Diffusion des Rayons X: quelques notions de base indispensables

1. Diffusion des Rayons X: quelques notions de base indispensables 1 - Interaction RX / matière 2 - Production des RX 3 - Détection des RX 4 - Diffraction / diffusion 5 - Eléments d’un montage expérimental

2. Références: • P.Lorrain et D.R.Corson: champs et ondes électromagnétiques Armand Colin_collection U (1979) • C.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloë, Mécanique Quantique Enseignement des Sciences, Herrman (1973) • J. Als-Nielsen, D. McMorrow: elements of modern X-Ray physics John Wiley & Sons (2000) • Charles Kittel: introduction to solid state physics, 6th edition John Wiley & Sons (1986) • Jean Protas: diffraction des rayonnements Dunod (1999)

3. longueur d’onde caractéristique l ~ Å (10-10 m) i.e ~ distances interatomiques vitesse lumière • fréquence caractéristique n = = ~ Å (1018 Hz) c 1 l direction de propagation T • vecteur d’onde k |k| = 2p/l Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.1Ondes électromagnétiques Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:

4. champ électrique Ecréé par des « charges en mouvement » • champ magnétique B « conséquence relativiste » |B| ~|E|/c    E E k k B B Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.1Ondes électromagnétiques Les rayons X sont des ondes électromagnétiques: on le néglige en première approximation

5. E w = 2 p n k r = c·T = l B E(r,t) = Eo· cos{ 2p· (wt-k·r-) } E r|Emax(t) w  = c = = ln = 0 r|Emax(t) r k t Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.1Ondes électromagnétiques Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:

6. énergie: E = hn = h ~ 10 keV • quantité de mouvement: hk l [Å] = 12.398 E [ keV ] Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Photons Les rayons X vus du point de vue corpusculaire: PHOTONS • masse nulle ! >> énergie d ’ionisation et de vibrations dans la matière ( ~ eV)

7. Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Diffusion d’un photon par un électron RX ~ champ électrique interagit avec particules chargées • protons: NONcar lourds et écrantés par électrons • électrons: OUI -e = -1.6 10-19 C, me = 9.1 10-31 kg • e- de conduction: ~ électrons libres • e- de coeur: électrons liés ~ oscillateurs harmoniques amortis • approche quantique: « Quantifier potentiel vecteur !!! » pas traité dans ce cours, mais nécessaire comprendre l ’origine de l ’absorption ...

8. Q = kf-ki transfert d’impulsion  = f -i transfert d’énergie Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Diffusion cohérente d’un photon par un électron • approche quantique: garder la représentation schématique kff kii • approximation diffusion élastique: dw 0  |ki | | kf | indice de réfraction RX dans la matière très proche de 1

9. e -i(kr-wt) 1 |r| Eo conservation énergie dissipée  Erad2 déphasage p ·a(0,t’) 1 · 4oc2 accélération retardée: on perçoit en r à t, l ’état du dipôle à t’ = t - r/c Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Diffusion cohérente d’un photon par un électron • approche classique: dipôle rayonnant onde diffusée = onde plane à r   Eradiation (r,t)=

10. SF = m·a d2x dx eEoe-iwt = m + kx + b électron libre dt2 dt force appliquée 1D  force de frottement ABSORPTION force de rappel w2 (k-mw2 ) bw3 alié = -eEoe-iwt  - i  (k-mw2 )2 + b2w2 (k-mw2 )2 + b2w2 Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Diffusion cohérente d’un photon par un électron • accélération retardée: électron lié ~ oscillateur harmonique

11. alibre = Eo e-iwt e ikr 1 |r| Erad= | Eradiation (r)|= - Eo e e2 · m longueur de diffusion de Thomson ro= 2.82 10-5 Å 4omc2 Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.2Diffusion cohérente d’un photon par un électron • Champ électrique diffusé pour un électron libre

12. Erad(q) = Erad  cos(2q) observation dans plan de polarisation de Eo  r 2q 1+cos2(2q) Puissance dissipée en faisceau non polarisé  Erad(r)2  r  2  plan de polarisation de Eo Eradindépendant de q 2q Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.3Polarisation

13. dx dx dW dW dW = b dx dt dt dt dt 2 Origine microscopique Méca. Q. potentiel vecteur A e2Eo2 = b  = 2b Ne2 Ndx= dI = - Idx 2b oc2 coefficient d’absorption linéaire Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.4Absorption • électron lié: travail de la force de frottement • effet photoélectrique • fluorescence X • émission électron Auger • approche macroscopique (N électrons absorbants) : Intensité =oc2Eo2

14. hkf hki hq Ef/Ei 1 10keV h lC = = 3.86 10-3 Å mc 100keV 2q 50° 100° sonde pour étudier la matière dans l’espace ( r, p ) Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.5Diffusion Compton • un exemple de diffusion inélastique énergie transférée à un électron processus incohérent  longueur de diffusion de Compton

15. 10-5 dans les solides10-8 dans l’air d ~ n = 1 - d+ ib b < < d réfraction : Snell-Descartes réflexion totale cos(a) = n  cos(a ’) ac ~ 2d cos(a ’) < 1 a a < ac a ’ Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.6Réfraction / réflexion • indice de réfraction pour les RX dans la matière : fabrication d’optique pour les rayons X !!! change l’angle d ’incidence en profondeur ... perceptible si très grande résolution ...

