Di Cunzolo Alessandro Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012

1. Di Cunzolo Alessandro Farioli Giuseppe 10 Gennaio 2012 Metodi matematici per l'ottimizzazioneSeminarioEquazioni differenziali OrdinarieMetodi OneStep

2. Una equazione differenziale è un’equazione che coinvolge una o più derivate di una funzione incognita. Se tutte le derivate sono calcolate rispetto ad una sola variabile indipendente, l’equazione si dirà equazione differenziale ordinaria (ODE). Quando sono presenti derivate rispetto a più variabili indipendenti, avremo invece una equazione differenziale alle derivate parziali (PDE). Una equazione differenziale avrà ordinen, se n è l’ordine massimo delle derivate che vi compaiono. La forma generale di una ODE di ordine n è: dove è la funzione cercata. Una funzione è detta soluzione di una ODE se essa riduce l’equazione ad una identità quando viene sostituita nell’equazione. Equazioni differenziali OrdinarieIntroduzione

3. Alcuni esempi: y’ = 2 sin(x) ODE di ordine 1, sol : y(x) = -2 cos(x) + C y’’= -4y ODE di ordine 2, sol : y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) (oscillatore armonico y’ = e-xODE di ordine 1, sol : y(x) = - e-x + C semplice) y’ = y ODE di ordine 1, sol : y(x) = C ex y’ = -ky ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e-kx(decadimento radioattivo) y’ = 3y-4x ODE di ordine 1, sol : y(x) = C e3x + 4/3 x + 4/9 Equazioni differenziali OrdinarieIntroduzione

4. Una equazione differenziale ordinaria ha infinite soluzioni, come mostrato nel seguente esempio: cioè la soluzione generale contiene una costante arbitraria c. Ogni volta che si fissa un valore per c, otteniamo una soluzione particolare. La soluzione generale di una ODE di grado n, conterrà n costanti arbitrarie. Il grafico di ogni soluzione particolare è detto curva integrale della ODE. Equazioni differenziali OrdinarieIntroduzione

5. Ad esempio, consideriamo la funzione con soluzione ; il grafico delle curve integrali della funzione è il seguente: Equazioni differenziali OrdinarieGrafico curve integrali

6. Per isolare una soluzione particolare dobbiamo aggiungere delle condizioni che sono note come condizioni iniziali. Esempio: abbiamo l’equazione e vogliamo che in sia Allora la soluzione cercata è Il problema di cercare una soluzione particolare di una ODE con certe condizioni iniziali e’ detto problema di Cauchy (problema ai valori iniziali: IVP). Equazioni differenziali OrdinarieEs. condizioni iniziali

7. Forma generale di una equazione differenziale ordinaria di primo ordine: dove è la funzione incognita. Per semplicità assumiamo che l’equazione sia scritta nella forma: con la condizione quando cioè : ODE di primo ordine

8. Interpretazione geometrica della soluzione: Ogni soluzione particolare è rappresentata da una curva nel piano (x, y); preso un punto arbitrario P(x,y), allora f(x,y) sarà uguale alla pendenza della tangente alla curva desiderata nel punto P. ODE di primo ordineInterpretazione geometrica

9. Associando ad ogni punto del piano la direzione della retta la cui pendenza è f(x,y) otteniamo il campo delle direzioni di una equazione differenziale Esempio : y’=y(2-y) ODE di primo ordineCampo delle direzioni

10. Una equazione differenziale ordinaria si dice integrabile per quadrature, se la sua soluzione generale è esprimibile in una forma esplicita o implicita, che può contenere quadrature (cioè integrali indefiniti) di qualche funzione incognita. Esempio di equazioni differenziali integrabili sono le equazioni differenziali a variabili separabili: Forma generale di cui soluzione generale sarà Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili

11. Esempio: vogliamo risolvere l’equazione differenziale Soluzione : Alcuni esempi: Equazioni differenziali integrabili

12. Una equazione differenziale ordinaria è detta lineare, se F è una funzione lineare nella funzione incognita e nelle sue derivate, cioe’e’ del tipo: Se si divide per a(x) si ottiene: (1) con Se f(x)=0 l’equazione è detta omogenea lineare. Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari

13. Se l’equazione è non omogenea (f(x)≠0) bisogna dapprima risolvere l’equazione omogenea associata: (2) Separiamo le variabili e otteniamo: Risolvendola: Con e è ottenuta da z ponendo c=1. è una soluzione particolare della (2). Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari

14. Avendo calcolato z cerchiamo la soluzione della (1) nella forma: (3) In cui da determinare. Sostituendo la (3) nella (1): Ma è soluzione della (2) quindi l’espressione in parentesi è nulla e si ha: e sostituendo nella (3) otteniamo: Questa è la soluzione generale della (1). Questo metodo è un’applicazione del metodo noto come metodo di variazione delle costanti (di Lagrange). Alcuni esempi: Equazioni differenziali lineari

