第七章存储模型 ---- Inventory Models

第七章存储模型----Inventory Models

第一节有关存储论的基本概念 一、存储的有关概念（一）、存储 • 存储——就是将一些物资（如原材料、外购零件、部件、在制品等等）存储起来以备将来的使用和消费；（二）、存储的作用 • 存储是缓解供应与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。

（三）存储问题 • 首先，有存储就会有费用（占用资金、维护等费用——存储费），且存储越多费用越大。存储费是企业流动资金中的主要部分。 • 其次，若存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失（失去销售机会、失去占领市场的机会、违约等）。 • 因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。

二、存储模型中的几个要素 （一）存储策略(Inventory policy) 存储策略——解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种类型： 1．t0循环策略——每隔t0时间补充库存，补充量为Q。这种策略是在需求比较确定的情况下采用。 2．（s，S）策略——当存储量为s时，立即订货，订货量为Q=S－s，即将库存量补充到S。 3．（t，s，S）策略——每隔t时间检查库存，当库存量小等于s时，立即补充库存量到S；当库存量大于s时，可暂时不补充。

（二）费用 1．订货费 ——企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。（1）订购费(ordering cost)——手续费、电信往来费用、交通费等。与订货次数有关；（2）货物成本费——与所订货物数量有关，如成本费、运输费等。 2．生产费 ——企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。（1）装备费(setup cost)——与生产次数有关的固定费用；（2）消耗性费用——与生产数量有关的费用。 • 对于同一产品，订货费与生产费只有一种。 3．存储费用(holding cost) ——保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。 4．缺货费(backorder cost) ——因缺货而造成的损失，如：机会损失、停工待料损失、未完成合同赔偿等。

（三）提前时间 (lead time) • 通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。（四）目标函数 • 要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡量优劣的准绳，这就是目标函数。 • 在存储论模型中，目标函数——平均费用函数或平均利润函数。最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策略。

（五）求解存储问题的一般方法 （1）分析问题的供需特性；（2）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费等）；（3）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；（4）求使平均费用最小（或平均利润最大）的存储策略（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）

存储量 斜率－R Q 0.5Q t 时间T 第二节经济订购批量存储模型Economic Ordering Quantity (EOQ) Model 一、模型假设 (1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数；二、存储状态

三、存储模型 （一）存储策略 • 该问题的存储策略就是每次订购量，即问题的决策变量Q，由于问题是需求连续均匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t，即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。（二）优化准则 • t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，因此，t时间内平均费用最小，总体平均费用就会最小。

（三）目标函数 根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时间内的平均费用，即 C=C（t）；（1）t时间内订货费 t时间内订货费= 订购费 + 货物成本费 = c3+KRt （其中K为货物单价）（2）t时间内存储费存储费 = 平均存储量×单位存储费×时间 = (1/2)Qc1t = (1/2)c1Rt2 （3）t时间内平均费用（目标函数） C（t）= [(1/2)c1Rt2 + c3 + KRt]/t = (1/2)c1Rt + c3 /t+ KR

（四）最优存储策略 在上述目标函数中，令dc/dt = 0 得即每隔t*时间订货一次，可使平均费用最小。有即当库存为零时，立即订货，订货量为Q*，可使平均费用最小。 Q*——经济订货批量（Economic Ordering Quantity， E.O.Q）

C C(t) (1/2)c1Rt：存储费用曲线 c3/t：订购费用曲线 O t t* 图7—2 （五）平均费用分析 • 由于货物单价K与Q*、t*无关，因此在费用函数中可省去该项。 • 即 C（t）= (1/2)c1Rt + c3 /t

C C(Q) (1/2)c1Q：存储费用曲线 c3R/Q：订购费用曲线 O Q Q* 费用函数还可以描述成订购量的函数，即 C（Q）= (1/2)c1Q + c3 R/Q 此时，费用函数如下图所示：

四、实例分析 • 教材P176实例 • 某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下：（1）方便面每周需求3000箱；（2）每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款利息3.6元，仓库费用、保险费用、损耗费用管理费用等2.4元。（3）每次订货费25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元，支付手续费、电话费、交通费等13元。（4）方便面每箱价格30元。

解：（1）人工计算 c1=6/52=0.1154元∕周·箱；c3=25元∕次；R=3000箱∕周。因此有（箱） t*=Q*∕R=1140.18∕3000=0.38（周）=2.66（天）最小费用

