Algoritmen voor Medische Beeld Analyse

1. Algoritmen voor Medische Beeld Analyse Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl bmia.bmt.tue.nl/people/BRomeny

2. Fourier analysis i(x) o(x) h(x) I() H() O()

3. Gehoortest

4. Fourier analysis - overview • Vector calculus • inproduct, norm, orthogonale vector sets • vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors (basis set) • Function calculus • uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd op interval [a,b] • Sinussen en cosinussen • vormen een orthogonale set (basis set) • Fourier series • functie als som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties

5. Fourier analysis – vector calculus • Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte • Definitie inproduct (u,v) • (u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn • Definitie norm |u| • |u| = (u,u)1/2 • Eigenschap • (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

6. Fourier analysis – vector calculus • Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte • Definitie inproduct (u,v) • (u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn • Definitie norm |u| • |u| = (u,u)1/2 • Eigenschap • (u,v) = |u| · |v| · cos  u v  Voorbeeld in 2D

7. Fourier analysis – vector calculus • Eigenschappen inproduct: • (u,v) = (v,u) • (ku,v) = k (u,v), met k een scalar • (u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠0 • (u+v,w) = (u,w) + (v,w)

8. Fourier analysis – vector calculus • Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0 • In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op elkaar: uv • Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set • In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n; enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v. de set is de nul vector 0 • Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is complete

9. Fourier analysis – vector calculus • Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set: • u=c1v1+ c2v2+ …… + cnvn • Componenten c1 t/m cn kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: • cn = (u,vn) / |vn|2 • Hieruit volgt:

10. Fourier analysis – function calculus • Functies f1(x) en f2(x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b].Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties f(x) werken. • Definitie inproduct (f1,f2): • Definitie norm • |fn| = (fn,fn)½ • Functies f1 en f2 zijn orthogonaal als (f1,f2) = 0.

11. Fourier analysis – function calculus • Eigenschappen inproduct voor functies: • (f1,f2) = (f2,f1) • (k f1,f2) = k (f1,f2), met k een scalar • (f,f) = 0, als f = 0en (f,f) > 0, als f ≠ 0 • (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2,g)

12. Fourier analysis – function calculus • Een set van functies {f0,f1,f2,...} is orthogonaal op interval [a,b] als • (fm,fn) = 0, voor m ≠ n • Een orthogonale set is compleet als de enig overgebleven orthogonale functie de functie f(x) = 0 is • Het aantal functies in een complete orthogonale set is oneindig

13. Fourier analysis – function calculus • Stel {f0,f1,f2,...} is een complete orthogonale set van functies op het interval [a,b] • Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden geschreven als lineaire combinatie van f0, f1, f2, ... • g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ...

14. Fourier analysis – function calculus • g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ... • Componenten c0,c1,c2,... kunnen worden gevonden m.b.v. inproduct: • Hieruit volgt:

15. Fourier analysis – function calculus • De beschrijving van een functie g(x) in termen van een complete orthogonale set functies {f0,f1,f2,...} wordt de gegeneraliseerde Fourier serie genoemd: • Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan op deze manier worden beschreven.

16. Fourier analysis – sines and cosines • De set • is orthogonaal op het interval [−, ]. • Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ] worden beschreven in termen van deze set goniometrische functies

17. Fourier analysis – Fourier series • Met de set • als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde functie g(t) op het interval [[−, ]:

18. met Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’). Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ] kan worden beschreven in termen van sinussen en cosinussen. De termen kunnen (relatief) eenvoudig worden berekend als functie g(x) wiskundig kan worden beschreven. Fourier analysis – Fourier series

19. n=0 sin x sin x+1/3 sin 3x n=1 sin x+1/3 sin 3x+ 1/5 sin 5x n=2 sin x+1/3 sin 3x+ 1/5 sin 5x+ 1/7 sin 7x n=3