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Introducci n

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Introducci n

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    1. Introduccin Matemtica Bsica BANRURAL

    2. Por qu estudiar Matemtica? Desarrolla un pensamiento lgico y esquematizado. Herramienta para la solucin de problemas y el anlisis de distintas situaciones. Herramienta Fundamental en Ingeniera. Lenguaje de la ciencia. Estudios de postgrado pueden requerir un buen nivel de anlisis matemtico. Como mediran los resultados de una buena administracin?Como mediran los resultados de una buena administracin?

    3. Recordatorio Ideas Generales

    4. Qu es un nmero? El smbolo de un nmero recibe el nombre de numeral. En otras palabras, numeral es el smbolo para la idea llamada nmero. Es decir, el nmero es la idea en la que pensamos cuando vemos o escuchamos el numeral. (conjunto) Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tamao. Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tamao.

    5. Qu es un nmero? Los nmeros se usan con mucha frecuencia como: Etiquetas (nmeros de telfono, numeracin de carreteras) Indicadores de orden (nmeros de serie) Cdigos (ISBN) Medida Cantidad Estadsticas Un nmero es una representacin. En matemtica, la definicin de nmero se extiende para incluir abstracciones tales como nmeros racionales, negativos, irracionales, reales, complejos, etc. La velocidad de la luz en el vaco es por definicin una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20C) es de 340m/s La velocidad de la luz en el vaco es por definicin una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20C) es de 340m/s

    6. Conjuntos Numricos

    7. Nmeros Naturales Problema: Contar objetos de la naturaleza. Un nmero natural es cualquiera de los nmeros del conjunto N={1,2,3...} que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Notacin: Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar. NOTA: Los nmeros arbigos, son los smbolos que se usan para representar nmeros. Se les llama arbigos solo por que los rabes los introdujeron en Europa, pero en realidad son una invencin de los hindes. Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar.Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar.

    8. Nmeros Naturales Los nmeros naturales no son mas que conjuntos de smbolos. Y se construyen de las siguiente forma. Que podemos hacer con los nmeros naturales? Sumar. Restar. Multiplicar. Construccin de Nmeros NaturalesConstruccin de Nmeros Naturales

    9. Nmeros Enteros Problema: Hacer posible la resta en todos los casos. Medicin de magnitudes relativas: ganancia/perdida, altitud, temperatura, etc. Los nmeros enteros son el conjunto de nmeros Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3...}. Incluyen: Enteros positivos: los naturales junto con el 0. Enteros negativos. Notacin:

    10. Nmeros Racionales Problema: Necesidad de medir magnitudes continuas, tales como longitud, volumen, peso, etc. Resolver la ecuacin ax = b, donde a,b son enteros. Un nmero racional es un nmero que se puede expresar como el cociente de dos enteros. Formalmente: Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de nmeros incluye a los nmeros enteros y es un subconjunto de los nmeros reales. Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de nmeros incluye a los nmeros enteros y es un subconjunto de los nmeros reales.

    11. Nmeros Racionales Recordatorio: Suma en Q: Multiplicacin en Q: Divisin en Q: Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas fcil. Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas fcil.

    12. Nmeros Racionales NOTA: Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresin slo puede ser de tres tipos: Exacta: La parte decimal tiene un nmero finito de cifras. Ejemplo: 8/5 = 1.6 Peridica pura: Toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: 1/7 = 0.142857142857... Peridica mixta: No toda la parte decimal se repite. Ejemplo: 1/60 = 0.0166...

    13. Nmeros Irracionales Problema: Teorema de Pitgoras. Relacin de la circunferencia al dimetro. Los nmeros irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse nmero irracional como decimal infinito no peridico. Notacin: Algunos decimales no entran en las tres categoras enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real en tres categoras: (naturales, enteros y racionales), podra parecer que ha terminado la clasificacin de los nmeros, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los nmeros reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio. Algunos decimales no entran en las tres categoras enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real en tres categoras: (naturales, enteros y racionales), podra parecer que ha terminado la clasificacin de los nmeros, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los nmeros reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio.