（2）计算机求解 运筹学软件均是以年为单位，需输入如下数据： c1=6元∕年·箱；c3=25元∕次；R=3000×52=156000箱∕年。存储率=20%（存储费占价格比例）；每年天数：365天；计算结果为：最优订货量： 1140.175 每年存储成本： 3420.526元每年订货成本： 3420.526元成本总计： 6841.053元最大存储水平： 1140.75 平均存储水平： 570.088 再订货点： 427.397 每年订货次数： 136.821 周期： 2.668

在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改： • （1）将订货周期该为3天，每次订货量为3×3000（52∕365） =1282箱； • （2）为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每3天订货1282箱； • （3）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货点为427+200=627箱。 • 这样，公司一年总费用为： C=0.5×1282×6 + (365÷3)×25 + 200×6=8087.67元

第三节经济生产批量模型----Economic Production Lot Size Model • 经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。一、模型假设 • 需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； • 每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； • 当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以P－R的速度增加；当生产t时间以后，停止生产，此时存储量为（P－R）t，以该存储量来满足需求。当存储量降至零时，再开始生产，开始一个新的周期。

斜率R 斜率P－R 存储量 S 0.5S 时间T t1 t 二、存储状态图 • 设最大存储量为S；总周期时间为T，其中生产时间为t，不生产时间为t1；存储状态图如下图。

三、存储模型 1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量； 2．优化准则：t+t1时期内，平均费用最小； 3．费用函数：（1）生产时间 t=Q∕P；（2）最大存储量 S=(P－R)t=(P－R)Q/P （3）不生产时间与总时间： t1=S∕R=(P－R)Q∕(P×R) t+t1=Q∕P+(P－R)Q∕(PR)=Q∕R （4）t+t1时期内平均存储费： 0.5S c1 = 0.5 c1 (P－R)Q∕P （5）t+t1时期内平均生产费用：c3∕(t+t1) = c3R∕Q （6）t+t1时期内总平均费用： C=0.5 c1 (P－R)Q∕P +c3R∕Q

4．最优存储策略 在上述费用函数的基础上：令 dc/dQ = 0 有最佳生产量最佳生产时间最佳循环时间循环周期内平均费用上述各参数的单位均以c1的单位为参照

四、实例计算 • 某存储问题，有关参数如下：R=4900个/年；P=9800个/年；c1=1000元/个·年；c3=500元/次： • 计算结果为： • 最优生产量： 98.995 Q* • 每年存储成本： 24748.74元 • 每年生产准备成本： 24748.74元 • 成本总计： 49497.38元 • 最大存储水平： 49.497 • 平均存储水平： 24.749 • 再生产点： 19.6 • 每年生产次数： 49.497 R/Q* • 周期： 5.051 250/（R/Q*）

第四节允许缺货的经济订购批量模型----An Inventory Model with Planned Shortage • 所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以在等待一段时间后订货。 • 若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，从经济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。一、模型假设（1）顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心等待直到新的补充到来。当新的补充一到，立即将货物交付给顾客。这是允许缺货的基本假设，即缺货不会造成机会损失。（2）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；

存储量 S O 时间T Q－S t2 t1 T 二、存储状态图 • 设最大存储量为S，则最大缺货量为Q－S，每次订到货后立即支付给顾客最大缺货量Q－S；总周期时间为T，其中不缺货时间为t1，缺货时间为t2；存储状态图如下图。

三、存储模型 1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量； 2．优化准则：T时期内，平均费用最小； 3．费用函数：（1）不缺货时间 t1=S∕R；（2）缺货时间 t2=（Q－S）∕R （3）总周期时间 T=Q∕R （4）平均存储量 0.5S×t1∕T=0.5S2∕Q （5）平均缺货量 0.5（Q－S）×t2∕T = 0.5（Q－S） 2 ∕ Q （6）T时期内平均存储费： 0.5c1S2∕Q （7）T时期内平均缺货费： 0.5c2（Q－S）2∕Q （5）T时期内平均订购费用： c3∕T = c3R∕Q （6）T时期内总平均费用： C（S，Q）=0.5c1S2∕Q + 0.5c2（Q－S）2∕Q + c3R∕Q