15. Si consideri l’equazione: (k = costante) Separiamo le variabili: (4) Con . Se è data una condizione iniziale si avrà: Da cui: Sostituendo il valore calcolato di C, nella (4) si ha infine: Alcuni esempi: Funzione esponenziale

16. Sia , , cerchiamo una funzione , y derivabile in I, tale che: (5) con Tale problema è detto problema ai valori iniziali. Supponiamo che siano verificate le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità della soluzione. Problema di Cauchy in una dimensione

17. Sia un dominio ed una funzione continua che soddisfi la condizione di Lipschitz: Comunque si scelgano e qualche costante segue che: ha soluzione unica in tale intervallo. Teorema di esistenza e unicità

18. Data un’equazione differenziale è facile pensare che trovare una soluzione per via analitica è piuttosto difficile. In tal caso bisogna ricorrere ai metodi numerici per ricavarne una soluzione approssimata, trasformando in tal modo il problema matematico in un problema discreto. Consideriamo una successione di nodi con (con punto della condizione iniziale ed passo della discretizzazione) Supponiamo Se a e b sono gli estremi di I, si ha: Metodi numerici:Introduzione

19. I metodi numerici si basano sul Sviluppo in serie di Taylor. Siala soluzione vera in e la soluzione approssimata in , e supponendo che y(x) sia sufficientemente regolare si ha: Sviluppo in serie di Taylor di y(x) attorno xi Se tronchiamo la serie al k-esimotermine, si ottiene: con: Metodi numerici:Introduzione

20. Data un’equazione differenziale, i metodi numerici per la risoluzione della stessa possono essere ad un passo o a più passi. Metodi a un passo: Un metodo numerico è detto ad un passo (one-step) se, per dipende solo da : Metodi numerici:Metodi ad un passo

21. Se poniamo k=1 in otteniamo : detto metodo di Eulero in avantio esplicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo: Metodi numerici:Metodo di Eulero esplicito

22. Interpretazione geometricaMetodo di Eulero esplicito • In ogni intervallo si sostituisce all'integrale particolare cercato, il segmento di retta tangente nel punto alla curva integrale che passa in quel punto. Soluzione analitica Soluzione calcolata

23. È possibile ottenere anche la seguente relazione: detto metodo di Eulero all’indietroo implicito. Es. test: Applicando il metodo otteniamo: Metodi numerici:Metodo di Eulero implicito

24. Quando un metodo si dice esplicito? Quando implicito? Definizione: Un metodo è detto esplicito se dipende solo dai valori ai passi precedenti, mentre è detto implicito se dipende pure da se stesso tramite f. I metodi impliciti richiedono la soluzione di una equazione non lineare se f è non lineare in y. Metodi numerici:Metodi espliciti e impliciti

25. Data , osserviamo che se f è una funzione continua rispetto ad ed integrabile tra e si ha: Se approssimiamo l’integrale tra e con la regola del trapezio, si ha: dove . Metodi numerici:Metodo dei Trapezi

26. Osservando la formula del metodo dei Trapezi si capisce subito che tale metodo è implicito. Es test: Applicando il metodo otteniamo: da cui si ottiene Metodi numerici:Metodo dei Trapezi

27. Tale metodo è espresso dalla relazione: si ottiene applicando il metodo dei trapezi ed il metodo di Eulero in avanti per calcolare . Es. test: Applicando il metodo otteniamo: Metodi numerici:Metodo di Heun

28. Un metodo numerico del tipo si dice zero-stabile, se: dove ed sono le soluzioni del problema perturbato e di quello non perturbato: con . Tale stabilità riguarda il comportamento del metodo numerico quando h0. Se il metodo è zero-stabile la soluzione è poco sensibile alla perturbazione dei dati. Metodi numerici:Zero-stabilità

29. Definizione: Un metodo si dice convergente se , con C(h) infinitesimo rispetto ad h; se si dice convergente di ordine p. Teorema di convergenza Sia y(x) soluzione di: ed la soluzione approssimata data da . Supponiamo, inoltre, che sia lipschitziana nella seconda variabile: con Sia infine: Allora: Metodi numerici:Convergenza

30. Sia la soluzione dell’equazione differenziale: Dato un punto sia una approssimazione di .Sia u(x) una curva integrale di y’=f(x,y) che passa per , cioè che soddisfa: Se la soluzione approssimata è calcolata da: Allora si ha il seguente grafico: Metodi numerici:Interpretazione geometrica errori

31. Un metodo numerico è assolutamente stabile se , soluzione numerica del problema test, è tale che: Metodi numerici:Assoluta stabilità Assoluta stabilità: • Riguarda la propagazione degli errori accumulati ai passi precedenti. Un metodo si dice assolutamente stabile, se per h fissato, è limitato per • Dato il problema test: . Se • La soluzione sarà del tipo • Definiamo regione di assoluta stabilità l’insieme:

