Diagnostik der Rechenschwäche

1. Diagnostik der Rechenschwäche Kriterien und Tests

2. Zwei, nein, drei Fallvignetten Quelle. Von Aster, M. (2003). Verstehen wie sie rechnen. Pädagogik, 55 (4), S.36-39)

3. Nicki, 9 Jahre, 3. Klasse, zeigt durchschnittliche bis gute Schulleistungen in allen Fächern mit Ausnahme des Rechnens. Dort hat sie ein schweres Leistungsversagen und befindet sich auf dem Stand der 1. Klasse. Ihre Mutter hat viel Verständnis, sie hatte als Kind selber eine Mathematik-Leidensgeschichte. Nicki in der Untersuchungssituation: Sie hat bereits einige Aufgaben gelöst und bekommt vom Untersucher nun die Aufgabe 6 + 8 = ? gestellt. Der Untersucher fordert sie auf, laut mitzuteilen wie sie vorgeht. Nicki rechnet zunächst 6 + 4 = 10. Dann 8 + 2 = 10, dann 8 + 4 = 12 (diese Ergebnisse hatte sie zuvor schon berechnet). Nicki fährt fort und rechnet nun 2 + ? = 6?. "macht 4". Jetzt fragt der Untersucher was nun das Ergebnis sei: Nicki antwortet "vierzehn". Der Untersucher bestätigt erstaunt, dass das Ergebnis genau stimme, dass er aber doch nicht verstanden habe, wie Nicki dies genau gerechnet habe. Er fordert sie auf, den Rechenweg nochmals zu wiederholen. Nicki tut dies exakt bis zu der Stelle, wo sie 8 + 4 = 12 rechnet. Dann sagt sie hätte sie "noch 2 gerechnet" und sei auf 14 gekommen.

4. Auf die Fragen des Untersuchers nach dem warum der Rechenschritte weist Nicki zunächst auf die zuvor gelösten Rechenaufgaben. Auf die Frage, warum sie dann am Schluss "noch 2 gerechnet„ habe, antwortet Nicki schließlich „Hmm! weils ja vierzehn geben muss!„ Nicki kann richtig zählen und auch Ergebnisse früherer richtig gelöster Aufgaben im Kopf behalten. Das erste Ergebnis war per Zufall richtig. Bei der Wiederholung profitiert Nicki davon, dass der Untersucher das Ergebnis bereits als richtig bestätigt hat. Die entwaffnend korrekte Antwort am Schluss kann daher nicht darüber hinwegtäuschen, dass Nicki nicht recht zu wissen scheint, was sie warum tut. Ihr fehlt die Orientierung in einem inneren Zahlenraum und sie versucht diese 'Blindheit' zu kompensieren, indem sie sich richtige Zahlenfakten merkt.

5. Patrick, knapp 9 Jahre alt, 2. Klasse, zeigt ein sehr impulsives, ungesteuertes Verhalten, ist hyperaktiv, leicht ablenkbar und hat eine sehr oberflächliche Arbeitsweise. Er spricht sehr hastig (poltert) und man gewinnt den Eindruck, dass jede Idee, noch bevor sie überhaupt klare Konturen gewinnt, schon auf dem Weg der Ausführung ist. Wenn Patrick in der Testsituation Punkte auf einer Vorlage mit dem Finger abzählt, so eilt entweder die Sprache oder die Motorik voraus und eine korrekte Eins-zu-Eins-Korrespondenz bleibt selten bis zum Schluss erhalten. Er zählt auch Punkte doppelt und vergisst andere. Entsprechend fehleranfällig sind die Abzählstrategien beim Addieren und Subtrahieren. Die für die Entwicklung von Abrufstrategien nötige Assoziationsstärke zwischen einer Aufgabe und deren Ergebnis kann aber nur zustande kommen, wenn eine gewisse Zeitlang immer das gleiche Resultat erzielt wurde. Ein gezieltes inhaltsbezogenes kognitives Training und die Behandlung der hyperkinetischen Störung konnte hier in relativ kurzer Zeit positive Effekte bringen, zumal die Zahlensemantik ungestört war.

