1. Introducci�n Matem�tica B�sica BANRURAL

2. �Por qu� estudiar Matem�tica? Desarrolla un pensamiento l�gico y esquematizado. Herramienta para la soluci�n de problemas y el an�lisis de distintas situaciones. Herramienta Fundamental en Ingenier�a. Lenguaje de la ciencia. Estudios de postgrado pueden requerir un buen nivel de an�lisis matem�tico. Como medir�an los resultados de una buena administraci�n?Como medir�an los resultados de una buena administraci�n?

3. Recordatorio Ideas Generales

4. �Qu� es un n�mero? El s�mbolo de un n�mero recibe el nombre de numeral. En otras palabras, numeral es el s�mbolo para la idea llamada n�mero. Es decir, el n�mero es la idea en la que pensamos cuando vemos o escuchamos el numeral. (conjunto) Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tama�o. Dos metros, no pensamos en cantidad sino en medida, dimesiones, tama�o.

5. �Qu� es un n�mero? Los n�meros se usan con mucha frecuencia como: Etiquetas (n�meros de tel�fono, numeraci�n de carreteras) Indicadores de orden (n�meros de serie) C�digos (ISBN) Medida Cantidad Estad�sticas Un n�mero es una representaci�n. En matem�tica, la definici�n de n�mero se extiende para incluir abstracciones tales como n�meros racionales, negativos, irracionales, reales, complejos, etc. La velocidad de la luz en el vac�o es por definici�n una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20��C) es de 340�m/s La velocidad de la luz en el vac�o es por definici�n una constante universal de valor 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20��C) es de 340�m/s

6. Conjuntos Num�ricos

7. N�meros Naturales Problema: Contar objetos de la naturaleza. Un n�mero natural es cualquiera de los n�meros del conjunto N={1,2,3...} que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Notaci�n: Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz� el ser humano para contar. NOTA: Los n�meros ar�bigos, son los s�mbolos que se usan para representar n�meros. Se les llama �ar�bigos� solo por que los �rabes los introdujeron en Europa, pero en realidad son una invenci�n de los hind�es. Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz� el ser humano para contar.Los tres puntos en los conjuntos reciben el nombre de elipsis. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utiliz� el ser humano para contar.

8. N�meros Naturales Los n�meros naturales no son mas que conjuntos de s�mbolos. Y se construyen de las siguiente forma. �Que podemos hacer con los n�meros naturales? Sumar. Restar. Multiplicar. Construcci�n de N�meros NaturalesConstrucci�n de N�meros Naturales

9. N�meros Enteros Problema: Hacer posible la resta en todos los casos. Medici�n de magnitudes relativas: ganancia/perdida, altitud, temperatura, etc. Los n�meros enteros son el conjunto de n�meros Z={�,-3,-2,-1,0,1,2,3...}. Incluyen: Enteros positivos: los naturales junto con el 0. Enteros negativos. Notaci�n:

10. N�meros Racionales Problema: Necesidad de medir magnitudes continuas, tales como longitud, volumen, peso, etc. Resolver la ecuaci�n ax = b, donde a,b son enteros. Un n�mero racional es un n�mero que se puede expresar como el cociente de dos enteros. Formalmente: Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron� El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de n�meros incluye a los n�meros enteros y es un subconjunto de los n�meros reales. Hacer el problema de medir un terreno con la almohadilla del pizarron� El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de n�meros incluye a los n�meros enteros y es un subconjunto de los n�meros reales.

11. N�meros Racionales Recordatorio: Suma en Q: Multiplicaci�n en Q: Divisi�n en Q: Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas f�cil. Hacer ejemplos en donde igualamos los denominadores para sumar mas f�cil.

12. N�meros Racionales NOTA: Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresi�n s�lo puede ser de tres tipos: Exacta: La parte decimal tiene un n�mero finito de cifras. Ejemplo: 8/5 = 1.6 Peri�dica pura: Toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: 1/7 = 0.142857142857... Peri�dica mixta: No toda la parte decimal se repite. Ejemplo: 1/60 = 0.0166...