16. r dS = r2dW flux Fo Ao s =  = Nb. part. / unité W /unité temps dn dn 1 Fo dW dW flux incident longueur diffusion Thomson Io Fo =~ |Eo|2 Ao |Erad |2  r2 s = = ro2 P ~ |Erad |2  r2 |Eo|2 polarisation Chapitre 1: Interaction RX / matière 1.7Section efficace

17. RX anode cathode Cu, Mo, Ag ... filament W courant (mA) circulation d’eau électrons Chapitre 2: Production des RX 2.1Tube de Coolidge fenêtre Be HT (kV)

18. rayonnement de freinage transitions atomiques log(I) Ka Kb Energie Chapitre 2: Production des RX 2.1Tube de Coolidge M L K

19. rotation > 1000 tr/min Chapitre 2: Production des RX 2.2Anode tournante permet d ’augmenter la puissance et donc le flux de photons

20. 1 E = mv2 = g mc2 1 g 2 orbite des e-(ou e+) accélération  champ magnétique F = q(E + v  B ) Chapitre 2: Production des RX 2.3Rayonnement synchrotron • conséquence relativiste du rayonnement par des particules chargées voyageant à très grande vitesse source de rayonnement très intense, polarisée et très de faible divergence

21. plan horizontal K 1 g g superposition incohérente  intensité 2N où N nombre périodes plan vertical N S Chapitre 2: Production des RX 2.3Rayonnement synchrotron • élément d ’insertion : Wiggler diminuer le rayon de courbure pour augmenter l’accélération

22. plan horizontal superposition cohérente intensité N2  spectre discontinu N 1 1 N g N g S Chapitre 2: Production des RX 2.3Rayonnement synchrotron • élément d ’insertion : Ondulateur plan vertical

23. flux/angle solide /unité surface échantillon /résolution en énergie Chapitre 2: Production des RX 2.4Comparaison des diverses sources • brillance photons/s/ mrad2 /mm2 / 0.1%Dl

24. D = KIst Chapitre 3: Détection des RX 3.1Films photographiques • D : densité photographique • I : intensité du faisceau X incident (sur le film) • s : surface de pellicule exposée au rayonnement !!! • K : constante de proportionnalité caractéristique du film • t : temps de pose

25. chambre d’ionisation Un gaz (argon ou krypton sous faible pression + halogène en faible teneur) est soumis à une haute tension proche du claquage. Lorsqu’un photon X apporte un excès d ’énergie, le gaz est ionisé et une impulsion de courant produite que l ’on détecte dans circuit électronique adéquat. Il existe plusieurs régimes de fonctionnement: proportionnel et Geiger-Muller ... • compteurs à scintillation Il s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés en photons visibles par un cristal d’iodure de sodium dopé au thallium et sont ensuite détecté par une cellule photoélectrique ... • diodes PIN Il s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés en paires électrons trous dans un cristal de silicium ou germanium fortement dopé en lithium. Le dispositif constitue un type jonction PN qui permet de mesurer un courant... Chapitre 3: Détection des RX 3.2Détecteurs ponctuels

26. “Phosphore” ( ions Eu3+) Ecriture : lorsqu’un photon X frappe le “phosphore”, des électrons sont excités sur des niveaux pièges de longue durée de vie ... désexcitation par laser rouge, lecture dans le bleu par photodiode fenêtre Be fibre optique effacement de l ’information rémanente par éclairement blanc intense Chapitre 3: Détection des RX 3.3 Image Plate

27. refroidisseur à effet Peltier fenêtre Be matrice de capacités MOS couplées i.e. lorsque qu’un photon frappe un pixel MOS, une charge électrique est stockée que l ’on peut lire ensuite grâce à un processus de polarisation séquentielle des capacité MOS ... Chapitre 3: Détection des RX 3.4Caméras CCD “Phosphore” (Gd2O2S) : conversion RX visible condenseur à fibres optiques

28. ponctuels • image-plate • camera CCD • très bonne dynamique • très bonne résolution spatiale (dépend géométrie appareillage) • temps de comptage peut être long (pose + déplacement) • très bonne dynamique, excellent rapport signal/bruit • très bonne résolution spatiale: détecteur grand et distance grande • lecture ~1 minute, temps de pose peut être long • bonne dynamique • résolution spatiale moyenne • acquisition et lecture rapides Chapitre 3: Détection des RX 3.5Caractéristiques à retenir des différents détecteurs

