Tema 1 preliminares de c lculo
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Tema 1 Preliminares de Cálculo. La Recta Real Números Reales, Racionales e Irracionales Orden y desigualdades Conjuntos Intervalos de la recta real Intervalos acotados Intervalos no acotados Valor absoluto Distancia entre dos puntos. El plano cartesiano

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Tema 1 preliminares de c lculo l.jpg

Tema 1Preliminares de Cálculo

  • La Recta Real

  • Números Reales, Racionales e Irracionales

  • Orden y desigualdades

  • Conjuntos

  • Intervalos de la recta real

  • Intervalos acotados

  • Intervalos no acotados

  • Valor absoluto

  • Distancia entre dos puntos

  • El plano cartesiano

  • Distancia entre dos puntos del plano

  • La gráfica de una ecuación

  • Modelos matemáticos

  • Función real de una variable real

  • Gráfica de una función

  • Gráficas de funciones básicas

  • Clasificación de las funciones. Funciones elementales

  • Función compuesta

  • Funciones pares, impares y ceros de funciones

  • Función inversa

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva


La recta real l.jpg

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

números enteros

La Recta Real

Coordenada:

nº real que corresponde a un punto de la recta real

origen

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números naturales

Tema 1. Preliminares de Cálculo 1


N meros reales racionales e irracionales l.jpg

-2,6 -2/3 5/4 2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

5

=0,4

Recta Real

Números Reales, Racionales e Irracionales

Números Racionales

Pueden expresarse como cociente de dos enteros

Números Irracionales

No pueden expresarse como decimales finitos ni periódicos

2 e p

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0 1 2 3 4

2 1,414213562

Decimales finitos

Periódicos

e  2,718281828

1

3

=0,333...=0,3

p  3,141592654

Tema 1. Preliminares de Cálculo 2


Orden y desigualdades l.jpg

Orden y desigualdades

a , b IR a es menor que b si b-a es positivo

Este orden se denota por la desigualdad

a  b

Análogamente mayor que 

menor o igual que 

mayor o igual que 

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Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se invierte la desigualdad

x 3  -4 x  -12

Tema 1. Preliminares de Cálculo 3


Conjuntos l.jpg

Notación

El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición

 x : condición sobre x 

Un conjunto es una colección de elementos

Conjuntos

Conjunto de los números Reales IR

Conjunto de los números reales positivos xIR : x  0 

Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0 

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Unión de dos conjuntos:

A  B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos

Intersección de dos conjuntos:

A  B es el conjunto de elementos de A y de B

Tema 1. Preliminares de Cálculo 4


Intervalos de la recta real l.jpg

Intervalos de la recta real

(a, b) =x : a  x  b Intervalo abierto

extremos

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[a, b] =x : a  x  b Intervalo cerrado

Tema 1. Preliminares de Cálculo 5


Intervalos acotados l.jpg

Intervalos acotados

Notación de intervalos

Notación de conjuntos

Gráfica

Intervalo acotado abierto (a, b) x : a x  b 

( )

x

a b

Intervalo acotado cerrado [a, b] x : a  x  b 

[ ]

x

a b

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Intervalos acotados [ a, b) x : a  x  b 

[ )

x

a b

ni abiertos ni cerrados (a, b] x : a  x  b 

( ]

x

a b

Tema 1. Preliminares de Cálculo 6


Intervalos no acotados l.jpg

Intervalos no acotados

Notación de intervalos

Notación de conjuntos

Gráfica

Intervalos no acotados (-, b) x : x  b 

)

x

b

abiertos (a, ) x : x  a 

(

x

a

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Intervalos no acotados (-, b] x : x  b 

]

x

b

cerrados [a, ) x : x  a 

[

x

a

(-,) x : xIR

x

Recta real

a b

Tema 1. Preliminares de Cálculo 7


Valor absoluto l.jpg

a si a 0

| a | =

-a si a 0

Valor absoluto

Si a es un número real, el valor absoluto de a es

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Ejemplo: a = -4

| a | = | -4| = - (-4) = 4

Tema 1. Preliminares de Cálculo 8


Distancia entre dos puntos l.jpg

Distancia entre a y b

a

b

| a - b |

El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el valor medio de a y b

a + b

Punto medio de (a,b)=

2

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es

d =| a - b | =| b - a |

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 9


El plano cartesiano l.jpg

El plano cartesiano

Sistema de coordenadas rectangular utilizado para representar pares ordenados (x,y) de números reales

Eje y

Cuadrante II

Cuadrante I

(x,y)

y

x

y

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Eje x

x

origen

Cuadrante III

Cuadrante IV

Tema 1. Preliminares de Cálculo 10


Distancia entre dos puntos del plano l.jpg

Distancia entre dos puntos del plano

distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano

y1

(x1,y1)

d

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| y2 - y1|

(x1,y2)

y2

(x2,y2)

x1

x2

| x2 - x1|

Tema 1. Preliminares de Cálculo 11


La gr fica de una ecuaci n l.jpg

Analítica

Elaboramos una tabla numérica sustituyendo varios valores de x

Numérica

x 0 1 2 3 4

y 7 4 1 -2 -5

Perspectivas en el Cálculo

El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación

(0,7)

