Тригонометричні функції

1. Тригонометричні функції Доробки до уроків виконала Нюкіна Тамара Володимирівна, вчитель вищої категорії Смілянської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №2.

2. Структура навчальної програми

3. Навчальні досягнення учнів • Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки. • Встановлює відповідність між дійсними числами і точками на одиничному колі. • Формулюєозначення синуса, косинуса, тангенса, котангенса кута і числового аргументу; властивості тригонометричних функцій. • Розпізнає і будує графіки тригонометричних функцій і на них ілюструє властивості функцій. • Обчислює значення тригонометричних виразів. • Перетворюєнескладні тригонометричні вирази. • Застосовуєтригонометричні функції до опису реальних процесів, зокрема гармонічних коливань.

4. 1800 О Пригадаємо • У геометрії термін “кут” вживають для позначення двох понять: • геометричної фігури, утвореної двома променями із спільним початком (00<α≤1800); 2) величини, що характеризує міру відхилення одного променя від іншого , або кута повороту (-∞<α<+∞). • Якщо розгорнутий кут розділити на 180 рівних частин і одну частину прийняти за одиницю вимірювання, то ця одиниця буде називатися градусом. • Градус (10) – це 1/180 частина розгорнутого кута.

5. Радіанне вимірювання кутів. • У математиці, астрономії, фізиці використовують радіанну міру вимірювання кутів. Перше видання яке містило термін “радіан”, вийшло в 1873 р в Англії. • “Радіан” походить від латинського radian (спиця, промінь).

6. Це цікавоІснують різні системи вимірювання кутів . • Градусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один “крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута. • В геометрії як одиницю вимірювання кутів використовують прямий кут (d). Якщоα=300, в одиницях прямого кута позначають так α=⅓ d. • В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутову годину. Це величина кута, який становить 1/6 частину прямого. • В техніці за одиницю вимірювання кутів взято повний оберт. • В артилерії кути вимірюють в “поділках кутоміра”. Велика поділка – це 1/60 частина повного оберту, мала поділка – 1/100 частини великої поділки (28-32, що означає 28 великих і 32 малих поділок кутоміра). • Моряки вимірюють кути в румбах. Ця одинця дорівнює 1/16 частині величини розгорнутого кута. • В картографії в деяких країнах за одиницю вимірювання кутів взято град.(g) 1g дорівнює 1/200 частині величини розгорнутого кута (α=5g)

7. Радіанне вимірювання кутів • Кут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола. • 1800=π радіан; 1 радіан = ≈ 570; 10= рад ≈ 0,01745рад • α0- градусна міра кута, а – радіанна R О )1рад R Формули переходу від градусної до радіанної міри і навпаки

8. Поміркуй • Визначити радіанну міру кута 1080. • Визначити градусну міру кута 2,3рад

9. Подай в радіанній мірі величини кутів 360, 600, 2700, 2160. Подай в градусній мірі величини кутів π/12; π/8; 3π/4; -π/9. Перевір себе π/5; π/3; 3π/2; 6π/5. 150; 22,50; 1350; -200. Виконай самостійно

10. Особливості • В радіанній системі не введено позначення одиниці вимірювання. Під знаком тригонометричної функції записують тільки числове значення величини кута. Cos π/6; sin2. • Одиниця вимірювання радіанної міри міститься у розгорнутому куті не ціле число разів, а ірраціональне: π≈ 3,14. • Для малих кутів, виміряних у радіанах виконуються наближені рівності sinα≈α, tgα≈α. • При радіанному вимірюванні кутів спрощується ряд формул . • Довжина дуги • Площа сектора

11. Гіппарх Синус, косинус, тангенс, котангенс • “Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” – трикутник і “метріо” - вимірюю) означає “вимірювання трикутників”. Виникнення тригонометрії пов'язане з розвитком астрономії, зародилась та розвивалась у Вавилоні, Єгипті, Китаї, Індії та інших древніх країнах. • Древньогрецькі вчені склали перші тригонометричні таблиці довжин хорд, що відповідають різним центральним кутам кола постійного радіуса, які вони використовували для розв'язування трикутників. Перші таблиці було складено давньогрецьким математиком Гіппархом з Нікеї (ІІ ст. до н.е.). • Астроном-математик був засновником математичної географії, склав зірковий каталог, досить точно визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні координати (широту і довготу), використовуючи складені ним тригонометричні таблиці хорд.

