
Download
1 / 33

AXA NUMERELOR REALE - PowerPoint PPT Presentation


  • 203 Views
  • Uploaded on

. + ∞. - ∞. 0. 1. 3. 5. B. O. A. D. C. N  Z  Q  R. AXA NUMERELOR REALE. Mulţimi de numere. N=mulţimea numerelor naturale Z=mulţimea numerelor întregi Q=mulţimea numerelor raţionale R=mulţimea numerelor reale R-Q=mulţimea numerelor iraţionale. *. 0,6. *-1,7. *. *.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'AXA NUMERELOR REALE' - elvina


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Axa numerelor reale

+∞

-∞

0

1

3

5

B

O

A

D

C

NZQR

AXA NUMERELOR

REALE


Axa numerelor reale

Mulţimi de numere

N=mulţimea numerelor naturale

Z=mulţimea numerelor întregi

Q=mulţimea numerelor raţionale

R=mulţimea numerelor reale

R-Q=mulţimea numerelor iraţionale


Axa numerelor reale

*

0,6

*-1,7

*

*

*0,13

*-1

*1

7

3

2

*-2

*0

*5,7(3)

*2

*-3

*3,(4)

  • *

*

NZQR

N

Z

Q

R


Axa numerelor reale

2

4

  • Un număr scris cu virgulă nu este întreg.

  • Exemple: 0,516; -1,9; +34,78.

  • Un număr scris cu liniuţă de fracţie nu este întreg.

  • Exemple:

  • Un număr scris cu radical nu este raţional.

  • Exemple:

7

5

3

4

2

7

5

3

;

.

;

;

;

.

Adevărat sau fals ?


Axa numerelor reale

2

  • numere întregi scrise cu virgulă:

  • 51,0; -852,0; +6174,0.

  • numere întregi scrise cu liniuţă:

  • numere raţionale scrise cu radical:

8

5

4

1

4

9

;

.

;

;

.

0,36

Afirmaţiile anterioare sunt false. Demonstrăm cu metoda contraexemplului.

Atenţie ! Nu asociaţi automat numerele scrise cu radical cu numerele iraţionale!


Axa numerelor reale

NZQR

  • Georg Cantor (1845-1918) a avut o contribuţie remarcabilă în fundamentarea teoriei mulţimilor. În acelaşi timp el a dat o construcţie a numerelor reale printr-o metodă diferită de cele realizate de predecesorii săi.

  • Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însă considerat matematicianul grec

    Eudoxus (408-355 î.Hr.)

  • Ideile sale inspirate din geometrie au fost preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) şi de Richard Dedekind (1831-1916) şi dezvoltate prin metode aritmetice şi analitice moderne.


Axa numerelor reale

  • N = { 0, 1, 2, 3, …}

  • 0 este cel mai mic număr natural.

  • Nu există cel mai mare număr natural.

  • Numere care aparţin mulţimii N:

  • 58; 724; 100; 32689; 106.

  • Numere care nu aparţin mulţimii N:

  • -3; -12; 0,7; -5,2(6);; ; .

0

1

2

3

O

A

B

C

2

3

3

5

Mulţimea numerelor naturale


Axa numerelor reale

  • Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

  • Oricărui număr întreg pozitiv îi corespunde un număr întreg negativ.

  • Numere care aparţin mulţimii Z:

  • 24; -43; 625; -100; 27314; -106.

  • Numere care nu aparţin mulţimii Z:

  • 8,1; -0,5; 9,(7); -1,3(26); ; ; .

0

-2

-1

3

2

1

-3

O

A

B'

A'

C'

B

C

2

3

3

5

Mulţimea numerelor întregi


Axa numerelor reale

2

4

2

a

3

b

3

5

7

2

Mulţimea numerelor raţionale

  • Se notează cu Q

  • Orice număr raţional se poate scrie sub forma:

  • , aZ, b Z*

  • Numerele raţionale pot avea după virgulă:

  • - un număr finit de zecimale;

  • - o infinitate de zecimale care se repetă periodic;

  • - o parte finită urmată de o parte periodică.

  • Numere care aparţin mulţimii Q:

  • 0; 1; 10; -1; -106; 2-3; -0,5; 3,(74); 1,8(2); .

  • Numere care nu aparţin mulţimii Q:

  • ; ; ; ; .


Axa numerelor reale

;

;

;

;

2

4

2

3

3

5

7

2

Mulţimea numerelor reale

  • Se notează cu R

  • Un număr real este sau raţional, sau iraţional.

  • Numerele iraţionale au după virgulă o infinitate de zecimale fără parte periodică.

  • Numere care aparţin mulţimii R:

  • 0; 1; 10; -1; -106; 2-3 ; -0,5; 3,(74); 1,8(2); ;

  • Numere care nu aparţin mulţimii R:

  • soluţii ale unor ecuaţii precum: x2+1=0.


Axa numerelor reale

  • Numărul a are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8.

  • R-Q pentru că u(152)=2.

  • Numărul a este cuprius între două pătrate perfecte consecutive.

  • 72<56<82, deci R-Q.

  • Numărul a admite un divizor p, dar nu admite ca divizor pătratul lui p.

  • R-Q pentru că 115 5 şi 115 25.

a

56

152

115

Un număr de forma , aN, este iraţional dacă:


Axa numerelor reale

x

0

1

O

A

  • Ceeste axa numerelor reale ?

originea

sens pozitiv

OA=1

  • O dreaptă pe care am fixat:

  • un punct O numit origine;

  • un sens pozitiv (indicat de săgeată);

  • o unitate de măsură.


