Definizione

1. Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F’’ Definizione Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’ ESEMPIO 1

2. Proprietà Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine: • il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k • angoli che si corrispondono sono congruenti • la figura simile a una retta è una retta • se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. Inoltre: • due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità) • due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1). 2

3. Riconoscere poligoni simili Se due poligoni hanno: • i lati proporzionali: • gli angoli congruenti: allora sono simili. Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine 3

4. A ≅ A’, B ≅ B’ ABC ~ A’B’C’ I criteri di similitudine Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti. 4

5. AB : A’B’ = AC : A’C’, A ≅ A’ ABC ~ A’B’C’ I criteri di similitudine Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente. 5

6. AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ ABC ~ A’B’C’ I criteri di similitudine Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali. 6

7. Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili. Hp.MN ║ BC Th. ABC ~ AMN • possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ≅ ACB e AMN ≅ ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio Criteri di similitudine ESEMPIO Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi: • possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell’omotetia di centro A e che quindi sono anche simili • possiamo dire che i due triangoli hanno l’angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio • possiamo dire che, essendo MN ║ BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio 7

8. il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k • il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: Proprietà dei triangoli simili Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k: • il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè: 8

9. Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che: Corrispondenza con i teoremi di Euclide • in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione • del cateto stesso sull’ipotenusa • in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni • dei cateti sull’ipotenusa 9

10. se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti • dell’altra corda sono gli estremi di una proporzione CP : BP = AP : DP • se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte • esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione PD : PB = PA : PC Similitudine e circonferenza Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà: 10

11. se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna PB : PQ = PQ : PA Similitudine e circonferenza 11

12. Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero. r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD) Similitudine e circonferenza Vale inoltre il teorema di Tolomeo: E il suo inverso: Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza. 12