6. Rita, ein 12 Jahre altes Mädchen, dreisprachig spanisch / französisch / deutsch aufgewachsen, besucht die 5. Klasse, schwänzt häufig den Unterricht, zeigte früher nur im Rechnen, später aber generell schwache Schulleistungen und ist depressiv. In der Untersuchung fanden sich überraschend schwerwiegende Probleme beim Übertragen von Zahlen aus der Wortform in die Arabische Form und umgekehrt. Das Wort 'achtunddreissig' schrieb sie als 83, die Arabische Zahl 15 las sie als 'einundfünzig'. Dieselben Schwierigkeiten führten auch dazu, dass sie beim Vergleichen der Größe zweier gesprochener Zahlen eklatante Fehler machte: 'neunundvierzig' war für sie größer als 'einundfünzig'. Ihr Sinn für Zahlenbedeutungen war ungestört: das Zuordnen von Zahlen zu analogen Positionen auf einem Zahlenstrahl gelang ihr fehlerfrei und auch das ungefähre quantifizieren einer Menge von Objekten und das Beurteilen ihrer relativen Größe gelang ohne Mühe. In Einzelförderstunden konnten die verschiedenen Transkodierungs-regeln erarbeitet und gefestigt werden, was zu einem relativ raschen Aufholen und motivierenden Lernen geführt hat.

7. Vorläuferfertigkeiten I • Ebene I: Numerische Basisfähigkeiten - Die Kinder erwerben hier die grundlegende Fähigkeit zur Unterscheidung von Mengen, wobei die parallel erworbene Zählprozedur noch völlig unabhängig davon ist. D. h., Zahlwörter werden hier noch nicht mit korrespondierenden Mengen verbunden - Mengen und Zahlen stehen isoliert nebeneinander.

8. VorläuferfertigkeitenEntwicklungsebenen nach Krajewski & Schneider, 2006 • 3 Ebenen: • Numerische Basisfähigkeiten • Anzahlkonzept • Relationskonzept

9. Vorläuferfertigkeiten II • Ebene II: Anzahlkonzept - Zentraler Entwicklungsschritt ist die Verknüpfung von Zahlen und Mengen: Hier wird bewusst, dass Zahlen Anzahlen repräsentieren. Eine zunächst noch unpräzise Vorstellung (viel-wenig) weicht einer exakten und differenzierten Zuordnung von Zahlwörtern zu korrespondierenden Anzahlen. Zudem verstehen die Kinder hier, dass Mengen in Teile zerlegbar und wieder zusammenfügbar sind (Teil-Ganzes-Schema) und dass Mengen nicht durch räumliche Ausdehnung, sondern durch Hinzufügen oder Wegnehmen veränderbar sind (Zunahme-Abnahme-Schema).

10. Vorläuferfertigkeiten III • Ebene III: Relationskonzept - Hier vollzieht sich der Übergang von mathematischen Vorläuferfähigkeiten zu einem mathematischen Verständnis von Zahlen Die Kinder begreifen, dass Zahlen Beziehungen zwischen zwei Mengen modellieren und quantifizieren können, z. B. Differenzen.

11. Abbildung 1: Entwicklungsmodell früher mathematischer Kompetenzen (aus Krajewski, 2008)

12. Triple-Code-Model (Dehaene, 1992) • Für Zahlbegriff und Rechenoperationen wird auf ein modular gegliedertes neuronales Netzwerk verwendet • In ihm sind Zahlen und Mengen in drei Modi (Formen) repräsentiert • Kulturspezifische Repräsentation • Linguistisches Zahlenwortsystem • Arabisches Notationssystem • Analoge Repräsentation

13. Analoge Repräsentation • Genetische Disposition • Individuell sehr unterschiedliche Visualisierung • Meist als imaginärer Zahlenstrahl • Entwicklung von konkret-analog (Mengen) zu abstrakt-analog (Zahlenstrahl) • Geschieht mittels des Erlernens der arabischen Notation • Subjektive Kompression • Unterschied 5 – 9 größer als 5765 - 5769

