第 29 课时　切线的性质和判定

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第29课时┃ 切线的性质和判定 考点聚焦考点1　切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．垂直考点2　切线的判定垂直考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 考点3　切线长及切线长定理相等平分考点聚焦归类探究回归教材

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第29课时┃ 切线的性质和判定 考点4　三角形的内切圆三条角平分线距离考点聚焦归类探究回归教材

规律清单 第29课时┃ 切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 归类探究探究一　圆的切线的性质命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论； 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例1[2011·湛江]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边 BC相切于点D. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．图29－1 考点聚焦归类探究回归教材

解　析(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；解　析(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证； (2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．第29课时┃ 切线的性质和判定解：(1)证明：连接OD， ∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC. 考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 (2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2＋OD2. ∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3. 方法点析　　“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 探究二　圆的切线的判定方法命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．考点聚焦归类探究回归教材

例2[2013·湖州] 第29课时┃ 切线的性质和判定图29－2 考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 解：(1)连接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB， ∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2. (2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°. ∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°， ∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 方法点析　　在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 探究三　切线长定理的运用命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明．例3[2012·绵阳]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．图29－3 考点聚焦归类探究回归教材

解　析(1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；解　析(1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．第29课时┃ 切线的性质和判定解： (1)∵PA、PB分别为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°. 在四边形APBO中， ∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°. 考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 方法点析 (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．考点聚焦归类探究回归教材

例4[2012·玉林] 第29课时┃ 切线的性质和判定探究四　三角形的内切圆命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径． C 考点聚焦归类探究回归教材

解　析连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE, Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C. 第29课时┃ 切线的性质和判定图29－4 考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 方法点析解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 与切线有关的辅助线的添加回归教材教材母题　　如图29－5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．图29－5 考点聚焦归类探究回归教材

证明 证明：连接OC. ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线． ∴OC⊥AB. ∴AB是⊙O的切线．第29课时┃ 切线的性质和判定中考预测考点聚焦归类探究回归教材

第29课时┃ 切线的性质和判定 解：(1)证明：连接OA， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°. 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°. 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线．图29－6 考点聚焦归类探究回归教材

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