FII–5 Mikroskopický pohled na elektrický proud . Základy řešení stejnosměrných obvodů

1. FII–5 Mikroskopický pohled na elektrický proud. Základy řešení stejnosměrných obvodů

2. Hlavní body • Měrný odpor a vodivost. • Vodiče, polovodiče a izolátory • Rychlost pohybujících se nábojů. • Ohmův zákon v diferenciální formě • Teplotní závislost rezistivity • Seriové a paralelní zapojení rezistorů • Obvody a Kirchhoffovy zákony

3. Měrný odpor a vodivost I • Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon: U = RI • Rezistance Rzávisí na geometriia na vlastnostechmateriálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrnýodpor(rezistivitu)  a její reciprokou hodnotu, měrnouvodivost :

4. Měrný odpor a vodivost II • Měrnýodpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí. • Jednotkou rezistivity v SI je 1m. • Měrnávodivost je naopak schopnost vést proud. • Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1-1m-1. • Jednotka vodivosti je siemens1 Si = 1 -1.

5. Volné nosiče nábojů I • Obecně jsou volnými nosiči náboje nabitéčástice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat. • Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty. • Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jakvolně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.

6. Volné nosiče nábojů II • V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslabějivázané(valenční)elektrony s ostatními atomy. • V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybujíchaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k ne úplně přesnému názvu elektronovýplyn.

7. Volné nosiče nábojů III • V nenulovém poli mají elektrony též jistou relativně malou driftovourychlost v opačném směru než je směr pole. • Srážky jsou hlavním mechanismem zodpovědným za rezistivitu(kovů při normální teplotě) a samozřejmě také za ztrátyvýkonu ve vodičích.

8. Diferenciální tvar Ohmova z. I • Uvažujme opět vodič o délce l a průřezu S s nosiči náboje jednoho typu. Při jistém napětí protéká konstantníproud, který závisí na jejich: • hustotě n, tedy počtu v jednotce objemu • nábojiq • driftové rychlostivd

9. Diferenciální tvar Ohmova z. II • V úseku délky xvodiče je náboj Q : Q = n qx S • Objem, který proteče určitou plochou za jednotku času je Sx/t = vd S, takžeproud I je : I = Q/t = n q vd S = j S • Kde jje takzvaná hustota proudu. S použitím Ohmova zákona a definice vodivosti : I = j S = U/R = El  S/l  j = E

10. Diferenciální tvar Ohmova z. III j = E • To je Ohmův zákon v diferenciálním tvaru. • Na rozdíl od Ohmova zákona ve tvaru integrálním obsahuje pouze mikroskopické a negeometrické veličiny. • To je počáteční bod teorií, které studují vodivost. • Obecně platí vevektorové podobě:

11. Diferenciální tvar Ohmova z. IV • Znamená, že velikost hustoty proudu závisí na schopnosti látky vést proud a intenzitě elektrického pole a náboje se (efektivně)pohybujípodél elektrických siločar. • Pro hlubší porozumění je třeba mít alespoň hrubou představu a velikostech parametrů, které se v Ohmově zákoně vyskytují.

12. Příklad I • Mějme proud 10 A, protékající měděným vodičem o průřezu 3 10-6 m2. Jaká je hustota proudu a driftová rychlost nosičů náboje, přispívá-li každý atom jedním volným elektronem? • atomová váhamědije63.5 g/mol. • hustota mědi je  = 8.95 g/cm3.

13. Příklad II • V 1 m3je 8.95 106/63.5 = 1.4 105 mol. • Každý atom přispívá jedním volným elektronem. Hustota nosičů náboje tedy je : n = 8.48 1028 elektronů/m3. • Driftová rychlost vd : vd = I/Snq = 10/(8.48 1028 1.6 10-19 3 10-6) = 2.46 10-4 m/s

14. Mikroskopický obrázek • Vidíme, že driftovárychlost je velmi malá. Vzdálenost jednoho metru by elektron překonal za 68 minut! Pro srovnání je rychlost chaotického pohybu elektronů řádově 106 m/s. • Takže v látce existují proudy řádově 1012 A, tečou ale náhodnými směry a navzájem se kompenzují, a relativně malé proudy způsobené elektrickým polem. • Je to, jako v případě nabíjení vodičů, případ velmi malé nerovnováhy.

15. Otázka • Driftová rychlost nosičů náboje je řádově 10-4 m/s. Jak je možné, že se žárovka v místnosti rozsvítí po zapnutí vypínače prakticky okamžitě?

16. Odpověď • Sepnutím vypínače, připojíme napětí na konce vodiče, čímž vytvoříme elektrické pole poděl něj. To uvede do pohybu nosiče náboje. Protože elektrické pole se vytvoří rychlostí světla c = 3 108 m/s, nosiče náboje se dajídopohybu(prakticky)současně.

