la sección BC.

31. Ejemplo 08 Una barra tiene una longitud L y el área de su sección trasversal es A. Determine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tiene una densidad ρ y un módulo de elasticidad E.

32. Ejemplo 09 Un elemento estructural está hecho de un material que tiene una densidad ρ y un módulo de elasticidad E. Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y la fuerza exterior P.

33. Solución 09 La fuerza axial interna varía a lo largo del elemento ya que depende de Wy. Por tanto Por semejanza de triángulos El volumen será

34. Solución 09 La fuerza interna se expresa en la forma El área de la sección transversal será La deflexión del extremo del cono es

35. Ejemplo 10 El radio de un cono truncado de sección circular varía con x de la manera siguiente R(x) =(r/L)(5L - 4x) ver figura. Determine el alargamiento del cono truncado debido a su propio peso en términos de E; L, r y , donde E y  son el módulo de elasticidad y el peso específico del material, respectivamente.

36. Ejemplo 11 El conjunto mostrado en la figura consiste en un tubo AB de aluminio (E =70 GPa) con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero (E = 200 GPa) con diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento del extremo C de la barra.

37. Solución 11 Del DCL del tubo y de la barra se obtiene las fuerzas internas. Es decir la barra se encuentra a tensión y el tubo a compresión • El desplazamiento del extremo C con respecto a B es • El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es • El signo menos indica que el tubo se acorta por lo que B se mueve hacia la derecha

38. Solución 11 Debido a que ambos desplazamiento son hacia la derecha, el desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces

39. Ejemplo 12 Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura. AC esta hecho de acero (E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 20 mm; BD está hecho de aluminio (E = 70 GPa) tiene un diámetro de 40 mm. Determine el desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga vertical de 90 kN sobre este punto.

40. Solución 12 En la figura se muestra el DCL de la viga rígida Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene Resolviendo las dos ecuaciones se tiene

41. Solución 12 Los desplazamientos de las partes superiores de cada poste serán

42. Solución 12 Para determinar el desplazamiento del punto F se traza el diagrama de deflexiones Usando proporciones en el triángulo sombreado se tiene

43. Ejemplo 13 El tirante y un puntal se usa para sostener una carga de 50 kN, como se muestra en la figura. El tirante AB es de una aleación de titanio (E = 96 GPa) y tiene un área transversal de 450 mm2. El puntal BC está hecho de Monel (E = 180 GPA) y un área transversal de 1450mm2. Determine: (a) Los esfuerzos normales en la varilla y el puntal; (b) El alargamiento o acortamiento en la varilla y en el puntal y (c) El desplazamiento horizontal y vertical del seguro B

44. Ejemplo 14 Un tubo A de aleación de aluminio (E = 73 GPa), con un diámetro exterior de 75 mm, se utiliza para sostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de 25 mm de diámetro, como se muestra en la figura. Determine el diámetro interior del tubo A requerido si la deflexión máxima del extremo de la varilla sujeto a carga debe limitarse a 0,40 mm.

45. Ejemplo 15 La barra rígida esta soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 mm2 y está hecha de aluminio 6061-T6. Determine la deflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.

46. Ejemplo 16 Los extremos de cuatro barras de sección circular de acero (E = 200 Gpa) se sueldan a una placa rígida, como se muestra en la figura. Los otros extremos de las barras se encuentran empotrados en las paredes. Debido a la acción de la fuerza externa F, la plaza rígida se mueve 0,1 mm a la derecha sin girar. Si las barras tienen un diámetro de 10 mm, calcule la fuerza aplicada F

47. Ejemplo 17 Dos tubos de hierro fundido (E = 100 Gpa) se unen con adhesivo, como se muestra en la figura. El diámetro externo de los tubos es de 50 mm y 70 mm, y el espesor de su pares es de 10 mm. Determine el desplazamiento del extremo B respecto del extremo A.

48. Ejemplo 18 La barra cónica descrita en la figura tiene un área de la sección transversal que varía con x en la forma Determine el alargamiento de la barra en función de P, L, E y K

49. ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Aparecen cuando has más soportes de los necesarios para mantener una estructura en equilibrio. • Esos soportes adicionales se incluyen por condiciones de seguridad o para aumentar la rigidez de la estructura. • Cada soporte adicional introduce nuevas reacciones desconocidas de tal forma que el número de reacciones excede al número de ecuaciones de equilibrio DEFINICIÓN. El grado de redundancia estática es el número de reacciones desconocidas menos el número de ecuaciones de equilibrio

50. ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS • Si el grado de redundancia es cero se dice que la estructura es estáticamente determinara y todas las reacciones se determinan de las ecuaciones de equilibrio. • Si el grado de redundancia es diferente de cero se requieren ecuaciones adicionales para hallar las reacciones. • Estas ecuaciones adicionales son las relaciones entre los cambios dimensionales de los elementos. DEFINICION. Las ecuaciones de compatibilidad son relaciones geométricas entre los cambios dimensionales de las barras y se determinan de la geometría de la figura deformada