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Chapter 1 演算法分析

Chapter 1 演算法分析. 1.1 演算法 1.2 Big-O. 演算法分析 演算法是解決一問題的有限步驟，而評斷演算法的優劣可利用 Big-O 分析之，如 O(n) 比 O(n 2 ) 來得佳。. 1.1 演算法. 演算法（ Algorithms ）是一解決問題（ problems ）的有限步驟程序。 舉例來說，現有一問題為：判斷數字 x 是否在一已排序好的數字串列 s 中，其演算法為： 從 s 串列的第一個元素開始，依序的比較，直到 x 被發現或 s 串列已達盡頭。假使 x 被找到，則印出 Yes ；否則，印出 No 。. 1.1 演算法.

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Chapter 1 演算法分析

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  1. Chapter 1 演算法分析 1.1 演算法 1.2 Big-O

  2. 演算法分析 • 演算法是解決一問題的有限步驟，而評斷演算法的優劣可利用Big-O分析之，如O(n)比O(n2)來得佳。

  3. 1.1 演算法 • 演算法（Algorithms）是一解決問題（problems）的有限步驟程序。 • 舉例來說，現有一問題為：判斷數字x是否在一已排序好的數字串列s中，其演算法為：從s串列的第一個元素開始，依序的比較，直到x被發現或s串列已達盡頭。假使x被找到，則印出Yes；否則，印出No。

  4. 1.1 演算法 • 當問題很複雜時，上述敘述性的演算法就難以表達出來。因此，演算法大都以類似的程式語言表達之，繼而利用您所熟悉的程式語言執行之。

  5. 1.1 演算法 • “他的程式寫得比我好嗎？” • 應該利用客觀的方法進行比較，而此客觀的方法就是複雜度分析（complexity analysis）。 • 首先必須求出程式中每一敘述的執行次數（其中｛和｝不加以計算），將這些執行次數加總起來。然後求出其Big-O。

  6. 1.1 演算法 • 陣列元素相加（Add array members）

  7. 1.1 演算法 • 矩陣相乘（Matrix Multiplication）

  8. 1.1 演算法

  9. 1.1 演算法 • 循序搜尋（Sequential search）

  10. 1.1 演算法 • 二元搜尋（Binary search）

  11. 1.1 演算法 • 費氏數列（遞迴的片段程式）

  12. 1.1 演算法 • 費氏數列（非遞迴的片段程式）

  13. 1.2 Big-O • 如何去計算演算法所需要的執行時間呢？在程式或演算法中，每一敘述（statement）的執行時間為： • 此敘述執行的次數， • 每一次執行所需的時間，兩者相乘即為此敘述的執行時間。 • 由於每一敘述所須的時間必需實際考慮到機器和編譯器的功能，因此通常只考慮執行的次數而已。

  14. 1.2 Big-O • 下列有三個片段程式，請計算x=x+1的執行次數：

  15. 1.2 Big-O • 在分析演算法時，一般稱敘述的執行次數為order of magnitude，所以上述的(a) 、(b) 、(c)中，x=x+1的order of magnitude分別為1，n，n2。 • 而整個演算法的order of magnitude為演算法中每一敘述的執行次數之和。

  16. 1.2 Big-O • 算完程式敘述的執行次數後，通常利用Big-O來表示此演算法執行的時間。

  17. 1.2 Big-O • 請看下列範例： • 3n+2=O(n)，∵我們可找到c=4，n0=2，使得3n+2<4n • 10n2+5n+1=O(n2)，∵我們可以找到c=11，n0=6，使得10n2+5n+1<11n2 • 7*2n +n2+n=O(2n)，∵我們可以找到c=8，n0=4，使得7*2n+n2+n<8*2n • 10n2+5n+1=O(n3)，原來10n2+5n+1 O(n2)，而n3又大於n2，理所當然10n2+5n+1=O(n3)是沒問題的。

  18. 1.2 Big-O • 其實，我們可以加以證明，當 f(n)=amnm +...+a1n+a0時，f(n)=O(nm)

  19. 1.2 Big-O • 循序搜尋（sequential search）的情形可分，其平均搜尋到的次數為

  20. 1.2 Big-O • 二元搜尋法乃是資料已經皆排序好，因此由中間（mid）開始比較，便可知欲搜尋的資料（key）落在mid的左邊還是右邊，再將左邊的中間拿出來與key相比，只是每次要調整每個段落的起始位址或最終位址。

  21. 1.2 Big-O

  22. 1.2 Big-O • 搜尋的次數為log32+1=6，此處的log表示log2。資料量為128個時，其搜尋的次數為log128+1，因此當資料量為n時，其執行的次數為logn+1。

  23. 1.2 Big-O • 讀者大略可知二元搜尋比循序搜尋好得太多了，其執行敘率為O(logn) 。 • 費氏數列（Fibonacci number），其定義如下：

  24. 1.2 Big-O

  25. 1.2 Big-O

  26. 1.2 Big-O

  27. 1.2 Big-O • 當n=3(f3)從上圖可知需計算的項目為5；n=5時，需計算的項目數為15個。因此我們可以下列公式表示：

  28. 1.2 Big-O

  29. 1.2 Big-O • 上述費氏數列是以遞迴的方式算出，其Big-O為O(2n/2)，若改以非遞迴方式計算的話，其f(n)執行的項目為n+1項。 • 從上表得知，計算費氏數列若採用遞迴方法並不太適合，所以並不是所有的問題皆適合利用遞迴法，有關遞迴的詳細情形，請參閱第五章。

  30. 1.2 Big-O • Big-O的圖形表示如下：

  31. 1.2 Big-O • 例如有一程式的執行次數為n2+10n，則其Big-O為n2，表示此程式執行的時間最壞的情況下不會超過n2，因為 n2+10n≦2n2，當c=2，n≧10時

  32. 1.2 Big-O • 一般常見的Big-O有下列幾種情形： • O(1) 稱為常數時間（constant） • O(log n) 稱為次線性時間（sub-linear） • O(n) 稱為線性時間（linear） • O(n log n) 稱為n logn n • O(n2) 稱為平方時間（quadratic） • (n3) 稱為立方時間（cubic） • O(2n) 稱為指數時間（exponential） • O(n!) 稱為階層時間

  33. 1.2 Big-O • O(1)<O(log n) <O(n)<O(n log n) <O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(3n)<O(n!)，可由圖1-1或圖1-2得知。

  34. 1.2 Big-O

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