17. *Klasický model I • Zkusme vysvětlit driftovou rychlost základnějšími parametry. Předpokládejme, že v průběhu jistého průměrnéhočasu mezi srážkami jsou nosiče urychlovány elektrickým polem. A každá nepružná srážka je zastaví. • Použijeme vztah známý z elektrostatiky : vd = qE/m

18. *Klasický model II • Dosadíme do vztahu pro hustotu proudu : j = n q vd = n q2  E/m • Obdržíme měrnou vodivost a odpor :  = n q2  /m  = 1/ = m/nq2

19. *Klasický model III • Zdá se, že jsme nahradili jedny parametry druhými • V posledních vztazích ale vystupuje jediný neznámý parametr průměrnýčas mezi sražkami, který může být dán do souvislosti se střední rychlostí, závislou na teplotě, kterou předpovídají dobře zavedené teorie, podobné těm, které vysvětlují podobné vlastnosti plynů. • Tento model předpovídá závislost měrné vodivosi na teplotě, ale ne na elektrickém poli.

20. Teplotní závislost měrného odporu I • Ve většině případů je teplotní chování blízkélineárnímu . • Definujemezměnuměrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C):  = (t) – (t0) • Relativnízměna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty :

21. Teplotní závislost měrného odporu II •  [K-1] je lineární teplotní koeficient. • Jeurčen teplotní závislostí n a vd. • Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají chováníexponencíální). • V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen : /(t0) =  t +  (t)2 + …  (t) = (t0)(1 +  t +  (t)2 + …)

22. Hlavní body • Rezistory zapojené sériově a paralelně • Sítě rezistorů • Obecná topologie obvodů • Kirchhoffovy zákony – fyzikální význam • Použití Kirchhoffových zákonů • Princip superpozice • Metoda obvodových proudů

23. Seriové zapojení rezistorů • Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud. • Současně napětí na všech dohromady musí být součetnapětí na rezistorech jednotlivých. • Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí : R = R1 + R2 + …

24. Paralelní zapojení rezistorů • Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí. • Současně se celkovýproud dělí mezi ně a je tedy součtemproudů jednotlivými rezistory. • Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí 1/R = 1/R1 + 1/R2 + …

25. Obecná síť rezistorů • Nejprve nahradíme seriově zapojené rezistory, potom paralelně. • *Zapojení do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy : r = rbrc/(rarb + rbrc + rcra) • *Tento vztah vyplývá z cyklické záměny : r + r = rc(ra + rb)/(rarb + rbrc + rcra)

26. Obecná topologie obvodů • Obvody se skládají z : • Větví – vodiče se zdroji a rezistory • Uzlů – body, kde jsou propojeny alespoň tři větve. • Smyček – všechny možné uzavřené cesty rozličnými větvemi a uzly, které se neprotínají.

27. Řešení obvodů • Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich. • Při řešení obvodů je nutné najít nezávislésmyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik. • Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárněnezávislýchrovnic pro proudy.

28. Kirchhoffovy zákony I • Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachovánínáboje a konzervativnostistacionárníhoelektrického pole. • V nejjednodušší formě platí jen pro stacionárnípole a proudy. Mohou ale být jednoduše zobecněny pro určité typy polí časově proměnných.

29. Kirchhoffovy zákony II • První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součetproudůpřitékajících do jistého uzlu se musí rovnatsoučtuproudů z tohoto uzlu vytékajících. • Je to speciální případ zákona zachovánínáboje. Ten je obecněji je vyjádřen rovnicíkontituitynáboje, která popisuje navíc směry a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu.

30. Kirchhoffovy zákony III • Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součetnapětí(rozdílů potenciálů) na každém prvku v každéuzavřenésmyčce se musí rovnat nule. • Zákon je založen na existencipotenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu (které je konzervativní) a zachovánípotenciálníenergie ve smyčce .

31. Použití Kirchhoffových zákonů I • Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví : • Nejprve si označíme všechny proudy a každému přiřadíme určitý směr. Pokud se zmýlíme, vyjde nám proud na závěr záporný. • Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom dostali lineárně závislou rovnici. • Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky.

32. Příklad I-1 • Obvod má 3 větve, 2 uzly a 3 smyčky, z nichž 2 jsou nezávislé. • Protože zdroje jsou ve dvou větvích, nemůžeme problém jednoduše převést na serio-paralelní zapojení rezistorů.

33. Příklad I-2 • Nazveme prudy a přiřadíme jim směr. Nechme všechny opouštět uzel a, takže alespoň jeden musí vyjít záporný. • Označme polaritynarezistorechpodle předpokládaných směrů proudů. • Sestavme rovnici pro první uzel a: I1 + I2 + I3 = 0.

