Laboratorio di Didattica della Matematica

1. Laboratorio di Didattica della Matematica Percorsi Abilitanti Speciali Università degli studi di Cagliari AA 2013/2014

2. Teoria genetica di Piaget: Stadi di sviluppo Fasi di assimilazione, accomodamento e equilibrio. Le teorie dell’apprendimento

3. Costruttivismo (Empirismo inglese: Locke, Hume - Vico) Coloro che apprendono costruiscono la conoscenza per se stessi  focalizzare l’attenzione su chi apprende e non sul cosa si apprendere. La conoscenza dipende dal significato attribuito all'esperienza costruita dal discente o dalla comunità dei discenti. Le teorie dell’apprendimento

4. Costruttivismo Dare agli studenti l'opportunità di interagire con i dati sensoriali costruire il proprio mondo di significati. La maggior parte degli insegnanti oscilla tra la fiducia cieca che i nostri discenti costruiscano effettivamente un significato che troveremo accettabile (qualunque cosa intendiamo con questo) e il nostro bisogno di costruire significato per loro; cioè, di strutturare situazioni nelle quali i discenti non sono liberi di attuare le proprie azioni mentali, ma situazioni "di apprendimento" che li incanalino verso le idee che noi abbiamo sul significato dell'esperienza. Le teorie dell’apprendimento

5. Costruttivismo Il problemposing (Freire - Montessori) I discenti si approcciano alla conoscenza in modo diretto Il docente funge solo da mediatore Aumento della fiducia Sviluppo del pensiero critico e delle capacità logico deduttive Le teorie dell’apprendimento http://minerva.miurprogettopps.unito.it/

6. "Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di qualsiasi problema c'è un pizzico di scoperta. Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta’’ Polya

7. Le teorie dell’apprendimento Costruttivismo Il problemsolving Sviluppo del pensiero critico e delle capacità logico deduttive Controllare i risultati Comprendere il problema Escogitare un piano Eseguire il piano

8. Cognitivismo (Dewey, Ausubel) Le teorie dell’apprendimento

9. Cognitivismo (Dewey, Ausubel) Stretta interconnessione tra apprendimento e memoria. Rilevanza della ripetizione di un’informazione: ripasso periodico e un congruo numero di esercizi. Le teorie dell’apprendimento

10. L’errore nelle scienze E’ in termini di ostacolo che bisogna porre il problema della conoscenza scientifica … E’ nell’atto stesso di conoscere intimamente che appaiono, per una sorta di necessità funzionale, alcuni rallentamenti e turbamenti … che noi chiameremo ostacoli epistemologici ... Si conosce contro una conoscenza precedente distruggendo conoscenze mal fatte, superando quello che nello spirito stesso fa da ostacolo alla spiritualizzazione … Lo spirito non può farsi scientifico senza opporsi in modo assoluto all’opinione. (Bachelard, La formation de l’esprit scientifique, 1938)

11. L’errore nelle scienze ‘’ L’interesse didattico di un problema dipenderà essenzialmente da quello che l’allievo tenterà, da quello in cui investirà, dall’importanza per lui dei rigetti che egli sarà condotto a fare e delle conseguenze prevedibili di questi rigetti, dalla frequenza con la quale egli si accorgerà di commettere quegli errori rigettatati e della loro importanza. Così saranno più interessanti quei problemi che permetteranno di superare un vero ostacolo. ” (Brousseau)

12. Nello sviluppo storico e individuale della conoscenza, gli ostacoli sono costituiti dal: senso comune senso comune scientifico - etere - calorico pensare metafisico L’errore nelle scienze

13. Il triangolo di Chavellard Sapere Insegnante Alunno

14. Non è sempre l’effetto di poco studio, distrazione o del caso ma può essere manifestazione di un ostacolo ed in questo senso ha valenza positiva. L’errore nella didattica

15. Gli ostacoli Didattici Creazione di misconcetti Uso di falsi modelli Tentativo di soddisfare le attese del docente Modalità ripetute Ontogenetici Introduzione del connettivo implicazione nella scuola elementare Metodo Logico-deduttivo alle scuole medie Epistemologici I numeri reali Gli insiemi infiniti Il limite Estensione delle proprietà dei naturali ad altri insiemi numerici Lo zero e l’insieme vuoto

16. I misconcetti Sono concetti errati o vere e proprie teorie alternative che il discente crea ed applica in modo corretto. Spesso indicano che lo studente sta incamerando e facendo propri i nuovi concetti proposti dal docente. Se opportunamente utilizzati dal docente possono aiutare lo studente ad apprendere in modo significativo.

17. Uso di falsi modelli Uso di modelli devianti da parte del docente: Continuare a definire la moltiplicazione come ‘‘somma del primo fattore per se stesso tante volte quante ci dice il secondo’’. Dividere significa ripartire molti aggetti in poche scatole. Retta o segmento come collana di perline Insieme come collezione di oggetti

18. Tentativo di soddisfare le attese del docente Lo studente non agisce spontaneamente ma applica il metodo che ritiene il docente si aspetti da lui.