12. Синус і косинус зустрічаються в Індійських астрономічних викладах вже з IV-V ст. Синус “ардхаджива”, тобто половина хорди (“джива” – хорда, тятива луку), Це слово було викривлено арабами в “джайб”, що по арабські означає пазуха, опуклість. Слово “джайб” було переведено у XII ст. на латинь відповідним словом “sinus”. Косинус індійці називали “котиджива”, тобто синус залишку (до чверті кола). Від перестановки цих слів і скорочення одного із них (co-sinus) утворився термін “косинус”. У IX-X ст. вчені країн ісламу (ал-Хабаш, ал-Баттані, Абул-Вафа та ін.) ввели нові тригонометричні величини: тангенс (розв´язування задач на визначення довжини тіні) і котангенс,секанс і косеканс. Латинське словоtangens означає дотичний (відрізок дотичної), sekans – січний (відрізок січної). Терміни “котангенс” і “косеканс” були утворені за аналогією з терміном “косинус”.

13. Тригонометричні функції числового аргументу Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника. Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи: Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи: Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета: Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

14. Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі • Синусом числаα називають ординату точки Рαодиничного кола, в яку переходить початкова точка Р 0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут α радіанів. Його позначають sinα Pα(x;y) y α x • Косинусом числа α називають абсцису точки Р αодиничного кола, в яку переходить початкова точка Р α (1;0) приповороті навколо центра кола на кут α радіанів. Його позначають cosα .

15. Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі • Тангенсом кутаназивають відношення ординати точки Pα(x;y) до її абсциси. • Котангенсом кута називають відношення абсциси точки Pα(x;y) до її ординати. Pα(x;y) y α x • Тангенсом числа α називають відношення sinαдо cosαпозначають tgα • Котангенсом числа αназивається відношення cosαдо sinαпозначають ctgα.

16. sinα Лінії тригонометричних функцій для підрахунку кутів та їх знаків в різних чвертях кола • Лінія синусів – проекція ОА рухомого радіуса на вертикальний діаметр (відповідно до знака). • Лінія косинусів – проекція ОВ рухомого радіуса на горизонтальний діаметр. • Е1АЕ 2 – лінія котангенса • D1AD2– лінія тангенса

17. Необхідно знати • При зростанні α від 00 до 900 – синус кута зростає від 0 до1, косинус спадає від 1 до 0, тангенс… • При зростанні α від 900 до 1800 синус кута спадає від 1 до 0, косинус спадає від 0 до -1, тангенс… • При зростанні α від 1800 до 2700 синус кута спадає від 0 до -1, косинус зростає від -1 до 0, тангенс… • При зростанні α від 2700 до 3600 синус кута зростає від -1 до 0, косинус зростає від 0 до 1, тангенс..

18. Виконуємо разом • Побудувати на одиничному колі точки Рα, на які відображається точка Р0 при повороті на α радіан, якщо: 1) α= π/12; 2) α=2,5; 3) α=3; 4) α=5π/6. • Визначити знаки sinα, cosα, tgα, ctgα якщо α = 0,3; α= 12 π/7; α = -13 π/6. • Порівняти : sin1 і sin2; cos2 і cos2,5; tg π/6 і tg, π/4; ctg π/3 і ctg π/3,2.

19. Визначити знак виразу: Sin1000Cos2100 Ctg1350 + Tg1450 Sin400 - Sin2100 Sin(-4300)Tg(-2100) Отримали: < 0 < 0 > 0 > 0 Перевір себе

20. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. ,

21. Це цікаво • Найбільшими досягненнями грецька тригонометрія зобов’язана Клавдію Птоломею. Його відомий тракат “Мегісте”. • Гіпотенузу прямокутного трикутника, яка дорівнює діаметру кола, він записував на основі теореми Піфагора. В сучасному трактуванні • Cos2α + Sin2α =1

22. Усні вправи • Чи можуть бути справедлими одночасно рівності: • Tgx=3/4 i Cosх=3/5; • Tgx=√3 i Sinx=-1/2; • Sinx=2/5 i Cosx=4/5

23. Виконати завдання • Спростити вираз: 1+sin2α– cos2α; 1 – ctgα*sinα*cosα; (1 – cosα)*tg2 α*(1 –cosα). • Знайти значення всіх тригонометричних функцій аргументу α, якщо sinα= -0,8 і 1800≤α≤2700 • Довести тотожність (Ctg2α – cos2α)* tg2α = cos2α

24. Формули зведення. • Якщо кут α відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( ), то назва даної функції змінюється на кофункцію ; • Якщо кут α відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( ), то назва функції не змінюється. • 2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася за умови, що кут α гострий.

