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Warteschlangen Modelle

Warteschlangen Modelle. Marie-Therese Stumberger Bettina Totz. Dynamik von Warteschlangen Eins der besten Beispiele: Disney World Konstruktion, Kapazitäts- und Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling). Warum sich Warteschlangen bilden. Warten auf Bedienung

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Presentation Transcript

  1. Warteschlangen Modelle Marie-Therese Stumberger Bettina Totz

  2. Dynamik von Warteschlangen • Eins der besten Beispiele: Disney World • Konstruktion, Kapazitäts- und Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling)

  3. Warum sich Warteschlangen bilden • Warten auf Bedienung • Menschen, Maschinen, Verkaufsaufträge • Momentane Unausgeglichenheit zwischen Nachfrage und Kapazität

  4. Beispiel (Bank) • 15 Kunden kommen in einer Stunde an • 20 Kunden können bedient werden • Mittlere Bedienrate > mittlere Ankunftsrate => trotzdem Warteschlange

  5. Struktur von Warteschlangen-Problemen • Input – Customer Population • Warteschlange von Kunden • Bedieneinrichtung • Prioritätsregel

  6. Customer population Bediensystem Warteschlange Bediente Kunden Bedien-einrichtung Prioritäts-regel

  7. Customer Population • Quelle für den Input des Bediensystems • Endliche Inputquelle • Unendliche Inputquelle • Geduldige/ungeduldige Kunden

  8. Bedieneinrichtungen Bedieneinrichtungen Einzelne Schlange Mehrere Schlangen Das Bediensystem • Anzahl der Bedienungskanäle

  9. Ausstattung der Bedieneinrichtung • Personal, Betriebsmittel • Optimale Ausstattung Abhängig von Kundenanzahl und der Art der angebotenen Leistung • Einzelner oder mehrere Arbeitsschritte

  10. Prioritätsregel • FCFS – First come, first serve • SPT – shortest expected processing time • EDD – earliest promised due date • Prä-emptiv

  11. Verwendung von Warteschlangen-Modellen zur Analyse von Arbeitsabläufen (operations) • Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kosten • Kosten durch das Nichtverbessern

  12. Betriebseigenschaften des Systems • Schlangenlänge • Anzahl der Kunden im System • Wartezeit • Gesamte Zeit im System • Nutzung der Bedieneinrichtung

  13. Wahrscheinlichkeits-verteilungen • Ankunftszeiten folgen oft einer Poissonverteilung: • Erwartungswert u. Varianz sind λT für n=0,1,2,…

  14. Beispiel (Kundenbüro) • Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden kommen? • Ankunftsrate: λ=2 • Zeitperiode: T=1 • Anzahl der Kunden: n=4

  15. Ankunftszeiten – Poissonprozess => Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt

  16. Bedienzeiten oft exponentialverteilt • Mittlere Bedienzeit: • Varianz:

  17. λ=2 λ=1 λ=0,5 Dichtefunktion der Exponentialverteilung λ=2 λ=1 λ=0,5 Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung

  18. Beispiel (Kundenbüro) • Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat? • Bedienrate: μ=3 • Zeitperiode: T=1/6

  19. Gedächtnislosigkeit • A/B/s • M/M/s (memoryless)

  20. Single-Server Model (M/M/1) • Customer Population unendlich Kunden geduldig • Ankunft poissonverteilt • Bedienzeiten exponentialverteilt • FCFS • Warteschlange unbeschränkt

  21. Operative Eigenschaften Auslastung des Systems Ws., dass n Kunden im System sind ( ) mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Zeit im System mittlere Wartezeit

  22. Beispiel (Supermarkt) • Eigene Kassa für Senioren • 30 Kunden/Stunde bezahlen • 35 Kunden bedienen

  23. Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt. Im Schnitt sind 6 Senioren im System. Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre Bedienung. Im Schnitt verbringen die Kunden 12 Minuten im System. Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.

  24. Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind?

  25. Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System sind? mit

  26. Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt?

  27. Multiple-Server Model (M/M/s) • Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer frei ist • Ein Arbeitsschritt • Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 • Zusätzlich: Bedienungskanäle identisch

  28. Operative Eigenschaften Auslastung des Systems Ws., dass kein Kunde im System ist für Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden im System sind für

  29. mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System mittlere Anzahl an Kunden im System

  30. Beispiel (Verladestation) • 4 Ablade-Stationen • Pro Station ein Arbeitsteam - $30/h • Verlust - $50/h • 3 LKWs pro Stunde • Team benötigt 1 Stunde fürs Ausladen

  31. Wie hoch sind nun die stündlichen Kosten dieses Betriebs?

  32. LKWs im System

  33. Finite-Source Model • Gleiche Annahmen wie Single-Server außer: Customer Population endlich (N)

  34. Operative Eigenschaften Ws., dass kein Kunde im System ist Auslastung des Systems mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System

  35. Beispiel (Roboter) • 10 Roboter in Betrieb • Zeit zwischen Ausfälle: 200 Stunden • Pro Stunde Ausfall Kosten von $30 • 10 Stunden für Reparatur • Arbeiter bekommt $10/h

  36. Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen? Ausfälle pro Stunde Roboter werden pro Stunde bedient oder 46,2%

  37. Roboter in der Warteschlange Roboter im System Stunden Wartezeit Stunden im System

  38. Entscheidungsbereich des Managements • Ankunftsrate • Anzahl der Bedienungseinrichtungen • Anzahl der Arbeitsschritte • Anzahl der Bediener pro Bedieneinrichtung • Effizienz der Bediener • Prioritätsregel • Anzahl der Warteschlangen

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