34. Příklad I-3 • Rovnice pro uzel b by vyšla stejná, takže další rovnice musíme najít ze smyček. • Vyjdeme např. z bodu a větví 1 a vrátíme se větví 3 : -U1 + R1I1 – R3I3 = 0 • Potom podobně z a větví 2 a nazpět 3: U2 + R2I2 – R3I3 = 0

35. Příklad I-4 • Při cestě kolem smyčky musíme zachovat určitý systém, například psát všechny výrazy na jednu stranu rovnice se znaménkem podle polarity napětí, ke kterému u příslušného prvku přijdeme nejprve. • Řešíme : z první rovnice vyjádříme : -I3 = I1 + I2a dosadíme do dalších dvou : U1 = (R1 + R3)I1 + R3I2 -U2 = R3I1 + (R2 + R3)I2

36. Příklad I-5 • Numericky máme : 25I1 + 20I2 = 10 20I1 + 30I2 = -6 • Můžeme postupovat několika způsoby a dostaneme : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A • Vidíme, že proudy I2 a I3mají opačný směr, než jsme původně předpokládli.

37. Použití Kirchhoffových zákonů II • Pro praktické řešení obvodů nejsou Kirchhoffovy zákony příliš užitečné, protože je nutné sestavit a vyřešit stejný počet rovnic, jako je početvětví. Lze ale ukázat, že k úplněmu řešení obvodu postačí stejný počet rovnic, jako je nezávislýchsmyček, což je obecně méně.

38. *Příklad II-1 • I v našem předchozím, jednoduchém příkladu jsme museli řešit systém tří rovnic, který je praktickou hranicí, kterou lze vyřešit relativně jednoduše ručně. • Ukážeme, že pro nepatrně komplikovanější obvod by již počet rovnic byl příliš velký na ruční řešení.

39. *Příklad II-2 • Nyní máme 6 větví, 4 uzly a mnoho smyček, z nichž jsou 3 nezávislé. • Kirchhoffovy zákony nám poskytnou 3 nezávislé rovnice pro uzly a 3 pro smyčky. • Máme tedy systém 6 rovnic o 6 neznámých. Řešení je principiálně možné, ale velmi obtížné.

40. Princip superpozice • Princip superpozice lze použít tak, že všechny zdoje pracují nezávisle. • Pokaždé můžeme zkratovat všechny zdroje až na j-týa najít proudy Iijv každé větvi. • Opakujeme to pro všechny zdroje a nakonec pro proud určitou větví platí : Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + …

41. Příklad I-6 • Vraťme se k našemu prvnímu příkladu. • Ponechme první zdroj a zkatujme druhý. • Získáme jednoduché serio-paralelní zapojení rezistorů, v němž snadno nalezneme proudy : • I11= 6/7 A; I21= -4/7 A; I31= -2/7 A

42. Příklad I-7 • Opakujeme totéž s druhým zdrojem : • I12= 12/35 A; I22= -3/7 A; I32= 3/35 A • Celkově dostaneme : • I1= 1.2 A; I2= -1 A; I32= -0.2 A • Výsledek je stejný jako předchozí. • Princip superpozice je užitečný, když chceme například zjistit, co se stane když zdvojnásobíme napětí prvního zdroje.

43. *Metoda obvodových proudů • Existuje několik pokročilejších metod, které používají pouze nezbytný počet rovnic, potřebných k vyřešení daného obvodu. • Nejelegantnější a nejjednodušší na použití i pamatování je metodaobvodovýchproudů. • Je založena na myšlence, že obvodem tečou proudy v nezávislýchsmyčkách a proud v každé větvi je jejich superpozicí.

44. *Příklad I-8 • V našem příkladě existují dva nezávislé obvodové proudy, např. Ive smyčce a(1)(3) a Ive smyčcea(2)(3). • Proudy ve větvích mohou být považovány za jejich superpozici : • I1= I • I2= I • I3= -I  - I

45. *Příklad I-9 • Napíšeme rovnice pro smyčky : • (R1 + R3)I + R3I = U1 • R3I + (R2 + R3)I = -U2 • Po dosazení numerických hodnot máme : I = 1.2 A a I = -1A, které dají opět stejné proudy proudy v obvodech : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A

46. *Příklad I-10 • Výsledek je stejný, ale řešili jsme soustavu pouze dvou rovnic o dvou neznámých. • Výhoda je ještě lépe vidět na druhém příkladu.

47. *Příklad II-3 • Proud I bude ve smyčce DBAD, I v DCBD aI v CBAC. Potom : • I1 = I- I  • I2 = I - I • I3 = I - I • I4 = -I • I5 = I • I6 = I

48. *Příklad II-4 • Smyčková rovnice v DBAD by byla : • -U1 + R1(I - I) – U3 + R3(I - I) + R5I = 0 • (R1 + R3 + R5)I - R1I - R3I  = U1 + U3 • Podobně ve smyčkách DCBD a CABC: • -R1I + (R1 + R2 + R4)I - R2I  = U4 - U1 – U2 • -R3I - R2I +(R2 + R3 + R6)I  = U2 - U3 • Rovnice se sestavují poněkud obtížněji ale jsou jenom tři, takže je můžeme vyřešit ručně!

49. *Příklad II-5 • Numericky máme : • 12 –2 –5  I = 51 •  -2 14 –10 I = -16 • -5 –10 25 I = 25 • Řešením dostaneme I, I, I a s jejich pomocí nakonec vypočteme proudy v jednotlivých větvích I1, I2…