    14. Nmeros Irracionales Algunos nmeros irracionales: p (Pi) (3.1415926535) ? (2.7182818284) Los nmeros irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la solucin de alguna ecuacin algebraica y se representan por un nmero finito de radicales libres o anidados; si x representa ese nmero, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuacin algebraica de cierto grado. Todas las races no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el nmero ureo es una de las races de la ecuacin algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un nmero irracional algebraico. 2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un nmero finito de races libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. Tambin surgen al escribir nmeros decimales no peridicos al azar o con un patrn que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:Los nmeros irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la solucin de alguna ecuacin algebraica y se representan por un nmero finito de radicales libres o anidados; si x representa ese nmero, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuacin algebraica de cierto grado. Todas las races no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el nmero ureo es una de las races de la ecuacin algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un nmero irracional algebraico.

    15. Nmeros Reales La unin del conjunto de los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman el conjunto de los nmeros reales. Notacin:

    17. Ejercicio 1 Dado el siguiente conjunto: A = [-3, 4/3, 0.12, v2, p, 2.15,10] Enumere los nmeros que son naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

    18. Nmeros Reales

    19. Adicin o Suma Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

    20. Producto o Multiplicacin Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

    21. Propiedad Distributiva La multiplicacin es distributiva sobre la adicin.

    22. Ejemplo Si p, q, R y S denotan nmeros reales demuestre que: (p + q)(r + s) = pr + ps + qr + qs

    23. Propiedades de Igualdad Si a = b y c es cualquier numero real, Entonces: a + c = b + c 2. ac = bc

    24. Productos 0

    25. Propiedades de los Negativos - ( -a ) = a (- a ) b = - (ab) = a(-b) (- a )( - b ) = ab ( - 1 )a = - a

    26. Definicin de Resta y Divisin Resta: Divisin:

    27. La Recta de Nmeros Reales Los nmeros reales se representan por puntos en una recta llamada la recta numrica. Existe una correspondencia uno a uno entre los nmeros reales y los puntos en una recta.

    28. Smbolos de Desigualdad Definicin de > Definicin de < Definicin de = Definicin de =

    29. Ejercicio 2 Utilizar la recta de nmeros reales para graficar los siguientes conjuntos:

    30. Valor Absoluto El valor absoluto de un nmero x se define como la distancia del origen a x en la recta real. A qu distancia est 3 del origen? 3 unidades, es decir su valor absoluto es 3. A qu distancia est -8 del origen? 8 unidades, es decir su valor absoluto es 8.

    31. Valor Absoluto Si x es un nmero real, el valor absoluto de x denotado por |x| se define formalmente como:

    32. Ejercicio 3

    33. Distancia entre dos puntos sobre la recta real Si P y Q son dos puntos en la recta real con coordenadas a y b respectivamente, entonces: NOTAR QUE:

    34. Ejercicio 3 Sean P, Q y R puntos en una recta de nmeros reales con coordenadas -5, 7 y -3 encontrar:

    35. Intervalos Conjuntos de nmeros reales, que geomtricamente corresponden a segmentos de recta.

    37. Ejemplo Exprese el intervalo en trminos de desigualdades y grafquelos.

    38. Exponentes y Radicales

    39. Exponentes

    40. Exponentes Notacin Exponencial: an = a a a a a a a a a a (n veces)

    41. Propiedades de los Exponentes Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

    44. Ejercicio

    45. Radicales

    46. Radicales Que significa?

    47. Propiedades de los Radicales Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

    48. Ejemplos

    49. Exponentes Racionales Para cualquier exponente racional

    50. Ejemplo Regresemos a el ejercicio que nos causo hace unos momentos.

    51. Racionalizacin

    52. Racionalizacin Ejemplos:

    53. Expresiones Algebraicas

    54. Monomio Un monomio en una variable es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa, tiene la forma:

    55. Ejemplos Es o no un monomio?

    56. Polinomio Un polinomio en una variable es una expresin algebraica de la forma:

    57. Es o no un polinomio? Si lo es, encuentre el conjunto de coeficientes y el grado.

    58. Operaciones entre Polinomios Suma y resta de Polinomios Suma Horizontal: agrupar los trminos semejantes. Suma Vertical: alinear verticalmente los trminos semejantes.