6

Gráfica

3x + y =7

4

(1,4)

2

(2,1)

4

2

(3,-2)

Ecuación

Solución

La gráfica de una ecuación

3x + y =7

(2,1) porque se satisface cunado sustituímosxpor 2 eypor 1

Despejamos y en la ecuación inicial y = 7 - 3x

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 12


Modelos matem ticos l.jpg

Ejemplo:

Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por millón) en la atmósfera terrestre

Modelo lineal

Modelo cuadrático

¿Qué modelo es mejor?

¿Podríamos predecir en el año 2035 la cantidad de CO2 en la atmósfera?

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

360

355

350

345

340

335

330

325

320

315

310

360

355

350

345

340

335

330

325

320

315

310

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

5 10 15 20 25 30

y = 313,6 + 1,24 t

y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2

Cálculos realizados con el Método de ajuste por Mínimos Cuadrados

Descripción de un problema (frecuentemente de la vida real) utilizando una formulación matemática (por ejemplo con una ecuación) con precisión y sencillez

Modelos matemáticos

Solución:

Haciendo t=75

y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6

r2=0,984

y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95

r2=0,997

Es mejor el modelo cuadrático puesto que

la correlación r2 es más próxima a 1

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 13


Funci n real de una variable real l.jpg

Ecuación en forma implícita

Ecuación en forma explícita

Notación de funciones

  • Sean X e Y dos conjuntos de números reales.

  • Una función real f de una variable real xde X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

  • El conjunto X se llama dominio de f.

  • El número y se denomina la imagen de x for f y se denota por f(x).

  • El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.

Función real de una variable real

X

Dominio

x

Y

f

X X X

Recorrido

y=f(x)

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: variable independiente

x

y

: variable dependiente

Tema 1. Preliminares de Cálculo 14


Gr fica de una funci n l.jpg

Gráficas de funciones básicas

4

f(x) = x3

f(x) =x

2

2

2

f(x) =x2

1

1

1

-3

-3

-3

-2

-2

-2

-1

-1

-1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

-1

-1

-1

-2

-2

-2

La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde x pertenece al dominio de f y se denota por f(x).

Gráfica de una función

x = distancia desde el eje y

f(x) = distancia desde el eje x.

(x,f(x))

y =f(x)

f(x)

x

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 15


Gr ficas de funciones b sicas l.jpg

1

f(x)=

x

Gráficas de funciones básicas

f(x) =x

3

3

2

2

2

f(x) = | x |

1

1

1

-3

-2

-1

-3

-2

-1

1

1

1

2

2

2

3

4

3

3

-1

-1

-2

-2

f(x) = sen x

f(x) = COSx

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1

1

p

p

2p

-p

2p

-2p

-p

-1

-1

Tema 1. Preliminares de Cálculo 16


Clasificaci n de las funciones funciones elementales l.jpg

Función polinómica

Término constante

Clasificación de las funciones. Funciones elementales

grado

Funciones algebraicas

Coeficiente dominante

Coeficientes

Función racional

p(x), q(x) polinomios

Funciones radicales.Por ejemplo,

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Funciones trigonométricas

Seno, coseno, tangente,...

3

f-1(x) = ex

Funciones exponenciales y logarítmicas

2

1

-2

-1

1

2

-1

f(x) = ln x

-2

Tema 1. Preliminares de Cálculo 17


Funci n compuesta l.jpg

Ejemplo:

Función compuesta

Dominio de g

f o g

Sean f y g dos funciones.

La función dada por (f o g)(x)=f(g(x)) se llama función compuesta de f con g.

El dominio de es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f

x

f(g(x))

g(x)

g

f

Dominio def

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 18


Funciones pares impares y ceros de funciones l.jpg

  • La función y=f(x) par si f(-x) = f(x)

  • La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x)

Criterio para funciones pares e impares

Funciones pares, impares y ceros de funciones

  • Si la gráfica de una función f, corta al eje x en el punto (a,0), entoces a se denomina un cero de f

  • Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuaciónf(x) =0

f(x) = 0

(a,0)

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 19


Funci n inversa l.jpg

Ejemplo:

Ejemplo:

Son funciones inversas

Función inversa

Una función g es la inversa de una función f si

f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g

g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f

La función g se denota por f-1

f -1

f

  • Dominio de f = Recorrido de f-1

  • Dominio de f-1= Recorrido def

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Tema 1. Preliminares de Cálculo 20


Bibliograf a l.jpg

Bibliografía

Cálculo y Geometría Analítica

Larson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),

Ed. McGraw-Hill

Ejercicios y problemas

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Problemas de Matemáticas

para ingeniería técnica agrícola y veterinaria

Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000

Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)

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