29. 1 I  A2 kf 2 ki r12 différence de marche optique  déphasage 1 / 2 Q  r12 Q = kf -ki ki amplitude diffusée à , avec référence en1 kf A = A1 + A2 eiQr12 r12 pouvoir diffusant de la particule 1 -ro pour 1 électron Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.1Diffusion par 2 particules

30. A =  Aj eiQrj N j=1 densité électronique   -roEo n(r)eiQrj dV = TF[n(r)]  transformée de Fourier Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.2Généralisation à N électrons • origine des positions arbitraire: • approximation cinématique pour la densité électronique: • un élément de volume infinitésimal dV contient dn = n(r)dV électrons • et donc un pouvoir diffusant -rodn • l ’amplitude totale diffusée est donc de la forme:

31. facteur de diffusion atomique: fj électrons de valence fj =n(r)eiQrj dV électrons de coeur petits angles   |Q|  Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.3Facteur de diffusion atomique • modèle d ’atome sphérique: n(r) ~  r b e-ar fj (0) = Ze

32. facteur de structure : < F(Q) F*(Q) >temps F(Q) =  fj eiQrj N • intensité diffusée : j=1 mesure ! Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.4Diffusion par une assemblée de N atomes • modèle d’atomes sphériques indépendants

33. périodicité:  Tm tel que n(r+Tm) = n(r) où pour un système 3D : Tm = uma + vmb + wmc u,v,w  N les vecteurs abc définissent une maille élémentaire Tm Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.5Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg • l’ordre tridimensionnel est ici un ordre àlongue portée

34. F(Q) =   fj eiQ(rj+Tm) M N • facteur de structure : m=1 j=1 somme sur toutes les mailles somme sur les atomes de la maille • réseau réciproque : on introduit une nouvelle base a* b* c* c c* a* a = b* b = c* c= 2p Q = H a* +K b* + Lc* b a* b = b* c = c* a = a* c = c* b = b* a= 0 b* a a* Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.5Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg H K L quelconques pour l ’instant

35.  eiQTm= 1 Q Tm = H um + K vm + L wm = n2p F(Q) = M fj eiQrj= M Fmaille N 2q j=1 d kf ki différence de marche optique 2dsin(q) 2dsin(q) = nl sin(q) n |Q| = = 4p 2 2d interférences constructives Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.5Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg • H K L entiers ? • interprétation géométrique :

36. QHKL Tm Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.5Cas de systèmes périodiques - diffraction • H K L entiers Q = H a* +K b* + Lc* les vecteurs Q forment un réseau appelé réseau réciproque ! et correspondent aux seules directions pour lesquelles on observe de l ’intensité diffractée !

37. I(Q)    < FmF*m+n >n,t eiQTmn m n Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.6Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne • pour chaque maille “m” il peut exister des fluctuations : de position, de composition, etc. • l’intensité mesurée pour un échantillon baignant dans le faisceau X incident devient aussi une moyenne d’espace

38. IBragg(Q)  |< Fm>|2 • diffraction de Bragg Idiffus(Q)  < |Fm|2 > - |< Fm>|2 +  ( <F0F*n > - <F0 > < F*n > ) eiQTn n0 Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.6Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne • diffusion diffuse ... après quelques étapes de calcul ... dépendance en Q liée uniquement au contenu d’une maille  diffusion “large” forte dépendance en Q si corrélations “maille à maille” : transitions de phase, phases modulées, etc.

39. IBragg(Q)  Fo2 e-aQ2 • diffraction de Bragg pour un système monoatomique avec agitation isotrope ! Idiffus(Q)  1 - e-aQ2 Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.7Agitation thermique ... • Fluctuations quadratique moyenne des atomes autour des positions d ’équilibre: • diffusion diffuse

40. Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 4.8Matière “molle” et auto-organisée ... • Ordre à courte et moyenne portée • Distances caractéristiques plutôt grandes • Objet des cours suivants de cette école RX ...

41. Vecteur Q en condition de diffusion en contact avec la sphère d’Ewald Origine de l ’espace réciproque Sphère d ’Ewald: |k| = cste Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental 5.1Construction d’Ewald

42. Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental 5.1Construction d’Ewald

43. composite incommensurable cristal 3D fibres Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental Chapitre 4: Diffraction / Diffusion 5.2 Exemples de Clichés de diffraction/diffusion des rayons X

44. Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental 5.3Eléments d’une chaine de mesures environnement échantillon détecteur générateur • optique: • miroirs • monochromateur tête goniométrique + informatique: interfaçage, traitement des données brutes, analyse, etc.