32. Applicando Eulero esplicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) è vera se . Considerando l’insieme dei punti con otteniamo il bordo di un cerchio di centro (-1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilità è data : Imz Rez -1 Assoluta stabilità:Eulero esplicito

33. Problema test: con Assoluta stabilità per Soluzione analitica Soluzione calcolata

34. Applicando Eulero implicito al problema test abbiamo ottenuto: Quindi la (6) è vera se . Considerando l’insieme dei punti otteniamo il bordo di un cerchio di centro (1, 0) e raggio 1. La regione di assoluta stabilità è data : Imz Rez 1 Assoluta stabilità:Eulero implicito

35. Analogamente per il metodo dei trapezi avevamo ottenuto: In questo caso la (6) è vera , cioè se Per il metodo di Heun avevamo ottenuto: La (6) è vera se : Assoluta stabilità:Metodi dei trapezi e di Heun

36. I metodi ad un passo possono essere dedotti dallo sviluppo in serie di Taylor: con: I metodi di Runge-Kutta sono costituiti da formule del tipo: con concidentecon per un certo numero di termini senza utilizzare le derivate. Per un metodo di k-ordine si ha: Metodi numerici:Metodi di Runge-Kutta

37. Il metodo più noto è quello del quarto ordine: dove: Metodi di ordine maggiore non sono convenienti poiché richiedono un numero troppo grande di valutazioni della funzione f. Metodi di Runge-Kutta di quarto ordine

38. Implementazione Matlab ODE

39. Applico il metodo di Eulero in avanti al problema test: con λ= -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo di Eulero. Osservazione dell’andamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Implementazione MatlabMetodo di Eulero Gui_Eulero.m Applicazione_Eulero_avanti.m eulero_avanti.m

40. Applico il metodo di Runge Kutta del 4° ordine al problema test: con λ= -5 Confronto della soluzione analitica con la soluzione calcolata dal metodo Runge-Kutta. Osservazione dell’andamento del metodo variando i passi di discretizzazione h. : Implementazione MatlabMetodo di Runge-Kutta Gui_RK4.m Applicazione_RK4.m rk4.m

41. Applico i 2 metodi al problema test: con λ= -5 Confronto tra i due metodi. Osservazione dell’andamento dei metodi variando i passi di discretizzazione h. Confronto del tempo di esecuzione tra i due metodi. : Implementazione MatlabEulero vs Runge-Kutta Gui_Confronto.m Applicazione_Confronto.m Eulero_avanti.m rk4.m

42. ApplicazioniReali • Uso delle equazioni differenziali per risolvere problemi della vita reale

43. Problema 1 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un nuovo prodotto di cereali «OatPuffs», viene introdotto attraverso una campagna pubblicitaria per una popolazione di 1 milione di potenziali clienti. La velocità con cui la popolazione sente parlare del prodotto si presume essere proporzionale al numero di persone che non sono ancora a conoscenza del prodotto. Entro la fine di 1 anno, la metà della popolazione ha sentito parlare del prodotto. Applicazioni Reali - Pubblicità • Quante persone avranno sentito parlare del prodotto entro la fine di due anni?

44. Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Sia y il numero (in milioni) di persone che al tempo t hanno sentito parlare del prodotto. Ciò significa che (1-y) è il numero di persone che non sono a conoscenza del prodotto, ed è il tasso alla quale la popolazione sente parlare del prodotto. Dalle osservazioni appena fatte è possibile scrivere l'equazione differenziale come segue : Applicazioni Reali - Pubblicità è proporzionale Il tasso del cambiamento di y alla differenza tra 1 e y • Svolgimento…

45. Applicazioni Reali - Pubblicità Conoscenza della pubblicità Potenziali clienti (in millioni) Tempo (in anni)

46. Problema 2 Si vuole analizzare il seguente fenomeno: Un serbatoio contiene 40 litri di una soluzione composta da 90% d’acqua e da 10% d’alcool. Una seconda soluzione contenente metà acqua e metà alcool è aggiunta al serbatoio al ritmo di 4 litri al minuto. Allo stesso tempo, il serbatoio viene svuotato al ritmo di 4 litri al minuto, come mostrato nella figura seguente : Applicazioni Reali - Serbatoio 4 litri/min 4 litri/min • Supponendo che la soluzione si mescoli costantemente, quanto alcool sarà presente nel serbatoio dopo 10 minuti ?

47. Ricaviamo l’equazione differenziale associata al problema: Sia y il numero di litri di alcool nel serbatoio in un qualsiasi istante t. La percentuale di alcool nel serbatoio da 40 litri in qualsiasi istante è . Inoltre, visto che 4 litri di soluzione vengono drenati ogni minuto, il tasso di variazione di y è : Applicazioni Reali - Serbatoio è pari alla quantità di alcool drenata fuori Il tasso del cambiamento di y più l’ammontare di alcool uscente • Svolgimento…