25. Приведіть до тригонометричних функцій числа α • Sin(π\2+α); • Cos(3π/2+α); • Tg(π-α); • Ctg(3π/2 - α); • Sin(π+α).

26. Обчислити • Sin 3000 =sin (3600 - 600)=-sin600 • Tg3π/4 = tg(π–π/4) = • Cos 1150 = • Ctg 7π/4=

27. Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до 2π, «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

28. Спростити вираз • 1+sin2 (270 0 – α)+ cos2 (90 0 – α) • sin (360 0 - α)+ cos (90 0 + α) • tg(3π/2+α)+ ctg (π– α) ctg(5π/2 +α) • sin (π/2 + α) - cos (π + α) + tg(π+α)+ + ctg(3π/2– α)

29. Періодичність функцій • Т називається періодом функції f(x), якщо для довільного х з області визначення виконується рівність f(x) = f(x + T). Дану функцію називають періодичною. Очевидно, що Т і –Т є періодами (найменшими). Також є періодами числа виду n*T. f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x). • Y(x)=f(kx+b) T*=T/lkl

30. Тригонометричні функції періодичні • Період синуса і косинуса є будь-яке число виду 2πn, n єZ, • Тангенса та котангенса є будь-яке число виду 2πn, nєZ. sin(2π+α)=sinαcos(2π+ α) =cosα tg(π+α)=tgαctg(π+α)=ctgα • Періодичними бувають не лише тригонометричні функції. Наприклад, функція f(x) = {x} є періодичною з періодом Т = 1.

31. Знайти найменший додатній період функцій

32. №1. Звести до однойменних функцій гострого кута: а) cos1827°=cos(360°*5+27°)= =cos 27°; б) tg 978°=tg(180°*5+78°)= =tg78°; в)   sin (–800°) = г)   ctg 1305° = №2. Обчислити значення тригонометричних функцій: а)   cos 1125° = б)  cos (–315°) = в) tg(-17π/3) = Перевір себе 1.в)sin (–3*360°+280°)= sin280°; г)ctg (7*180°+45°) = ctg45°; 2а) cos (3 * 360° + 45°) = cos 45° = √2/2; б)cos (–360° + 45°) = cos 45°= √2/2; В)√3 Розв’язуємо разом.

33. Функція y=sinx • Побудова графіка функції

34. y 1 x -1 Властивості і графік y=sinx • 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞). • 2. Область значень – проміжок [-1;1]. • 3. Функція непарна sin(-x)=-sinx, (графік функції симетричний відносно початку координат) • 4.Функція періодична з періодом Т=2П. • 5. Функція зростає при xє[-П/2+2Пn;П/2+2Пn], n є Z. • 6. Функція спадає при xє[П/2+2Пn;3П/2+2Пn], n є Z. • 7. Функція має максимум у точках (П/2+2Пn;1), мінімум у точках (-П/2+2Пn;-1), nє Z. • 8.Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х є(2Пn; П + 2Пn), nєZ sin x < 0, якщо x є(П+ 2Пn; 2П+ 2Пn), nєZ • Графіком функції є крива - синусоїда

35. y 1 x -1 Побудоваграфіка функції y = cos x • Графік функції у=cosx отримаємо шляхом перенесення графіка функції у=sinx вліво на π/2(sin (x + π/2) = cos x)

