Metoda parametrilor în origine

1. Metoda parametrilor în origine

2. Grinda rezemată punctual Grinda rezemată pe mediu Aplicaţie

3. Grinda rezemată punctual Se consideră o grindă încărcată cu: moment încovoietor, forţe concentrate şi, în origine, cu: , fig. 1. Fig. 1. Grindă rezemată punctual

4. Grinda rezemată punctual Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate are forma: (1) Expresiile momentului încovoietor în diverse secţiuni ale grinzii sunt următoarele: (2)

5. Grinda rezemată punctual Se înlocuiesc expresiile (2) în (1) şi se integrează luând în considerare relaţiile (3) (3) rezultă: (4)

6. Grinda rezemată punctual si (5)

7. Grinda rezemată punctual Constantele integrare,Ci şi Di, se determină din condiţii la limită: (6) şi de continuitate: (7) (8) Expresiile generale ale săgeţii şi rotirii: (9)

8. Grinda rezemată pe mediu Se consideră o grindă, rezemată pe un mediu deformabil, acţionată ca în figura 2. Fig.2. Grindă rezemată pe mediu deformabil

9. Grinda rezemată pe mediu Ecuaţia grinzii rezemate pe mediu deformabil, tronsonul O-C: (5.10.) Soluţia ecuaţiei este următoarea: (5.11.) Cunoscând expresiile: (5.12.) Soluţia de mai sus devine: (5.13.)

10. Grinda rezemată pe mediu Constantele Ci se determină funcţie de şi pentru x=0, luând în considerare derivatele funcţiilor trigonometrice, tabelul 1, rezultă: (14) Tab. 1. Derivatele funcţiilor trigonometrice

11. Grinda rezemată pe mediu Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin constantele: (15) Introducând (15.) în (13.) soluţia ecuaţiei diferenţiale, expresia săgeţii într-o secţiune x din intervalul OA, are forma finală: (16)

12. Grinda rezemată pe mediu Pentru expresia liniei elastice folosim funcţiile Puzârevski: (5.17.) şi derivatele acestora: (5.18.)

13. Grinda rezemată pe mediu Pentru x = 0, funcţiile şi derivatele se calculează cu relaţiile: (19.) Linia elastică folosind funcţiile Puzârevski are forma: (20.)

14. Grinda rezemată pe mediu Cu această expresie se determină săgeata în intervalul O-A, cunoscând în funcţie de tipul rezemării din extremităţi: , totdeauna doi parametrii. În intervalul A – B : (21.) (22.) În intervalul B – C : (23.) (24.)

15. Grinda rezemată pe mediu În intervalul C – D : (25.) Dacă (26.) (27.)

16. Grinda rezemată pe mediu În intervalul D – E : , se introduc două sarcini distribuite şi de sensuri contrare, (28.) (29.) În cazul general: (30.)

17. Aplicaţie Să se rezolve grinda din figură, prin metoda parametrilor în origine. Fig. 3. Grinda rezemată parţial pe mediu defprmabil

18. Aplicaţie Date: Obs.: În zona , O – A, grinda nu este rezemată pe teren. Considerăm originileîn O şi în A. Notaţii: , expresia săgeţii în zona ; , expresia săgeţii în zona ; Parametrii în origine: - zona : ; încastrare - zona : şi

19. Aplicaţie Expresiile săgeţilor: zona (31.) (32.)

20. Aplicaţie : Condiţii pentru determinarea celor şase necunoscute: şi • continuitatea liniei elastice în secţiunea A: (33.) • condiţii de capăt : (34.)

21. Aplicaţie Prin derivări succesive ale expresiilor (1) şi (2) se obţin soluţiile: şi (35.) (36.) (37.)

22. Aplicaţie Înlocuim expresiile de mai sus în (33.) şi (34.): (38.)

23. Aplicaţie Se rezolvă sistemul de ecuaţii (38.) în funcţie de datele numerice cunoscute:

24. Aplicaţie Rezultă:

25. Aplicaţie Calculul deplasărilor şi eforturilor în diverse secţiuni ale grinzii se realizează aplicând relaţiile: • pentru porţiunea O-A, relaţia - (9.); • pentru porţiunea A-B, relaţiile: (30.), (35.), (36.) şi (37.). Rezultă expresiile următoare pentru porţiunea O-A:

26. Aplicaţie Care pentru diverse secţiuni conduc la:

27. Aplicaţie În diferite secţiuni din porţiunea A-B se obţin următoarele valori:

28. Aplicaţie