1 / 13

Haremy i turnieje

Karolina Bednarczyk, Martyna Ciołek. Haremy i turnieje. W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich) dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Twierdzenie Halla – wersja małżeńska.

dutch
Download Presentation

Haremy i turnieje

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Karolina Bednarczyk, Martyna Ciołek Haremy i turnieje

  2. W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich) dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Twierdzenie Halla – wersja małżeńska

  3. Przykład • dziewczyna 1 zna chłopców A i C • dziewczyna 2 zna chłopców B i C • dziewczyna 3 zna chłopców A, C, D i E • dziewczyna 4 zna chłopców B, D, F i G • dziewczyna 5 zna chłopców A i E • dziewczyna 6 zna chłopców A i B Czy możemy dla każdej dziewczyny znaleźć męża spośród chłopców, których zna?

  4. Rozpoczniemy od uogólnienia małżeńskiej wersji twierdzenia Halla na haremy zakładając, że pewne osoby mogą mieć więcej niż jednego partnera. Tradycyjnie w haremie każdy mężczyzna może mieć wiele żon, ale żadna kobieta nie może mieć więcej niż jednego męża. Przedstawimy teraz wersję haremową twierdzenia Halla odwracając przy tym tę tradycyjną zasadę, tzn. pozwalając kobietom mieć swoje haremy ;)

  5. Niech b1,..., bn będą nieujemnymi liczbami całkowitymi i niech D1,...,Dn oznaczają dziewczyny. Dziewczyna D1 chce mieć b1 mężów (jak zawsze spośród tych chłopców, których zna), dziewczyna D2 chce mieć b2 mężów, ... , i dziewczyna Dn chce mieć bn mężów. Żaden z chłopców nie może ożenić się z więcej niż jedną dziewczyną. Wszystkie życzenia dziewcząt mogą być spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy dziewczyny z dowolnego podzbioru Di1, ..., Dis znają co najmniej bi1 +...+ bis chłopców. Twierdzenie Halla – wersja haremowa

  6. Teraz rozważymy inny przykład skojarzenia, obserwując „turniej typu każdy z każdym” w pewnym klubie sportowym. Wyobraźmy sobie pewien turniej dla grupy graczy, polegający na tym, że każdy gra z każdym, przy czym wynikiem pojedynku jest zwycięstwo jednego z dwóch graczy. To prowadzi nas do określenia turnieju (wyniku turnieju) z udziałem n graczy (oznaczonych symbolicznie 1, 2, ..., n) jako n nad 2 uporządkowanych par zawodników, przy czym dla 1<= i<j<=n występuje para ij lub ji.

  7. Turniej z udziałem n graczy może być również przedstawiany jako graf pełny Kn, którego wierzchołki oznaczono liczbami 1, 2, ..., n i w którym każda krawędź została skierowana strzałką w jedną z dwóch możliwych stron. Strzałka od i do j oznacza, że „i pokonał j”.

  8. Przykład • W turnieju brało udział pięciu graczy 1, 2, 3, 4, 5 połączonych w pary 1 2, 1 3, 2 3, 2 4, 3 4, 4 1, 5 1, 5 2, 5 3 i 5 4

  9. Przedstawiony graficznie przebieg turnieju jest rodzajem grafu skierowanego, w którym przedstawiony jest skierowany szlak 5, 4, 1, 2, 3, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki, oznacza to że gracz 5 pokonał gracza 4, 4 pokonał 1, 1 pokonał 2, 2 pokonał 3. W turnieju zawsze istnieje skierowany szlak, w którym każdy gracz występuje dokładnie jeden raz.

  10. Twierdzenie: W dowolnym turnieju z udziałem n graczy można przyporządkować graczom etykiety p1, p2, ..., pn w ten sposób, że p1 pokonał p2, p2 pokonał p3, ... i pn-1 pokonał pn. Podsumowanie

  11. W turnieju z udziałem n graczy 1, 2, ... , n niech bi oznacza liczbę graczy pokonanych przez gracza i: wówczas b1, b2, ... , bn są wynikami turnieju (a uporządkowana lista tych wyników jest wektorem wyników).

  12. PrzykładKtóry z następujących ciągów może być wektorem wyników turnieju z udziałem sześciu graczy? • 4, 4, 4, 2, 1, 1; • 5, 3, 3, 2, 1, 1; • 5, 4, 4, 1, 1, 0.

  13. Wyniki turnieju z udziałem n graczy sumują się do n nad 2, każde r wyników sumuje się do co najmniej r nad 2 i odwrotnie, jeżeli zbiór n liczb całkowitych ma te własności to są one wynikami jakiegoś turnieju. Twierdzenie: (Landaua)‏ Niech b1, ... , bn będą liczbami całkowitymi. Liczby te są wynikami pewnego turnieju z udziałem n graczy wtedy i tylko wtedy, gdy (1) b1+b2+...+bn=n nad 2 (2)dla 1<=r<=n każde r spośród liczb b1,..,bn sumuje się do co najmniej r nad 2.

More Related