4．最优存储策略 令有最佳订购量最佳（最大）存储量最佳循环时间周期内平均费用

四、实例计算

第五节允许缺货的经济生产批量模型 • 允许缺货，补充不是靠订货，而是靠生产。一、模型假设（1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；（3）当缺货一段时间后时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以P－R的速度增加；停止生产时，以存储量来满足需求。

存储量 S t2 t1 时间T H T 二、存储状态图 • 设最大存储量为S，则最大缺货量为H；总周期时间为T，其中存储时间（不缺货时间）为t1，缺货时间为t2。存储状态图如下图。

三、存储模型 1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量； 2．优化准则：T时期内，平均费用最小； 3．费用函数：（1）不缺货时间：包括两部分，一部分是存储增加的时间，另一部分是存储减少的时间，因此有：（2）缺货时间：也包括两部分，一部分是缺货增加的时间，另一部分是缺货减少的时间，所以有：（3）总周期时间：等于存储时间与缺货时间之和，即：

（4）平均存储量 （5）平均缺货量（6）T时期内平均存储费（7）T时期内总平均费用，即费用函数： • 4．最优存储策略 • 令

最大缺货量 最佳（最大）存储量有最佳订购量即最佳循环时间周期内平均费用

四、实例计算 实例总结 R=4900个/年；P=9800个/年；c1=1000元/个·年；c2=2000元/个·年；c3=500元/次；计算结果为：最优生产量： 121.244 Q* 每年存储成本： 13471.51元每年缺货成本： 6735.752元每年生产准备成本: 20207.26元成本总计： 40414.52元最大存储水平： 40.415 平均存储水平： 13.472 最大缺货量： 20.207 平均缺货量： 3.368 周期： 6.186 250/（R/Q*）

第六节经济订货批量折扣模型-----Quantity Discount for the EOQ Model • 在很多情况下，购买商品的数量与商品的价格有关，一般是购买的数量越多，商品的价格越低。 • 由于不同的订货量商品的价格不同，所以我们在决定最优订货量时，不仅要考虑到存储费和订货费，同时要考虑到商品的购买成本。

一、模型构造与分析 • 根据上述分析，在有价格折扣的情况下，一个订货周期内的平均费用应用下列函数描述，即： • 式中K（Q）为商品价格，为订货量Q的函数。要使一个订货周期内的平均费用最小，同样 • 令有 • 由于dK∕dQ<0，因此，Q0*>Q*，即有价格折扣时的最优订货量要大于没有价格折扣时的最优订货量。 • 当dK∕dQ为常数时，可直接从上述公式中求出有价格折扣时的最优订货量。但一般情况是，随着订货量的再增加，商品的价格折扣也会降低，即dK∕dQ的绝对值会越来越小，亦即Q0*又有下降的趋势。

二、模型的求解 • 上面进行的是在商品价格变化为连续情况下的分析，实际情况是商品的价格折扣是离散的，即当订货量为Gi≤Q <Gi+1时，商品的价格为Ki，此时，平均费用为： • 为此，有如下求解步骤：（1）先求出最佳批量，并确定落在哪个区，若落在Gi≤Q <Gi+1，此时（2）取Q=Gi+1，Gi+2，…，代入上述公式计算Ci，取Ci最小者对应的G值为最优订货批量。

订货量（箱） 1～49 50～99 100以上单价（元/箱） 500 480 475 三、实例计算 • 实例总结 • R=300个/年；c1=100元/个·年；c3=200元/次；价格与订货量的关系如下表所示。解

同理有 因此，该问题的最优订货量为50张/年，最小费用为147700元。《数据模型与决策》P366案例的计算机求解 D=5000; C0=49; Ch=0.2K (K为价格); m=2天.

