Regras de Inferência

1. Regras de Inferência • Como gerar na Lógica Proposicional formas válidas de argumento? • Regras de Inferência permitem gerar formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação. • Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência. • Existem 10 regras básicas: uma para incluir e outra para excluir cada um dos operadores lógicos.

2. Ex: {C, SA, CS} |-- A • 1. C P • 2. SA P • 3. CS P • 4. S 1 e 3 MP • 5. A 2 e 4 MP

3. Derivação • Uma derivação (prova) de uma forma de argumento é uma seqüência de enunciados <e1, e2, .... en>, onde: • en é a conclusão • Cada e1, e2, .... en pode ser: • Uma premissa ou • O resultado da aplicação de uma regra à enunciados anteriores.

4. Derivação • No exemplo, temos que a seqüência de fórmulas (que representam os enunciados). 1, 2, ....5 é uma derivação ou uma prova da forma indicada. • A regra utilizada MP chama-se Modus Ponens (modo afirmativo).

5. Modus Ponens (MP): • de um condicional e de seu antecedente, podemos inferir o seu conseqüente. α α  β β

6. Ex: {~P(QR), ~P, Q} |-- R 1. ~P(QR) P 2. ~P P 3. Q P 4. QR 1 e 2 MP 5. R 3 e 4 MP

7. Eliminação da negação (~E): • de uma fórmula da forma ~~α, podemos inferir α. ~~α α

8. Ex: {~P  ~~Q, ~~~P} |-- Q 1. ~P  ~~Q P 2. ~~~P P 3. ~P 2 ~E 4. ~~Q 1 e 3 MP 5. Q 4 ~E

9. Introdução de conjunção (^I): • de quaisquer fórmulas α e β. podemos inferir a conjunção α e β. α β α ^ β

10. Eliminação de conjunção (^E): • de uma conjunção podemos inferir qualquer um dos seus componentes. α ^ β α ^ β α β

11. Ex:{P(Q^R), P} |-- P ^ Q • 1. P(Q^R) P • 2. P P • 3. Q^R 1 e 2 MP • 4. Q 3 ^E • 5. P ^ Q 2 e 4 ^I

12. Ex:{(P^Q)(R^S),~~P, Q} |-- S • 1. (P^Q)(R^S) P • 2. ~~P P • 3. Q P • 4. P 2 ~E • 5. P ^ Q 3 e 4 ^I • 6. R^S 1 e 5 MP • 7. S 6 ^E

13. Introdução de disjunção (νI) : • de uma fórmula α, podemos inferir a disjunção de α com qualquer fórmula β. α . α v β

14. Ex:{P |-- (PvQ) ^ (PvR)} • 1. P P • 2. PvQ 1 vI • 3. PvR 1 vI • 4. (PvQ) ^ (PvR) 2 e 3 ^I

15. Ex:{P, ~~(PQ) |--(R^S)vQ} • 1. P P • 2. ~~(PQ) P • 3. PQ 2 e ~E • 4. Q 1 e 3 MP • 5. (R^S)vQ 4 e vI

16. Eliminação de disjunção (vE): • De quaisquer fórmulas da forma α v β, αγ, βγ , podemos inferir γ. α v β αγ βγ γ

17. Exemplo: • Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana. • {SvD, SF, DF} |-- F

18. Introdução do Bicondicional (): • de quaisquer fórmulas da forma α  β e β α, podemos inferir αβ. α  β β α αβ

19. Eliminação do Bicondicional (E): • de qualquer fórmula da forma αβ, podemos inferir as fórmulas α β ou β α. αβ , αβ αβ βα

20. Exemplos: • Hoje é um fim de semana se e somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. • {F(SvD), S} |-- F

21. {F(SvD), S} |-- F • 1. F(SvD) P • 2. S P • 3. SvD 2 vI • 4. (SvD)F 1 E • 5. F 2 e 4 MP

22. {PQ, (PQ)(QP)} |-- PQ • 1. PQ P • 2. (PQ)(QP) P • 3. QP 1 e 2 MP • 4. PQ 1 e 3 I

23. Regras Hipotéticas • Introdução do condicional e da negação empregam raciocínio hipotético: • Raciocínio baseado em hipóteses. • As hipóteses não são consideradas como verdadeiras, elas são "artifícios lógicos" (estratégia de prova).

24. Exemplo: • Um atleta machucou o tornozelo uma semana antes de um campeonato de corrida e seu técnico procura convencê-lo a parar alguns dias para que seu tornozelo sare totalmente: O técnico argumenta: "Se você continuar a correr, você não estará apto para disputar o campeonato". O atleta não se convence e diz: "Prove isso".

25. Solução • A maneira mais comum de provar um condicional é colocar o seu antecedente como hipótese (admiti-lo como verdadeiro) e provar que a partir dele seu consequente se verifica. Para esse exemplo, equivale a raciocinar do seguinte modo:

26. Solução • "Olhe, suponhamos que você continue correndo, o seu tornozelo está muito inchado. Se ele está muito inchado e você continuar correndo, ele não sarará em uma semana. Se ele não sarar em uma semana, então você não estará apto para disputar o campeonato. Deste modo, você não estará apto para disputar o campeonato."

27. Solução • O novo argumento emprega três suposições afirmadas como verdadeiras: 1) Seu tornozelo está muito inchado. 2) Se o seu tornozelo está muito inchado e você continuar correndo, ele não irá sarar em uma semana. 3) Se o seu tornozelo não sarar em uma semana, então você não estará apto a disputar o campeonato.