36. y 1 x -1 Властивості функції y=cosх: • 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞). • 2. Область значень – проміжок [-1;1]. • 3. Функція парна cos(-x)=cosx, (графік функції симетричний відносно осі OY) • 4. Функція періодична з періодом Т=2П (cos (x+ 2П) = cos x). • 5. Функція зростає при xє[-П+2Пn;2Пn], n є Z. • 6. Функція спадає при xє[2Пn;П+2Пn], n є Z. • 7. Функція має максимум у точках (2Пn;1), мінімум у точках (П+2Пn;-1), nєZ. • 8.Проміжки знакосталості:cos x > 0,якщохє (-П/2 + 2Пn; П/2 +2Пn), cos x < 0,якщоx є (П/2 + 2Пn; 3П/2 + 2Пn), nєZ • Графіком функції є крива - косинусоїда

37. У Х Властивості функції y=tgх • 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn, nєZ. • 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞). • 3. Функція непарна tg(-х)=-tgх(графік функції симетричний відносно початку координат) • 4. Функція періодична з періодом Т= П (tg(x+π)=tgx). • 5. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ. • 6.Функція зростає на всій області визначення. • 7.Проміжки знакосталості Tgx > 0,якщохє (Пn; П/2 +Пn), nєZ Tgх < 0, якщо х є (-П/2+Пn;Пn), n є Z. • 8. Функція не має екстремумів. • 9. Графіком функції є крива – тангенсоїда

38. p 3 2 Властивості функції y=ctgх • 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn, nєZ. • 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞). • 3. Функція непарна ctg(-х)=-ctgх (графік функції симетричний відносно початку координат ) • 4. Функція періодична з періодом Т= П ( сtg(x+π)=сtgx). • 5. Нулі функції – точки (π\2+Пn;0), nєZ. • 6. Функція спадає на всій області визначення. • 7.Проміжки знакосталості ctgх >0, якщоxє (Пn;П/2+Пn), n є Z. ctgх < 0, якщо xє (П/2+Пn;П+Пn), n є Z. 8. Функція не має екстремумів. • 9. Графіком функції є крива - котангенсоїда y 0 x

39. Користуючись властивостями функцій порівняйте числа: • tg 150 і tg 1400 Розв’язання Оскільки tg 1400= tg (1800 - 400)=- tg 400 і tg 150 >- tg 400. Отже, tg 150 >tg 1400. 2. сtg (-1,2 π) і сtg (-0,1π) 3. sin2 і sin5 4. сos70° і сos290° 5. сos340° і sin250°

40. 1.Для побудови графіка функції y = f(x)± анеобхідно виконати паралельне перенесенняграфіка функції y =f(x) вздовж осі OY на а одиниць вгору (вниз). 2. Для побудови графіка функції y =f(x±а)необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y =f(x) вздовж осі OX на а одиниць вліво (вправо). Перетворення графіків функцій

41. Побудувати графік функції y = tg x -1 У 1 Х -1

42. Перетворення графіків функцій • Графік функції y = kf(x) можна дістати з графіка функції y = f(x)за допомогоюрозтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0<k<1 • Графік функції y = f(k x) можна дістати з графіка функції y = за допомогоюстиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0<k<1

43. Побудувати графік функції y=2 sin x y 1 x -1

44. Перетворення графіків функцій • 5. Для побудови графіка функції y =| f(x)|необхідно побудувати графік функції y = f(x)при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OХ • Для побудови графіка функції y =f |(x)|необхідно побудувати графік функції y = f(x)при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OУ

45. Побудувати графік функції y = | sin x | y 1 x -1

46. Перетворення графіків функцій • Для побудови графіка функції y = - f(x) необхідно графік функції y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OX. • Для побудови графіка функції y = f(-x) необхідно графік функції y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OY.

47. y 1 x -1 Побудувати графік функції y = - сos x

48. Побудувати графік функції y = сtg (x - p/4) У Х

49. Запиши функцію Графік функція y=сtgx паралельно перенесли на 4 одиниці вниз вздовж осі Oy і на π/4 одиниці вліво вздовж осі Ox. Отримали наступний графік функції:

50. Гармонічні коливання • У природі і техніці, повсякденному житті часто доводиться спостерігати коливальні рухи. Наприклад, рух маятника годинника, коливання струни музичного інструмента, коливання води від кинутого в неї предмета та ін • До найпростіших коливальних рухівналежатьгармонічні коливання. Такі коливання можна описати за допомогою тригонометричних функцій (математичною моделлю таких коливань є тригонометричні функції певного виду)