13. N�meros Irracionales Problema: Teorema de Pit�goras. Relaci�n de la circunferencia al di�metro. Los n�meros irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse n�mero irracional como decimal infinito no peri�dico. Notaci�n: Algunos decimales no entran en las tres categor�as enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los n�meros componentes de la recta real en tres categor�as: (naturales, enteros y racionales), podr�a parecer que ha terminado la clasificaci�n de los n�meros, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los n�meros reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio. Algunos decimales no entran en las tres categor�as enunciadas anteriormente --- estos son los irracionales. Tras distinguir los n�meros componentes de la recta real en tres categor�as: (naturales, enteros y racionales), podr�a parecer que ha terminado la clasificaci�n de los n�meros, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los n�meros reales. Fue Pitagoras con su teorema que quien los descubrio.

14. N�meros Irracionales Algunos n�meros irracionales: p (Pi) (3.1415926535�) ? (2.7182818284�) Los n�meros irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la soluci�n de alguna ecuaci�n algebraica y se representan por un n�mero finito de radicales libres o anidados; si x representa ese n�mero, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuaci�n algebraica de cierto grado. Todas las ra�ces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el n�mero �ureo es una de las ra�ces de la ecuaci�n algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un n�mero irracional algebraico. 2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un n�mero finito de ra�ces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonom�tricas, logar�tmicas y exponenciales. Tambi�n surgen al escribir n�meros decimales no peri�dicos al azar o con un patr�n que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:Los n�meros irracionales se clasifican en dos tipos: 1.- Irracionales algebraicos: Son la soluci�n de alguna ecuaci�n algebraica y se representan por un n�mero finito de radicales libres o anidados; si x representa ese n�mero, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuaci�n algebraica de cierto grado. Todas las ra�ces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el n�mero �ureo es una de las ra�ces de la ecuaci�n algebraica: x2 - x - 1 = 0, por lo que es un n�mero irracional algebraico.

15. N�meros Reales La uni�n del conjunto de los n�meros racionales y los n�meros irracionales forman el conjunto de los n�meros reales. Notaci�n:

17. Ejercicio 1 Dado el siguiente conjunto: A = [-3, 4/3, 0.12, v2, p, 2.15,10] Enumere los n�meros que son naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

18. N�meros Reales

19. Adici�n o Suma Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

20. Producto o Multiplicaci�n Conmutativa. Asociativa. Identidad. Inverso.

21. Propiedad Distributiva La multiplicaci�n es distributiva sobre la adici�n.

22. Ejemplo Si p, q, R y S denotan n�meros reales demuestre que: (p + q)(r + s) = pr + ps + qr + qs

23. Propiedades de Igualdad Si a = b y c es cualquier numero real, Entonces: a + c = b + c 2. ac = bc

24. Productos �0�

25. Propiedades de los Negativos - ( -a ) = a (- a ) b = - (ab) = a(-b) (- a )( - b ) = ab ( - 1 )a = - a

26. Definici�n de Resta y Divisi�n Resta: Divisi�n:

27. La Recta de N�meros Reales Los n�meros reales se representan por puntos en una recta llamada la recta num�rica. Existe una correspondencia uno a uno entre los n�meros reales y los puntos en una recta.

28. S�mbolos de Desigualdad Definici�n de > Definici�n de < Definici�n de = Definici�n de =

29. Ejercicio 2 Utilizar la recta de n�meros reales para graficar los siguientes conjuntos:

30. Valor Absoluto El valor absoluto de un n�mero x se define como la distancia del origen a x en la recta real. �A qu� distancia est� 3 del origen? 3 unidades, es decir su valor absoluto es 3. �A qu� distancia est� -8 del origen? 8 unidades, es decir su valor absoluto es 8.

31. Valor Absoluto Si x es un n�mero real, el valor absoluto de x denotado por |x| se define formalmente como:

32. Ejercicio 3

33. Distancia entre dos puntos sobre la recta real Si P y Q son dos puntos en la recta real con coordenadas a y b respectivamente, entonces: NOTAR QUE:

34. Ejercicio 3 Sean P, Q y R puntos en una recta de n�meros reales con coordenadas -5, 7 y -3 encontrar:

35. Intervalos Conjuntos de n�meros reales, que geom�tricamente corresponden a segmentos de recta.

37. Ejemplo Exprese el intervalo en t�rminos de desigualdades y graf�quelos.

38. Exponentesy Radicales

39. Exponentes

40. Exponentes Notaci�n Exponencial: an = a a a a a � a a a a a (n veces)

41. Propiedades de los Exponentes Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

44. Ejercicio

45. Radicales

46. Radicales �Que significa?

47. Propiedades de los Radicales Hay que hablar de algunas que se derivan de estasHay que hablar de algunas que se derivan de estas

48. Ejemplos

49. Exponentes Racionales Para cualquier exponente racional

50. Ejemplo Regresemos a el ejercicio que nos causo hace unos momentos.

51. Racionalizaci�n

52. Racionalizaci�n Ejemplos:

53. Expresiones Algebraicas

54. Monomio Un monomio en una variable es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa, tiene la forma:

55. Ejemplos �Es o no un monomio?

56. Polinomio Un polinomio en una variable es una expresi�n algebraica de la forma:

57. �Es o no un polinomio? Si lo es, encuentre el conjunto de coeficientes y el grado.