19. Modalità ripetute Uso della variabile x. Alcune costruzioni geometriche come

20. I procept Un procept è un concetto o termine che indica simultaneamente un processo ed i risultato di quel processo. Somma Prodotto Derivata Limite

21. Il ruolo della storia della matematica. Motivare l’introduzione di alcune operazioni. Conoscere storie di matematici come uomini. Consente di introdurre nuovi concetti seguendone l’evoluzione storica. Non oggetto di verifica.

22. Il problema del contesto Problema: In un prato ci sono 30 pecore, 7 capre e due cani. Quanti anni ha il pastore? 12 alunni su 14 sommano i dati e rispondono che il pastore ha 29 anni. 1 alunno risponde che i dati sono insufficienti. 1 alunno risponde: ‘’Se ci sono 2 cani per così poche bestie forse uno dei due cani gli serve perché è non vedente. Quindi deduco che abbia 70/76 anni.’’

23. Il compromesso delle risposte corrette Studente 1: = = = Alla domanda: ’’Quale numero è più grande tra e ?‘’, lo studente risponde ‘‘perché il denominatore è più piccolo e quindi la parti sono più grandi e una di queste parti grandi è più di tre parti piccole.’’ Studente 2: c è 15 pezzi. Quindi rimangono 9 pezzi su 18. La risposta è . All’osservazione che la risposta giusta è . Lo studente fa osservare che dal disegno si vede che è la stessa cosa.

24. La valutazione Marco (quarta liceo) (x+1)(x+2) Marco scrive x+1(x+2) ed esegue x2+2x+x+2 Scenetra (seconda elementare) 34 + 9 = 43 34 + 11= ? Scenetra esegue l’addizione usando l’algoritmo e non ricorrendo al risultato della somma precedente.

25. La valutazione In matematica l’errore ha un ruolo più importante che nelle altre materie ? E’ vero che in matematica è più facile dare una valutazione oggettiva?

26. La valutazione Paura di sbagliare Paura di disattendere le aspettative del docente

27. Il monitoraggio dei processi di apprendimento Verifiche formative Verifiche sommative Verifiche di recupero

28. Galleria 437 - 284 = ___ 253 Johnnie (seconda elementare) Insegnante: Hai dimenticato di togliere 1 dal 4. Johnnie non reagisce e non si corregge.

29. Galleria 278 - 135 = ___ 143 352 - 146 = ___ 214 406 - 219 = ___ 213 Far fare la prova.

30. Galleria Scenetra (seconda elementare) 34 + 9 = 43 34 + 11= ? Scenetra esegue l’addizione usando l’algoritmo e non ricorrendo al risultato della somma precedente.

31. Galleria Luca (terza elementare) Problema: Nonna Adele porta un sacchetto di caramelle ai nipotini Elisa e Matteo e gliele offre richiedendo che essi non guardino dentro il sacchetto. Il sacchetto contiene 3 caramelle all’arancia e 2 al limone. Matteo prende la caramella per primo. E’ più facile che egli prenda una caramella al limone o all’arancia? Luca: E’ più facile che gli capiti all’arancia, altrimenti di limone ne rimaneva una sola.

32. Galleria Azzurra (terza media) Per trovare il perimetro di un rettangolo che ha i lati di 12 cm e 8 cm, moltiplica 12*8. L’insegnante: ’’ Perché moltiplichi? Devi trovare il perimetro.’’ Azzurra: ’’Allora divido?’’

33. Galleria Alessandro (seconda liceo) Problema: Trovare l’area di un rettangolo sapendo che il perimetro è 126 cm e che l’altezza è ¾ della base. Alessandro disegna ma non conclude l’esercizio. Alle insistenze dell’insegnante sulla facilità di portare a termine l’esercizio Alessandro dice: ‘’Ma non mi riusciva’’.

34. Galleria Marco (quarta liceo) (x+1)(x+2) Marco scrive x+1(x+2) ed esegue x2+2x+x+2

35. Galleria Alice (quarta ginnasio) Non distingue tra ipotesi e tesi nonostante l’insegnante glielo spieghi ripetutamente.

36. Galleria Martina (seconda liceo) L’insegnante mostra il seguente controesempio: Martina dice di aver capito ma dopo pochi minuti esegue

37. Galleria Irene (prima liceo) x2=3x-2 Irene scrive x2+3x+2=0 e poi risolve correttamente l’equazione.

38. Galleria Nicola (terza liceo) -7x2 < Nicola esegue: x2< 7x2 - > 0 E poi si ferma.

39. Galleria Se ieri ho vinto 2 partite su 3 e oggi ne ho vinte 5 su 7, in tutto ho vinto 7 partite su 10.

40. Galleria Gruppo di matricole di Ingegneria In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. 6S=P  Ci sono 6 studenti per ogni professore. S sta per la parola studente e non per una variabile indicante il numero di studenti.

41. Galleria I: Qual è l’intero successivo a 17? A: 18. I: Cosa bisogna fare per ottenere 18 da 17? A: Aggiungere 1. I: Quindi se io indico con x un intero come chiamerò l’intero successivo? A: Y.

42. Galleria I: Siano W e N due interi che soddisfano le uguaglianze: 7xW+22=109 7xN+22=109 Qual è il maggiore tra W e N? Perché? A: W, perché viene dopo nell’alfabeto.