微分方程式の数値解法（具体例その１：オイラー (Euler) の方法）近似誤差を Order( h 2 ) とすると ( h 2 以上の高次の h の関係式を無視すると ) ，

微分方程式の数値解法 （具体例その１：オイラー(Euler)の方法）近似誤差を Order(h2) とすると (h2以上の高次のhの関係式を無視すると)， F(x, y, h) = h f(x, y) であり， y(x + h) ＝ y(x) + Φ(x, y, h) y(x + h) ≒ y(x) + F(x, y, h) Y(x + h) ≒ Y(x) + h f(x, y) と近似可能．

そこで，h2以上の高次のhの関係式を無視する 微分方程式の • 数値解析的解法の手法をアルゴリズムで記述すると， • アルゴリズム(オイラーの方法)は， • x = a = x0, x = b = xnの区間情報より，きざみ h =(b-a)/n を決定 • x = x0, y(x) = y(x0) = y0を基に Y1 = y0 + h f(x0, y0) より値を決定 • xi=xi-1 + h より，きざみを１つ前進 • Yi+1 = Yi + h f(xi , Yi) より，近似値 Ynを順次求める • と表現可能．

解の計算精度を向上させるため，近似関数の精度を修正して，近似誤差を Order(h3) とすると(すなわち，h3以上の高次のhの関係式を無視する方法を考えると)，近似関数 F(x, y, h) は F(x, y, h) = h { f(x, y) + (h /2!) df(x, y)/dx } と表現可能．何故かという疑問には正確に答え難いものの，ここで，近似関数 F(x, y, h) を F(x, y, h) = h { α f(x, y) + β f(x + γh, y + γh f(x, y)) } なる漸化式で表現できるようα,βおよびγを定める

テーラー展開を利用して，未定係数法などにより，上記のα, βおよび γを求めると，これら間には，次のような関係式が成立する．すなわち， • α + β = 1 • β γ = 1/2 • なる方程式が得られる．２つの方程式では３つの未知数， α ， βおよびγを一意には決定できないので，パラメータ λ を導入して， β = λ とし，パラメータ λを介して， α，βおよびγを • α = 1 - λ β = λ γ = 1 / (2λ) • と表現可能．

そこで，近似関数 F(x, y, h) は y(x + h) = y(x) + h { α f(x, y) + β f(x + γ h, y + γ h f(x, y) ) } = y(x) + h { (1 - λ) f(x, y) + λ f(x + h/(2λ), y + h/(2λ) f(x, y) ) } なる漸化式で表現可能

微分方程式の数値解法 （具体例その２：修正オイラー(Modified Euler)の方法） λ = 1 とすると，修正オイラーの方法が導出．この時，近似関数 F(x, y, h)は， y(x + h) = y(x) + h f(x + h/2, y + h/2f(x, y) ) と表現可能．

アルゴリズム(修正オイラー(Modified Euler)の方法) は， • x = x0の時，Y0 = y(x0) = y0を初期値とする • μ0 = h f(x0, Y0)ν0 = h f( x0 + h/2, Y0 + μ0/2 ) • 従って，Y1 = Y0 + ν0 • xi=xi-1 + h より，きざみを１つ前進 • μi-1 = h f(xi-1, Yi-1)νi-1 = h f( xi-1 + h/2, Yi-1 + μi-1/2 ) • Yi = Yi-1 + νi-1より，近似値 Ynを順次求める • と記述できる．

微分方程式の数値解法 （具体例その３：ホイン(Heun)の方法） λ = 1/2 とすると，ホインの方法が導出．この時，近似関数 F(x, y, h)は， y(x + h) = y(x) + h { 1/2 f(x, y) + 1/2 f(x + h, y + h f(x, y) ) } と記述．

アルゴリズム(ホインの方法) は， • x = x0の時，Y0 = y(x0) = y0を初期値とする • ξ0 = h f(x0, Y0) η0 = h f( x0 + h, Y0 + ξ0 ) • 従って，Y1 = Y0 + 1/2 (ξ0 + η0) • xi = xi-1 + h より，きざみを１つ前進 • ξi-1 = h f(xi-1, Yi-1)ηi-1 = h f( xi-1 + h, Yi-1 + ξi-1 ) • Yi = Yi-1 + 1/2 (ξi-1 + ηi-1) より，近似値 Ynを順次求める • と記述．

微分方程式の数値解法 • （具体例その４：ルンゲ・クッタ(Runge-Kutta)の方法） • 資料を見て確認してもらうため，ここではアルゴリズムの基に　なる漸化式のみを掲載． • ルンゲ・クッタ(Runge-Kutta)の方法は微分方程式の数値解析　的解法を統一的に扱ったもので，現在最も一般的に利用． • これまで述べてきたように，近似関数のもつ誤差をどのよう　　に減少されるかを検討し，原理的には，Order(h5)以上の誤　差を無視して近似関数を求める手法を採用．

これから説明するルンゲ・クッタ法では，近似関数 Y(x + h) が Y(x + h) = Y(x) + h/6 ( k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) 但し， k1 = f(x, Y(x)) k2 = f(x + h/2, Y(x) + h/2 k1) k3 = f(x + h/2, Y(x) + h/2 k2) k4 = f(x + h, Y(x) + hk3) なる近似関数で与えられる．これを一般にルンゲ・クッタ法と呼び，次ページに示すような漸化式で微分方程式の解を計算することになる．

アルゴリズム(ルンゲ・クッタの方法) は， • x = x0の時，Y0 = y(x0) = y0を初期値とする • k1 = f(x0, Y0)k2 = f(x0 + h/2, Y0 + h/2 k1)k3 = f(x0 + h/2, Y0 + h/2 k2)k4 = f(x0 + h, Y0 + h k3) • 従って，Y1 = Y0 + h/6 ( k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4 ) • xi = xi-1 + h より，きざみを１つ前進 • 以下，同様にして，Yiを漸化式より，順次求めていく． • と記述される．

この方法は，次数を明示して，４次のルンゲ・クッタ法と呼ばれることがある．この方法は，次数を明示して，４次のルンゲ・クッタ法と呼ばれることがある． • 同様に， • オイラーの方法：１次のルンゲ・クッタ法 • 修正オイラーの方法，あるいは，ホインの方法：２次のルンゲ・　　クッタ法 • と呼ばれることがある．一応，これで，数値解析としては，一通りのメニューを終了することになりました．

微分方程式の数値解法（具体例その１：オイラー (Euler) の方法）近似誤差を Order( h 2 ) とすると ( h 2 以上の高次の h の関係式を無視すると ) ，