58. Operaciones entre Polinomios Suma y resta de Polinomios Suma Horizontal: agrupar los t�rminos semejantes. Suma Vertical: alinear verticalmente los t�rminos semejantes.

59. Ejemplo: Dado los polinomios: Encontrar:

60. Multiplicaci�n de Polinomios Los productos de polinomios se encuentran mediante el uso repetido de: Propiedad Distributiva Leyes de Exponentes

61. Ejemplo Dados los siguientes polinomios: Encontrar:

62. Productos Notables Son productos que aparecen con mucha frecuencia en �lgebra.

63. Productos Notables:

64. Ejemplos Efectuar el producto:

65. Factorizacion

66. �Qu� es factorizar? Factorizar es el proceso mediante el cual se encuentran los factores de un polinomio. Si un polinomio no se puede escribir como el producto de otros polinomios (excepto 1 o -1), entonces se dice que este es un Polinomio primo. Cuando un polinomio se escribe como un producto que consiste en s�lo factores primos, se dice que est� completamente factorizado.

67. Paso 1 Buscar monomios que sean factores comunes, esto es, utilice la distributividad. Ejemplos:

68. Paso 2 Si es posible, utilice alguno de los productos notables vistos anteriormente. Ejemplos:

69. Paso 3 Factorizaci�n de trinomios de la forma: Ejemplos:

70. Paso 4 Finalmente, factorizar por agrupaci�n de t�rminos. Ejemplos:

71. Division de polinomios

72. Ilustraci�n El procedimiento para dividir polinomios es similar al procedimiento de dividir 2 enteros. Ejemplo: Dividir 872 entre 5

73. Ejemplo 1 Encuentre el cociente y el residuo de:

74. Ejemplo 2 Encuentre el cociente y el residuo de:

75. Expresiones racionales

76. Definici�n Una expresi�n racional es el cociente de dos polinomios. Ejemplo:

77. Ejemplo 1 Simplifique la expresi�n racional dada:

78. Multiplicaci�n de Expresiones Racionales Mismas reglas que con n�meros racionales:

79. Ejemplo 2 Simplificar:

80. Suma y Resta de Expresiones Racionales Mismas reglas que con n�meros racionales:

81. Ejemplo 3 Simplificar:

82. M�nimo Com�n M�ltiplo Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restar tienen factores comunes, se aplica el MCM. Factorizar completamente el polinomio de los denominadores. El MCM del denominador es el producto de cada uno de estos factores elevados a una potencia igual al mayor n�mero de veces que cada factor aparece en los polinomios. Escribir cada expresi�n racional usando el MCM como denominador com�n. Operar.

83. Ejemplo 4: Simplificar:

84. Cocientes mixtos Cuando aparecen sumas de expresiones racionales en el numerador o denominador de un cociente, este se llama cociente mixto o fracci�n compleja.

85. Ejemplo 5: Simplificar:

86. Ecuaciones

87. Introducci�n �Qu� es una ecuaci�n? Es una proposici�n abierta que involucra una relaci�n de equivalencia y que no se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s).

88. Ecuaciones Lineales Forma General:

89. Soluci�n de Algunas Ecuaciones

90. Ecuaciones Cuadr�ticas Forma General:

91. Soluci�n de Algunas Ecuaciones

92. Formula Cuadr�tica

93. Aplicaciones de las Ecuaciones Ing. Roberto Portillo

95. Ejemplo 1 En un curso de matem�tica, un estudiante obtiene calificaciones de 64 y 78. �Qu� calificaci�n en el 3er examen le dar� un promedio de 90?

96. Ejemplo 2 Mary hereda $100,000.00 y los invierte en dos certificados de deposito. Un certificado paga 6% y el otro 4.5% anual de inter�s simple. Si el inter�s total es de $5,025.00 al a�o, �Cu�nto dinero esta invertido a cada una de las tasas?