    59. Ejemplo: Dado los polinomios: Encontrar:

    60. Multiplicacin de Polinomios Los productos de polinomios se encuentran mediante el uso repetido de: Propiedad Distributiva Leyes de Exponentes

    61. Ejemplo Dados los siguientes polinomios: Encontrar:

    62. Productos Notables Son productos que aparecen con mucha frecuencia en lgebra.

    63. Productos Notables:

    64. Ejemplos Efectuar el producto:

    65. Factorizacion

    66. Qu es factorizar? Factorizar es el proceso mediante el cual se encuentran los factores de un polinomio. Si un polinomio no se puede escribir como el producto de otros polinomios (excepto 1 o -1), entonces se dice que este es un Polinomio primo. Cuando un polinomio se escribe como un producto que consiste en slo factores primos, se dice que est completamente factorizado.

    67. Paso 1 Buscar monomios que sean factores comunes, esto es, utilice la distributividad. Ejemplos:

    68. Paso 2 Si es posible, utilice alguno de los productos notables vistos anteriormente. Ejemplos:

    69. Paso 3 Factorizacin de trinomios de la forma: Ejemplos:

    70. Paso 4 Finalmente, factorizar por agrupacin de trminos. Ejemplos:

    71. Division de polinomios

    72. Ilustracin El procedimiento para dividir polinomios es similar al procedimiento de dividir 2 enteros. Ejemplo: Dividir 872 entre 5

    73. Ejemplo 1 Encuentre el cociente y el residuo de:

    74. Ejemplo 2 Encuentre el cociente y el residuo de:

    75. Expresiones racionales

    76. Definicin Una expresin racional es el cociente de dos polinomios. Ejemplo:

    77. Ejemplo 1 Simplifique la expresin racional dada:

    78. Multiplicacin de Expresiones Racionales Mismas reglas que con nmeros racionales:

    79. Ejemplo 2 Simplificar:

    80. Suma y Resta de Expresiones Racionales Mismas reglas que con nmeros racionales:

    81. Ejemplo 3 Simplificar:

    82. Mnimo Comn Mltiplo Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restar tienen factores comunes, se aplica el MCM. Factorizar completamente el polinomio de los denominadores. El MCM del denominador es el producto de cada uno de estos factores elevados a una potencia igual al mayor nmero de veces que cada factor aparece en los polinomios. Escribir cada expresin racional usando el MCM como denominador comn. Operar.

    83. Ejemplo 4: Simplificar:

    84. Cocientes mixtos Cuando aparecen sumas de expresiones racionales en el numerador o denominador de un cociente, este se llama cociente mixto o fraccin compleja.

    85. Ejemplo 5: Simplificar:

    86. Ecuaciones

    87. Introduccin Qu es una ecuacin? Es una proposicin abierta que involucra una relacin de equivalencia y que no se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s).

    88. Ecuaciones Lineales Forma General:

    89. Solucin de Algunas Ecuaciones

    90. Ecuaciones Cuadrticas Forma General:

    91. Solucin de Algunas Ecuaciones

    92. Formula Cuadrtica

    93. Aplicaciones de las Ecuaciones Ing. Roberto Portillo

    95. Ejemplo 1 En un curso de matemtica, un estudiante obtiene calificaciones de 64 y 78. Qu calificacin en el 3er examen le dar un promedio de 90?

    96. Ejemplo 2 Mary hereda $100,000.00 y los invierte en dos certificados de deposito. Un certificado paga 6% y el otro 4.5% anual de inters simple. Si el inters total es de $5,025.00 al ao, Cunto dinero esta invertido a cada una de las tasas?