14. Modi und Operationen • Analoges Modul • Beurteilen von Quantität, Schätzungen • Arabisches Modul • Umgang und Operationen mit mehrstelligen Zahlen, gerade/ungerade • Linguistisches Modul • Zählen, arithmetrische Zähloperationen, Speichern numerischer Fakten, exaktes Kopfrechnen

16. Bedingungsgefüge der Rechenschwäche (Thiel, 2005)

17. Diagnostisches Vorgehen bei Dyskalkulie/Rechenschwäche • Definition Rechenschwäche: PR der Leistungen < 5-25% der Altersgruppe • Definition Dyskalkulie: Mathe-Leistungen liegen unter dem Altersdurchschnitt (1,5-2 SD), IQ jedoch im statistischen Normalbereich • => IQ-Test (CPM, CFT, K-ABC, AID) • => altersnormierter Mathematik-Test • => Ko-Morbiditäten (insb. Konzentration/ADHS [bei ca. 30%]) • => Fehleranalyse • => Analyse der Lern-/Unterrichtsbedingungen • => Analyse kultureller Benachteiligungen

18. Fehleranalyse • Gibt Hinweise auf verwendete Rechenstrategien und des Zahlbegriffs, • bzw. auf vorliegende Fehler

19. Analyse der Lern-/Unterrichtsbedingungen • Verfahren: • Unterrichtsbeobachtungen • Gespräche mit Schüler / Eltern / Lehrern • Vergleich der Leistungen in verschiedenen Settings • Klassenzimmer, Förderung, Zuhause, Freizeit • Identifikation von schulischen Umweltvariablen im Klassenzimmer oder beim Lehrer, die Lernen behindern

20. Eltern-Checkliste des ZTR Berlin • Überprüft das Vorhandensein von Phänomenen, die mit RS in Zusammenhang stehen und auch von den Eltern beobachtet werden können • Kein normierter Test! • Das Ergebnis rechtfertigt nicht die Diagnose RS! • Die RS-Diagnose verlangt eine Absicherung durch eingehende Diagnostik

21. Rationale • Falls eine RS vorliegt, sollte sie auch bei alltäglichen mathematischen Operationen auftreten • Die Checkliste eignet sich daher: • Für Sopäd. Gutachten, um im Falle negativer oder uneindeutiger Testergebnisse die Falsifikation der RS-Hypothese zu unterstützen • Für Erziehungsberatung, um im Vorfeld Fälle auszusortieren, die vermutlich keine RS sind

22. Lernverhalten, motivational-emotionale Bedingungen • Verfahren: • Unterrichtsbeobachtung, Beobachtung während Förderung • Gespräche mit Schüler, Eltern, Lehrer • Identifikation von Ressourcen/Lernhemmnissen • Interessen, Hobbys (thematische Ansätze für Fördern und sinnhaftes Lernen) • Soziale Ressourcen (Verwandte, Geschwister, Freunde, die als Lernpartner oder Modelle dienen können) • Ängste, Umgang mit Erfolg/Misserfolg (Attributionsstile) • Soziale Hemmnisse (Erziehungsstile, Normen, die Lernen behindern)

23. Mathematiktests • Zweck: • (1) RS-Dyskalkulie-Diagnose • Vergleich des Leistungsstands • Absicherung des Befundes gegenüber Beurteilungsfehlern • (2) Förderung • Identifikation von Fehlerqualitäten, die Ansatzpunkte für Förderung werden

24. Mathematiktests • Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ) • J. E. H. van Luit, B. A. M. van de Rijt, K. Hasemann, 2001 • Geeignet für Vorschule, 1. Klasse und PB-Bereich (5-7,5 Jahre)

25. Mathematiktests • Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe (DORT-E) • W. Moog, A. Schulz, 1999 • Prozessorientiertes Verfahren, keine Altersnormen • Standardisierte Fehleranalyse • Informelle Verfahren: Kutzer-I, Kutzer-II • Fehleranalyse