Axa numerelor reale

3

2

D( )

1

x

B

C

D

A

0

0

1

-1

- 0,5

2

2

2

3

3

3

Abscisa punctului D este . Scriem

  • Oricărui număr real i se poate asocia un punct de pe axa Ox şi reciproc, oricărui punct de pe axa Ox i se poate asocia un număr real;

  • Numerele reale “ocupă” toate punctele dreptei Ox


Axa numerelor reale

+∞

-∞

0

1

3

5

B

O

A

D

C

  • Cum reprezentăm pe axă

  • numerele iraţionale ?

aproximări

  • Folosind

construcţii geometrice


Axa numerelor reale

Aproximări

În funcţie de precizia cu care dorim să lucrăm, putem înlocui un număr real cu aproximări ale sale, care să aibă un ordin de mărime dat. De cele mai multe ori, nu avem nevoie de o precizie atât de mare încât să folosim rigla şi compasul pentru a reprezenta un număr pe axă. În aceste situaţii, recurgem la încadrarea numărului dat între două numere raţionale care îl aproximează prin lipsă, respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe axă numărul dat printr-un punct situat între punctele corespunzătoare unei încadrări date.


Axa numerelor reale

= 3,1622776...

3< 10 < 4

3,1< 10 < 3,2

3,16< 10 < 3,17

încadrare prin aproximare la unităţi

încadrare prin aproximare la zecimi

încadrare prin aproximare la sutimi

10

aproximare

prin lipsă

aproximare

prin adaos


Axa numerelor reale

= 3,1622776...

3

3

4

4

10

10

3,1

3,2

3,16

3,17


Axa numerelor reale

= 3,1622776...

10

10

10

0

4

O

B

3

A

Dacă avem nevoie de o precizie mai

mare, atunci folosim rigla şi compasul.

1


Axa numerelor reale

Anumite numere iraţionale, cum sunt radicalii, pot fi reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim teorema lui Pitagora, rigla şi compasul pentru a construi un segment de lungime :

2

2

2

+∞

-∞

0

1

2

O

A

B

C

Construcţii geometrice

1

1


Axa numerelor reale

a reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

b

c

2

2

2

a

b

c

+

=

TEOREMA LUI PITAGORA

Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor

lunghimilor catetelor este egală cu pătratul

lunghimii ipotenuzei.

Teorema stabileşte echivalenţa între o proprietate

geometrică (a fi un triunghi dreptunghic) şi o proprietate

numerică (suma pătratelor a două numere este pătratul

unui alt număr), trasând o legătură între

geometrie şi aritmetică


Axa numerelor reale

Pitagora reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

(570-480 î.Hr.)

  • matematician şi filozof grec, spunea:

  • Cedează întotdeauna cuvintelor blânde şi faptelor

  • folositoare.

  • Obişnuieşte-te să domini: lăcomia în primul rând,

  • apoi lenea, luxul şi mânia.

  • Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujeşte

  • mai rău decât duşmanul care ni le reproşează.

  • (Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 108)


Axa numerelor reale

2 reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

8

7

6

5

3

4

a

Spirala lui Arhimede

Desenul următor vă sugerează un procedeu pentru

a construi segmente de lungime

D

C

1

1

E

1

1

B

F

1

1

1

G

A

O

1

H


Axa numerelor reale

Arhimede reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

(287-212 î.Hr.)

  • a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei şi al antichităţii, dar şi unul al tuturor timpurilor.

  • Pliniu l-a numit “zeul matematicii”, iar Leibniz a scris că, dacă cunoşti opera lui Arhimede, nu mai poţi admira descoperirile noi.

  • Legendele şi anecdotele care au împodobit invenţiile sale sunt aproape singurele izvoare de unde putem afla amănunte despre opera sa matematică şi inginerească.

    (Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 141)


Axa numerelor reale

3 reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

5

8

7

3

6

15

34

Folosiţi spirala lui ARHIMEDE pentru

a reprezenta pe axa numerelor:


Axa numerelor reale

34 reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

34

Un procedeu pentru a construi, cât mai

rapid, un segment de lungime

B

34 = 25 + 9 = 52+32

3

A

5

O


Axa numerelor reale

15 reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

14

13

15

Desenul următor vă sugerează cumputem construi,

cât mai rapid, un segment de lungime

D

1

C

1

15 = 32 + 22 + 12 + 12

B

2

3

A

O


Axa numerelor reale

SAU: reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim 15 = 151 = (8+7)(8-7) = 82 - 72

AC2 = BC2 - AB2

AC2 = 82 – 72

AC2 = 15

AC = 15

15

C

8

A

7

B


Axa numerelor reale

41 reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

17

86

39

35

106

Construiţi asemănător segmente de lungime:

INDICAŢII


Axa numerelor reale

INDICAŢII reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

17=16+1

41=25+16

35=25+9+1, sau 35=132-122

39=36+1+1+1, sau 39=202-192

86=81+4+1

106=81+25


Axa numerelor reale

O întrebare reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

Numărul 12 345 678 987 654 321

este un număr remarcabil. Dar şi rădăcina lui

pătrată este tot aşa: este un număr întreg !

Voi îl puteţi calcula ?


Axa numerelor reale

Răspuns reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

Numărul12 345 678 987 654 321

  • este pătrat perfect şi se citeşte astfel:

    12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,

    987 milioane, 654 mii, 321.

  • rădăcina lui pătrată este:111 111 111.


Axa numerelor reale

Curiozităţi reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

112=121

1112=12321

11112=1234321

111112=123454321

1111112=12345654321

11111112=1234567654321

111111112=123456787654321

1111111112=12345678987654321


Ai ajuns la sf r it

Ai ajuns la sfârşit. reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim

ALEGE !

ÎNAPOI

IEŞIRE