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Méthode du Simplex (Dantzig)

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Méthode du Simplex (Dantzig). La forme standard A différencier de : La forme canonique Inégalités ( ≤ ; ≥ ) Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥ La forme mixte Egalités en plus (=) Recherche de Maximum et de Minimum Transformation des formes canoniques et mixte :

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Presentation Transcript
m thode du simplex dantzig
Méthode du Simplex (Dantzig)
  • La forme standard
    • A différencier de :
      • La forme canonique
        • Inégalités ( ≤ ; ≥ )
        • Recherche de Maximum pour ≤ et Minimum pour ≥
      • La forme mixte
        • Egalités en plus (=)
        • Recherche de Maximum et de Minimum
    • Transformation des formes canoniques et mixte :
      • Tout doit être sous forme d’égalités
      • Il y a des règles de transformation
m thode du simplex dantzig1
Méthode du Simplex (Dantzig)
  • Règles de transformation
    • Inégalités ≤
      • Exemple : x1 + x2≤ 6
      • Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0
      • Mesure pour chaque variable de base (qte de produits) de l’écart entre les disponibilités et les consommationsprévues (x1 et x2) dans notre plan (Ouf!)
      • Application à l’exemple : x1 + x2+e3 = 6
m thode du simplex dantzig2
Méthode du Simplex (Dantzig)
  • Règles de transformation
    • Inégalités ≥
      • Exemple : x1 + x2≥ 6
      • Apparition d’une variable d’écart (VE) supposée ≥0
      • Et d’une variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici + 6)
      • Son rôle : rattraper la condition impossible «e3 = - 6» puisque e3 est supposée ≥0 !
      • Application à l’exemple : x1 + x2-e3+ e4= 6
      • La solution initiale recherchée comprendra :
        • 3 variables Hors Base : x1=0 ; x2=0 ; e3=0
        • 1 variable dans la Base : e4=6
m thode du simplex dantzig3
Méthode du Simplex (Dantzig)
  • Règles de transformation
    • Egalités =
      • Exemple : x1 + x2=- 6
      • Une unique variable artificielle (VA) de même signe que le second membre (ici -6)
      • Application à l’exemple : x1 + x2-e3=- 6
      • La solution initiale recherchée comprendra :
        • 2 variables HB : x1=0 ;x2=0
        • 1 variable B : e3= - 6
m thode du simplex dantzig4
Méthode du Simplex (Dantzig)
  • Obtention de la fonction économique Γ
    • Chaque VE => 0.VE (Recherche de Max ou Min)
    • Chaque VA => ± M . VA
      • +M.VA si recherche d’un minimum
      • - M.VA si recherche d’un maximum
      • M : très grand positif (Hors Base)
        • > Donne une VA nulle à la solution finale (non prise en compte)
  • Remarque :
    • Les VE issues de contraintes = ou ≥ sont HB
crit res de dantzig
Critères de Dantzig
  • Premier critère : la Ve
    • Recherche de minimum
      • Variable entrante = HB au plus petitcoeff strictement négatif dans Γ
      • Complément : sans coeff <0 mais un nul : elle est Ve
    • Recherche de maximum
      • Variable entrante = HB au plus grandcoeffstrictement positif dans Γ
      • Complément : sans coeff >0 mais un nul : elle est Ve
    • Remarque : à la main, exprimer Γ en fonction des variables HB (coeffs comprenant des M)
crit res de dantzig1
Critères de Dantzig
  • Deuxième critère : la Vs
    • Recherche de minimum ou de maximum
    • R’ = R/Ve
      • Ve = Var entrante trouvée précédemment
      • R = Valeur du second membre de chaque variable B
    • Vs = plus petite valeur positive dans R’
      • Correspond au coefficient le plus mineur parmi les variables B après intégration de la Ve
crit res de dantzig2
Critères de Dantzig
  • Complément sur les règles
    • Si un coeff nul apparait dans R (disparition d’une var B)
      • = ε petit >0
      • Donc R’ = ε/aijaij : coeff appartenant à la Ve
      • SSI aij > 0
    • Si aucun terme de R’ n’est > 0 mais qu’il en existe un nul
      • Il est pris en compte
      • Appelé dégénérescence du problème (plusieurs bases admissibles peuvent avoir un même point extrême)
    • Si tous les coefficients de R’ sont strictement négatifs
      • L’algorithme est fini : la zone admissible des solutions (ZAS) n’est pas bornée !