26. Mathematiktests • Deutscher Mathematiktest für erste bis vierte Klassen (DEMAT 1+, 2+, 3+, 4+) • K. Krajewski, S. Liehm, W. Schneider, • Orientiert sich an den curricularen Leistungsanforderungen

27. Materialien zu Fehleranalyse • z.B. Beobachtung des Lösungsweges beim Rechnen • Hamburger Schulbehörde, 1991

28. Strukturierte Förderprogramme • „Zahlen begreifen“ Moog & Schulz, 2005 • „Mengen, zählen, Zahlen MZZ“ Krajewski, Nieding & Schneider, 2007 • Krajewski, K.; Nieding, G.; Schneider, W. (2007): Mengen, zählen, Zahlen – Die Welt der Mathematik entdecken (Förderprogramm). Berlin: Cornelsen. • Moog, W.; Schulz, A. (2005): Zahlen begreifen – Diagnose und Förderung bei Kindern mit Rechenschwäche, Mit Test- und Trainingsverfahren., 2. überarbeitete Auflage, Beltz.

29. „Normaler“ Förderunterricht • Effekte direkter Instruktion durch Lehrer sind durchaus substantiell • Effektstärken (Metaanalysen): .50 - .91 • Lernstand Mathematik, Diagnose und Förderung, Primarstufe, Materialien, Aufgaben, Materialien zum Unterricht • Hessisches Landesinstitut für Pädagogik, 2002

30. Weitere Materialien • Petra Scherer, Franz B. Wember: Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen, Fördern durch Fordern • Jens Holger Lorenz: Mathematikus (auch als multimediales Computerprogramm) • Albrecht Gründler, Anita Rudolph und Sabine Schulz: Finger, Bilder, Rechnen – (Hamburger Zahlbegriffs- und Rechenaufbau) • Erich Ch. Wittmann und Gerhard N. Müller: Das Zahlenbuch. Kreatives Mathematiklernen für alle Kinder

31. Darstellungen einzelner Verfahren • DORT-E • Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe • OTZ • Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung

32. DORT-E • Dortmunder Rechentest für die Eingangsstufe

33. Der DORT-E ist in drei Untertests unterteilt: 1. Zähl- und Abzählfertigkeiten 2. Mengen- und Zahlrelationen, Mengen- operationen 3. Numerisches Rechnen

34. 33 Aufgaben pro Untertest = Gesamttest 99 Aufgaben. • Die Untertests sind in verschiedene Aufgabengruppen unterteilt. • Die Aufgaben werden verbal vorgegeben, die Antworten werden vom Untersucher in einem Protokollbogen festgehalten. • Bei einigen numerischen Items und bei der Mengenherstellung ist ein prozessdiagnostisches Vorgehen vor, bei dem Lösungswege des Probanden protokolliert werden • z. B.: Wurde im Kopf oder mit den Fingern gerechnet? • Wurde bei der Addition vom größeren Summanden aus weitergezählt? • Nach welchem Verfahren werden Teilmengen aus einer Gesamtmenge ausgegliedert? • Erkennt der Schüler eine Zehner­Punkte-Konfiguration in einer Abbildung als die doppelte Menge von fünf Punkten?

35. Trotz der stark strukturierten Durchführung ist der DORT-E kein Leistungstest im eigentlichen Sinne, sondern eher ein informelles Verfahren • Keine Altersnormen • Keine Gruppennormen • freizügige Gestaltungsmöglichkeiten der Testdurchführung mit dem Ziel, Denk- und Lösungsgewohnheiten der Schüler zu explorieren. • Gesamttestdauer: 45-60 Minuten

36. Interne Konsistenz nach KUDER-RICHARDSON TesthalbierungsreliabiIität Gesamttest .94 .95 Testteil 1 .78 .83 Testteil 2 .85 .88 Testteil 3 .94 .95