第七节需求为随机的单一周期模型----A Single-Period Inventory Model with Probabilistic Demand • 通常情况下，需求是一个随机变量。 • 所谓需求是随机变量的单一周期存储问题是指，某种商品的市场需求是随机变量，其分布为已知。这类商品或更新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，期末未售出商品降价处理或完全损失掉（如季节性服装、贺年卡、食品、报纸等）。 • 这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损失，若订货量过小，会因供不应求而造成机会损失。

一、需求为离散随机变量情况下的模型 （一）报童问题 • 报童每天销售的报纸数量是个随机变量，每出售一份报纸赚k元，若当天报纸未售出则每份赔h元。根据以往经验，每天报纸的需求量为r的概率为P（r），问报童每天最好准备多少报纸？（二）最优订购量模型 • 设报童每天订Q份报纸 • 当 Q≥r时，报童损失： h（Q－r）元 • 当 Q < r时，报童机会成本： k（r－Q）元

由于r是离散的，故报童订Q份报纸的期望损失为：由于r是离散的，故报童订Q份报纸的期望损失为： • 使期望损失最小的最佳订购量Q*必满足如下两个条件：（1） C（Q*）≤C（Q*+1）（2） C（Q*）≤C（Q*－1）由（1）有由（2）有因此，最优订购量Q*应满足下列不等式：

需求数（百份） 5 6 7 8 9 10 概率 0.06 0.1 0.23 0.31 0.22 0.08 累计概率 0.06 0.16 0.39 0.70 0.92 1 （三）应用举例 • 某报亭出售某种报纸，其需求量在5百至1千份之间，需求的概率分布如下表。又已知该报纸每售出一百份利润22元，每积压一百份损失20元，问报亭每天应订购多少份这种报纸，利润最大。

解：由题意有：k=22、h=20 所以由表中累计概率可知：故，报亭每天订购该种报纸的份数应在700份到800份之间。

二、需求为连续随机变量情况下的模型 （一）问题描述 • 某商品单位成本为k，单位售价为P，单位存储费为c1，需求r是连续的随机变量，密度函数为φ（r），其分布函数为生产或订购数量为Q，问如何确定Q，使利润期望值最大？

（二）存储模型 • 期望收入为： • 期望费用为： • 因此，期望利润为：

令又令再令有即由该式可解得Q*。若P≤K，由F（Q）≥0可知上式等式不成立，即Q*=0，即价格小于成本时不能订货。

举例：某公司出售某种商品，其单位成本为10元/件，单位售价为15元/件，单位存储费为2元/件。需求量为随机变量，且服从分布N（200，302），试确定最佳定货量。举例：某公司出售某种商品，其单位成本为10元/件，单位售价为15元/件，单位存储费为2元/件。需求量为随机变量，且服从分布N（200，302），试确定最佳定货量。 • 解：依题意，K=10，P=15，c1=2，µ=200，σ=30 因此有： F（Q）=（P-K）/（P + c1）=5/17=0.294 即： Φ [（Q－µ）/ σ]=0.294 又： Φ [－（Q－µ）/ σ]=1－ Φ [（Q－µ）/ σ] =1－0.294=0.706 查正态分布表有： Φ （0.54）=0.706 即：－（Q－µ）/ σ=0.54 所以： Q= µ－0.54σ=200－0.54×30=184

第八节需求为随机的多周期模型----Multi-Period Inventory Models with Probabilistic Demand • 在多周期的模型里，上一周期未售完的产品，可存储到下一周期销售。 • 其费用不包括机会成本，而只有订货费和存储费。 • 由于需求是随机的，我们不能准确地知道周期的确切长度，也无法准确确定再订货点的来到时间，因此，存储策略也与确定性存储模型不同。 • 由于需求是随机变量，若要保证每周期不缺货或缺货在某一个确定的数量上几乎不可能。但我们可以考虑在一定置信水平下的不缺货，或缺货在某一确定的数量上。例如，在某一段时间内出现缺货的概率为α，即出现不缺货的概率为1－α。这里的置信水平即服务水平。

一、订货批量与再订货点服务水平模型 • 问题的描述：某种商品，周期内平均需求量为R，单位存储费为c1，每次订货费c3，商品备运期（提前期）为m天，m天内商品的需求量为r，r为服从某种分布的随机变量，一般认为服从均值为μ均方差为σ的正态分布。服务水平为允许缺货的概率小于α。求每周期的最优订货量和满足服务水平的再订货点。 • 该问题的特点是：其存储策略为最优订货批量和再订货点，即当存储量降至再订货点时订货，则可满足给定的服务水平。

（一）每周期的最优订货量 • 按经济订货批量模型计算，即（二）满足服务水平的再订货点 • 由概率论的知识可知： • 即不会缺货的概率为： 1－α。 • 查概率表 • 可得到 • 这样有 • x即为满足服务水平的再订货点。

第七章存储模型 ---- Inventory Models