CiÄ…gi liczbowe

1. Ciągi liczbowe Zadanie 5e Aby przeglądać rozwiązanie „krok po kroku” proszę włączyć : pokaz slajdów i przyciskać Enter

2. Sprawdzić, czy ciag liczbowy o wyrazie ogólnym : jest monotoniczny i ograniczony. A jeśli tak, to jaki stąd wniosek? Aby sprawdzić monotoniczność zbadamy różnicę n+1 wyrazu i n-tego: Jeśli ta różnica będzie większa od zera, to ciąg będzie rosnący, bo następny wyraz będzie większy od poprzedniego. Różnica: jest większa od zera, zatem ciąg jest rosnący.

3. Teraz zbadamy jego ograniczoność. Ciąg ma wyrazy dodatnie, więc jest z dołu ograniczony przez zero. Zbadamy ograniczoność z góry. Każdy wyraz w sumie po lewej stronie zastąpiliśmy wyrazem większym i uzyskaliśmy n takich samych wyrazów, których suma jest mniejsza od jedności. Podany ciąg jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, a zatem zbieżnym. Spróbujemy obliczyć jego granicę, choć to nie będzie łatwo. Zrobimy to na dwa sposoby, obydwa jednak wymagają pewnych wiadomości z analizy matematycznej. Sposób I. Wprowadzimy pomocniczy ciąg: Wtedy wyjściowy ciąg będzie można zapisać jako:

4. Wprowadzimy jeszcze jeden ciąg : Gdzie lnn jest logarytmem przy podstawie e (logarytmem naturalnym). Przy następnych nierównościach skorzystamy z następującej nierówności, którą nie będziemy wykazywać, ale mam nadzieję przekonamy do niej odpowiednim rysunkiem. Okazuje się, że dla dodatnich x asymptota x= -1 Na rysunku prosta y = x, leży nad wykresem funkcji logarytmicznej. W punkcie x=0 jest styczna do logarytmu. Skorzystamy z tej powyższej nierówności i otrzymamy: Ten najnowszy ciąg jest ograniczony z dołu przez zero. Pokażemy, że jest malejący.

5. Weźmy różnicę , wykażemy, że jest ujemna. Znowu skorzystamy z rysunku, aby przekonać o słuszności jeszcze jednej nierówności, że dla argumentów nie mniejszych od jedności zachodzi: Korzystając z tej nierówności dostajemy Ciąg jest malejący i ograniczony z dołu, ma zatem granicę, oznaczymy ją przez c . Można zapisać, że Na rysunku czerwona linia to gdzie A przerywana linia to Wróćmy teraz to pierwotnego ciągu Obliczymy jego granicę: bo Granicą rozpatrywanego od początku ciagu jest ln2.

6. II sposób. Jest krótszy, ale wymaga znajomości szeregów liczbowych. Ponieważ to różnica Stąd Z lewej strony równości zostanie tylko różnica n+1 i pierwszego wyrazu Pierwszy wyraz To wyraz n+1 zapiszemy w postaci Obliczymy granicę tego ciągu :

7. Skorzystamy teraz z analizy matematycznej i zapiszemy rozwinięcie funkcji ln(1+x) w szereg MacLaurina dla argumentów większych od - 1, ale mniejszych lub równych 1. Wstawiając do tego rozwinięcia x=1, otrzymujemy Zatem