28. Solução • O argumento hipotético demonstra que se a hipótese"você continuar correndo" é verdadeira, então a conclusão do argumento "você não estará apto para disputar o campeonato", se verifica. Assim, fica provada a verdade do condicional: "Se você continuar correndo, você não estará apto a disputar o campeonato".

29. Formalizando: • Suposições desse argumento hipotético: 1. I Tornozelo está inchado 2. (I ^ C)~S Se tornozelo inchado e continuar correndo, então não irá sarar. 3. ~S~A Se seu tornozelo não sarar você não estará apto para o Campeonato. • Conclusão a ser provada: C~A Se você continuar correndo agora, você não estará apto para Campeonato.

30. Formalizando: • Forma do novo argumento: {I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A

31. Derivação:{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A • 1. I P • 2. (I ^ C)~S P • 3. ~S~A P • 4. | C H p/ PC • 5. | I ^ C 1 e 4 ^I • 6. | ~S 2 e 5 MP • 7. | ~A 3 e 6 MP • 8. C~A 4 e 7 PC

32. Prova do Condicional (PC): • Dada uma derivação de uma fórmula  a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir  {} ├   • Em relação ao exemplo da corrida,  é C e  é ~A.

33. Outros exemplos: • Ex. 1: • {P  Q, Q  R} ├ P  R • 1. P  Q P • 2. Q  R P • 3. | P H p/PC • 4. | Q 1 e 3 MP • 5. | R 2 e 4 MP • 6. P  R 3 e 5 PC

34. Outros exemplos: • Ex. 2: • {(P ^ Q)  R} ├ P  (Q  R) • 1. (P ^ Q)  R P • 2. | P H p/PC • 3. | | Q H p/PC • 4. | | P ^ Q 2 e 3 ^I • 5. | | R 1 e 4 MP • 6. | Q  R 3 e 5 PC • 7. P  (Q  R) 2 e 6 PC

35. Outros exemplos: • Ex. 3: {(P ^ Q) v (P ^ R)} ├ P ^ (Q v R) • 1. (P ^ Q) v (P ^ R) P • 2. | P ^ Q H • 3. | P 2 p/ ^E • 4. | Q 2 p/ ^E • 5. | Q v R 4 p/ vI • 6. | P ^ (Q v R) 3 e 5 ^I • 7. (P ^ Q)  P ^ (Q v R) 2 e 6 PC • 8. | P ^ R H • 9. | P 8 p/ ^E • 10. | R 8 p/ ^E • 11. | Q v R 10 p/ vI • 12. | P ^ (Q v R) 9 e 11 ^I • 13. (P ^ R)  P ^ (Q v R) 8 e 12 PC • 14. P ^ (Q v R) 1 e 7 e 13 vE

36. Redução ao Absurdo (RAA): • Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir ~. {} ├  ^ ~ ~ • Obs: Uma contradição é qualquer fórmula da forma  ^ ~, onde  pode ser qualquer fórmula.

37. Ex: {P  Q, ~Q} ├ ~P • 1. P  Q P • 2. ~Q P • 3. | P H p/RAA • 4. | Q 1 e 3 MP • 5. | Q ^ ~Q 2 e 4 ^I • 6. ~P 3 e 5 RAA

38. Ex: {(~P  P)} ├ P • 1. ~P  P P • 2. |~P H p/RAA • 3. |P 1 e 2 MP • 4. |P ^ ~P 2 e 3 ^I • 5. ~~P 2 e 4 RAA • 6. P 5 ~E

39. Regras Derivadas • 1- Modus Tollens (MT): (modo negação) {P  Q, ~Q} ├ ~P • Derivação: 1. P  Q P 2. ~Q P 3. | P H p/ RAA 4. | Q 1e 3 MP 5. | Q ^ ~Q 2e 4 ^I 6. ~P 3e 5 RAA

40. Regras Derivadas • 2 – Contradição (CONTRAD): {P, ~P} ├ Q • Derivação: 1. P P 2. ~P P 3. | ~Q H 4. | P ^ ~P 1 e 2 ^I 5. ~~Q 3 e 4 RAA 6. Q 5 p/ ~E

41. Regras Derivadas • 3 - Silogismo Disjuntivo (SD): {P v Q, ~P} ├ Q • Solução: 1. P v Q P 2. ~P P 3. | P H p/PC 4. | Q 2 e 3 CONTRAD 5. P  Q 3 e 4 PC 6. | Q H p/PC 7. Q  Q 6 e 6 PC 8. Q 1 e 5 e 7 vE

42. Exercício: • Mostre que os seguintes argumentos são válidos: • Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

43. Solução: • Identificando as Sentenças: • P: as premissas deste argumento são verdadeiras. • S: este argumento é correto. • V: este argumento é válido. • Formalizando: {(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S

44. Prova:{(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S 1. (~S ^ V)  ~P P 2. P P 3. V P 4. | ~S H p/RAA 5. | ~S ^ V 3 e 4 ^I 6. | ~P 1 e 5 MP 7. | P ^ ~P 2 e 6 ^I 8. ~~S 4 e 7 RAA 9. S 8 ~E

45. Exercício: • Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. {D  V, ~V} ├ ~D • Derivação: 1. D  V P 2. ~V P 3. | D H 4. | V 1 e 3 MP 5. | V ^ ~V 2 e 4 ^I 6. ~D 3 e 5 RAA

46. ou então: {D  V, ~V} ├ ~D 1. D  V P 2. ~V P 3. ~D 1 e 2 MT

47. Exercício: • Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado. {Q  X, X  S} ├ Q  S

48. Prova:{Q  X, X  S} ├ Q  S 1. Q  X P 2. X  S P 3. | Q H 4. | X 1e 3 MP 5. | S 2e 4 MP 6. Q  S 3e 5 PC