37. Durchführungs- und Protokollierungsregeln • Durchführung des DORT -E wird auf zwei Untersuchungstage verteilt • (im Regelfall Subtest 1 und 2 am ersten, Subtest 3 am zweiten Tag) • Bei leistungsstärkeren Schülern kann er auch an einem Tage durchgeführt werden. Bei langsameren und wenig belastbaren Schülern sind genauso auch drei Untersuchungstermine möglich. Wenn möglich, sollte der DORT-E von zwei Untersuchern durchgeführt werden, wobei einer den Probanden instruiert und der andere protokolliert. • Der Protokollant zeichnet die Antworten des Probanden auf einem standardisierten Protokollbogen auf. • Dabei wird die Lösung notiert. Für falsche und anschauungsgebundene Antworten werden Fehlerpunkte (FP) vergeben. • Schließlich werden die Fehlersummen der drei Testteile addiert. • Zusätzlich werden Verhaltensbeobachtungen frei notiert. Beim Subtest 3 (numerische Rechenleistung) notiert der Protokollant den Rechenmodus, verzögerte Lösungszeiten und die Explorationsergebnisse zur Rechenstrategie.

38. Erster Untertest: Zähl- und Abzählfertigkeiten • 1.0 Vorwärtszählen • Bild mit Verstecken-spielenden Kindern vorlegen • »Auf dem Bild siehst du Kinder, die Verstecken spielen. Das Kind, das da am Haus steht, sollst du sein. Es hat gerade angefangen bis 15 zu zählen. Mach uns das einmal vor.« - »,,,« • PROTOKOLLIERUNG: • Wo nicht anders vermerkt, werden Fehlerpunkte (kurz: FP) verteilt. • Die richtig genannten Zahlen werden auf dem Protokollbogen durchgestrichen; die an falscher Stelle stehenden Zahlen werden über die richtigen Zahlen geschrieben. • WERTUNG: • keine Auslassung / Vertauschung: 0 FP • eine / mehr als eine Auslassung / Vertauschung: 1 FP • Als falsch gilt, wenn eine Zahl ausgelassen oder mit einer anderen schon genannten oder noch nicht genannten vertauscht wurde.

39. 1.1 Rückwärtszählen • Bild mit Rakete vorlegen • »Auf dem Bild ist eine Rakete zu sehen. Bevor eine Rakete startet, wird von 10 rückwärts bis 0 gezählt. Erst bei 0 startet sie. Versuch jetzt mal die Rakete starten zu lassen, indem du von 10 rückwärts zählst.« -»..,« • Zählt das Kind die ersten drei Zahlen in Vorwärtsrichtung, ist es zu unterbrechen und darauf hinzuweisen, dass rückwärts gezählt werden soll; es soll neu bei »10« angesetzt werden: • »Stop! Du hast jetzt vorwärts gezählt. Jetzt sollst du aber rückwärts zählen. Weißt du, wie das geht?« • Verständnis vorhanden? • falls ja: »Fang noch mal bei 10 an.« • falls Nein: »Steh einmal auf und gehe rückwärts!« -»...« »Und jetzt sollst du rückwärts zählen.« • Verständnis nun vorhanden? • Wenn Nein: keine weitere Wiederholung; Antwort gilt als Fehler.

40. Eine Wiederholung hat nicht zu erfolgen, wenn beim Rückwärtszählen die Richtung plötzlich gewechselt wird (Bsp.: 10, 9, 8, 4, 5, 6, 7). • PROTOKOLLIERUNG: • Die richtig genannten Zahlen werden auf dem Protokollbogen durchgestrichen; die an falscher Stelle stehenden Zahlen werden über die richtigen Zahlen geschrieben. • WERTUNG: • keine Auslassung / Vertauschung: 0 FP • eine / mehr als eine Auslassung / Vertauschung: 1 FP • Als falsch gilt, wenn eine Zahl ausgelassen oder mit einer anderen schon genannten oder noch nicht genannten vertauscht wurde. Das Vergessen der »0« gilt nicht als Fehler. • Wird die Aufgabenbearbeitung gemäß Instruktion wiederholt, so ist vor der erzielten FP-Summe ein »W« zu notieren. Ist danach Verständnis immer noch nicht vorhanden (zählt der Pb also wieder vorwärts), so ist 1 FP zu vergeben.

43. OTZOsnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung

44. Der Aufbau des OTZ • Beschreibung der Teiltests • Der Test hat die folgenden Teile, die den Komponenten des frühen Zahlbegriffs entsprechen: • l. Vergleichen • 2. Klassifizieren • 3. Eins-zu-eins-Zuordnen • 4. Nach Reihenfolge ordnen • 5. Zahlwörter benutzen • 6. Synchrones und verkürztes Zählen • 7. Resultatives Zählen • 8. Anwenden von Zahlenwissen

45. 1) Vergleichen • Der Vergleich von quantitativen oder qualitativen Merkmalen von Objekten. In diesem Teiltest wird festgestellt, ob die Kinder Begriffe beherrschen, die Voraussetzung für die Bildung mathematischer Ordnungsbegriffe und -relationen sind, wie zum Beispiel „die meisten", „die wenigsten'`, „höher" und „niedriger". 2) Klassifizieren • Die Zusammenfassung von Objekten zu einer Klasse oder Unterklasse nach gewissen Kriterien. Bei diesen Aufgaben wird überprüft, ob die Kinder Objekte aufgrund von Übereinstimmungen oder Unterschieden zusammenfassen bzw. differenzieren können.

46. 3) Eins-zu-eins-Zuordnen • Der Vergleich der Mächtigkeit von Mengen durch Eins-zu-eins-Zuordnungen zwischen verschiedenen Objekten. Zum Beispiel wird gefragt, ob es gleich viele Hühner wie Eier gibt, oder es wird überprüft, ob die Kinder erkennen, daß sechs Holzwürfel von ihrer Mächtigkeit (Anzahl) her genau so viele sind wie die sechs Punkte auf einem Spielwürfel.

47. 4) Nach Reihenfolge ordnen • Die Anordnung von Objekten nach gewissen Kriterien. Es wird festgestellt, ob die Kinder in der Lage sind, eine (in)korrekte Anordnung zu erkennen. Dabei werden folgende Begriffe benutzt: Von hoch nach niedrig, von dick nach dünn, von eng nach breit. Ferner müssen die Kinder Reihenfolgen selbst herstellen, indem sie Linien zeichnen, z. B. von einem großen Kaninchen zu einer großen Möhre und von einem kleinen Kaninchen zu einer kleinen Möhre.

48. 5) Zahlwörter benutzen • Vorwärts zählen, rückwärts zählen und weiterzählen sowie die Verwendung von Kardinal- und Ordinalzahlen. Mit diesen Aufgaben wird das verbale Zählen überprüft und es wird festgestellt, ob die Kinder die Kardinal- und Ordinalzahlen bis zwanzig korrekt verwenden können. 6) Synchrones und verkürztes Zählen • Abzahlen. verkürztes Zählen unter Verwendung der Zahlbilder beim Würfel. Unter Verwendung von Gegenständen (u. a. von Holzwürfeln) wird festgestellt, ob Kinder das Abzählen von Quantitäten beherrschen. Dabei dürfen die Kinder beim Zählen mit den Fingern auf die Objekte zeigen. Ferner wird festgestellt, ob sie gewisse Zahlbilder beim Spielwürfel sofort erkennen.

49. 7) Resultatives Zählen • Zählen von strukturierten und unstrukturierten Quantitäten sowie das Zählen von versteckten Quantitäten. In diesem Teil wird überprüft, ob die Kinder in der Lage sind, die Gesamtzahl von Objekten in strukturierten und unstrukturierten Mengen zu ermitteln. Während des Zählens dürfen sie nicht mit den Fingern auf die Objekte zeigen. 8) Anwenden von Zahlenwissen • Die Fähigkeit, das Zahlenwissen in einfachen Problemsituationen anzuwenden. Es wird festgestellt, ob die Kinder die Zahlen bis 20 in Alltagssituationen verwenden können.

50. Beispiele für Teiltests